دانلود کتاب A Hilbert Space Problem Book (به فارسی: کتاب مسائل فضایی هیلبرت) نوشته شده توسط «P.R. Halmos»
اطلاعات کتاب کتاب مسائل فضایی هیلبرت
موضوع اصلی: ریاضیات
نوع: کتاب الکترونیکی
ناشر: Springer
نویسنده: P.R. Halmos
زبان: English
فرمت کتاب: djvu (قابل تبدیل به سایر فرمت ها)
سال انتشار: 1982
تعداد صفحه: 387
حجم کتاب: 8 مگابایت
کد کتاب: 9780387906850 , 0387906851 , 3540906851
نوبت چاپ: 2nd rev. and enlarged ed.
توضیحات کتاب کتاب مسائل فضایی هیلبرت
این کتاب باید «یک ایده/کتاب مشکل فضایی هیلبرت» نامیده می‌شد، زیرا نه تنها خواننده را برای حل مسائل جالب در نظریه عملگر و هندسه فضای هیلبرت به چالش می‌کشد، بلکه به ایده‌های اساسی در پشت این زمینه‌ها نیز انگیزه می‌دهد. این قطعا کتابی است که اگرچه چاپ نشده است، اما بسیاری از تازه واردان به نظریه عملگرها و فیزیک کوانتومی به آن مراجعه خواهند کرد. بینشی که با خواندن این کتاب به دست می آید، در هیچ کتاب دیگری که در مورد نظریه عملگر وجود دارد بی نظیر است. با پیشرفت ریاضیات، یافتن کتاب‌هایی که تلاش می‌کنند شهود پشت انتزاعاتی را که در هر حوزه‌ای از ریاضیات آشکار می‌شوند، توضیح دهند، نادرتر می‌شود. مسائل کتاب هم با مثال‌های عینی و هم با قضایای کلی سروکار دارند و خواننده باید سعی کند بدون توجه به نکات آن را حل کند. سپس راه حل های یافت شده توسط خواننده را می توان با راه حل های نویسنده مقایسه کرد و تفاوت های جالبی رخ خواهد داد.
بحث‌های جالب زیادی در این کتاب وجود دارد که فهرست کردن همه آنها احتمالاً مستلزم فهرست کردن همه چیز در کتاب است. خواننده بحث های بسیار خوبی در مورد منشاء عملگرهای عادی در فضاهای هیلبرت با ابعاد نامتناهی به عنوان آنالوگ به ماتریس در فضاهای ابعاد محدود پیدا خواهد کرد. چرا توپولوژی ضعیف در ابعاد بینهایت قابل اندازه گیری نیست. خالی نبودن طیف و اینکه چرا می توان شعاع طیفی را محاسبه کرد حتی اگر طیف نمی تواند. عدم امکان عملگرهای منفرد جدا شده؛ عدم تداوم طیف: وجود یک عملگر با طیف بزرگ و وجود عملگرهایی با طیف کوچک در هر همسایگی طیف بزرگ. نویسنده سپس نشان می دهد که طیف یک تابع نیمه پیوسته بالایی است، بنابراین از وجود طیف های کوچک خودسرانه نزدیک به طیف های بزرگ جلوگیری می کند. این یک بحث عالی در مورد معنا و شهود پشت نیمه استمرار است. نتیجه اینکه هر عملگر عادی به طور واحد معادل یک ضرب و معادل آن با قضیه طیفی است. نویسنده در ادامه توضیح می دهد که چگونه هنگام انجام این کار، سیگما-تناهی بودن اندازه گیری و منشأ حساب تابعی را رها می کنیم. تفاوت بین ابعاد نامتناهی و محدود هنگام تلاش برای تجزیه قطبی برای اپراتورها و ارتباط آن با ایزومتریک های جزئی. منشا عملگرهای فشرده و ارتباط آنها با معادلات انتگرال. نویسنده نشان می دهد که چگونه حتی عملگر هویت یک عملگر انتگرال در فضای توابع مربع-انتگرال پذیر با اندازه گیری Lebesgue نیست.
در بحث درباره قضیه طیفی در فصل 13، نویسنده عمیقاً بیان می‌کند: “در برخی زمینه‌ها، برخی نویسندگان ترجیح می‌دهند از اثباتی که از قضیه طیفی استفاده می‌کند، اجتناب کنند، حتی اگر جایگزین طولانی‌تر و درگیرتر باشد. این نوع تشریفات آیینی رایج است. در مورد بسیاری از بخش‌های ریاضیات؛ سرنوشت بسیاری از قضایای بزرگ این است که در طفره‌رفتن بیشتر از کاربرد مورد احترام قرار گیرند. دلیل آن فقط شیطنت‌های ریاضی نیست. اغلب یک اثبات طولانی اما ابتدایی بینش بیشتری به دست می‌دهد و منجر به تعمیم‌های پربارتر می‌شود. از یک مدرک کوتاه که مختصر بودن آن توسط ابزاری قدرتمند اما بیش از حد تخصصی امکان پذیر شده است.” نویسنده در این چند جمله مشکل روش های فعلی آموزش ریاضیات پیشرفته را مشخص کرده است. غالباً فرمالیسم معنای واقعی و انگیزه شهودی را در پشت ریاضیات پنهان می کند. و اگرچه ریاضیات در بسیاری از حوزه‌های مختلف با سرعت بی‌سابقه‌ای به کار می‌رود، به نظر می‌رسد که ریاضیات محض در یک حداقل محلی به دام افتاده است، و من معتقدم که این به دلیل بی‌میلی نویسندگان برای توضیح جزئیات اساسی ایده‌هایشان است. این کتاب نمونه‌ای کامل از نحوه تدریس ریاضیات است که نیاز به تفکر و خلاقیت زیادی از سوی دانش‌آموزان دارد، بدون اینکه با قاشق به آنها غذا بدهند و در نتیجه نگرش منفعلانه نسبت به یادگیری ریاضیات را تشویق کنند. من به نویسنده در دستاوردهایش در تحقیق و تدریس درود می‌فرستم… فقط می‌توان امیدوار بود که رویکرد او چنین باشد
There are so many interesting discussions in this book that to list them all would probably entail listing everything in the book. The reader will find excellent discussions of the origin of normal operators on infinite dimensional Hilbert spaces as analogs to matrices on finite dimensional spaces; why the weak topology in infinite dimensions is not metrizable; the non-emptiness of the spectrum and why the spectral radius can be computed even though the spectrum cannot; the impossibility of isolated singular operators; the non-continuity of the spectrum: the existence of an operator with a large spectrum and the existence of operators with small spectra in every neighborhood of the large spectrum. The author then goes on to show that the spectrum is an upper semicontinuous function, thus preventing the existence of small spectra arbitrarily close to large spectra. This is an excellent discussion on the meaning and intuition behind semicontinuity; the result that every normal operator is unitarily equivalent to a multiplication and its equivalance to the spectral theorem. The author goes on to explain how one gives up the sigma-finiteness of the measure when doing this, and the origin of functional calculus; the difference between infinite and finite dimensions when attempting a polar decomposition for operators and its connection with partial isometries; the origin of compact operators and their connection with integral equations. The author shows how even the identity operator is not an integral operator on the space of square-integrable functions with Lebesgue measure.
In discussing the spectral theorem in chapter 13 the author states most profoundly: “In some contexts some authors choose to avoid a proof that uses the spectral theorem even if the alternative is longer and more involved. This sort of ritual circumlocution is common to many parts of mathematics; it is the fate of many big theorems to be more honored in evasion than in use. The reason is not just mathematical mischievousness. Often a long but ‘elementary’ proof gives more insight, and leads to more fruitful generalizations, than a short proof whose brevity is made possible by a powerful but overly specialized tool.” In these few sentences the author has characterized the problem with current methods of teaching advanced mathematics. Too often the formalism masks the true meaning and intuitive motivation behind the mathematics. And even though mathematics is being applied to many different areas at an unprecedented rate, pure mathematics seems to be trapped in a local minimum, and I beleive this is due to the reluctance of authors to explain in detail the essentials of their ideas. This book is a perfect example of how mathematics can be taught that requires much thought and creativity on the part of students, without spoon-feeding them and thus encouraging a passive attitude to the learning of mathematics. I salute the author in his achievements in research and in teaching…one can only hope that his approach will
دانلود کتاب «کتاب مسائل فضایی هیلبرت»
