Zeichen und Sprache im Mathematikunterricht : Semiotik in Theorie und Praxis

Dieser Band stellt unterschiedliche Aspekte von und Überlegungen zum Lehren und Lernen von Mathematik aus der Position der Peirce ́schen Semiotik vor. Dabei zeigen die hier vorliegenden Beiträge die Flexibilität dieses Werkzeuges sowohl aus praktischer als auch aus theoretischer Sicht. Das Themenspektrum ist vielfältig: Es finden sich Texte zu Fragen der Visualisierung von Mathematik in unterschiedlichen Schulstufen, Gedanken zur Gebärdensprache, zur Gestenforschung oder zum mehrsprachigen Mathematikunterricht. Ein Beitrag beschreibt das Sichtbare als Mittel der Kreativität zur Konstruktion von neuem Wissen, während ein weiterer der Rekonstruktion diagrammatischen Schließens nachspürt. Darüber hinaus wird eine Perspektive auf das Lernen von Mathematik vorgestellt, welche ohne einengende ontologische Annahmen auskommt. Der vorliegende Band ist bereits der dritte, der vom GDM Arbeitskreis „Semiotik, Zeichen und Sprache in der Mathematikdidaktik“ gestaltet wird. Alle drei Werke eignen sich sowohl für MathematikdidaktikerInnen wie auch für Lehrkräfte, die einen Einblick in die vielfältige Verwendung von Zeichen und Sprache im Mathematikunterricht gewinnen möchten. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 6 Autorenverzeichnis 8 1 Einleitung 10 Literatur 13 Teil I Theoretische Überlegungen 15 2 Zeichen statt Metaphysik 16 2.1 Mathematik und ihre Objekte in der Philosophie 16 2.2 Mathematik als ganz besondere Wissenschaft 18 2.3 Sprachspiele, Regeln und ihre Objekte 22 2.4 Hinweise auf den Regelcharakter 25 2.5 Konsequenzen hinsichtlich Sonderstellung 28 2.6 Resümee 32 Literatur 33 3 Theorematische Deduktion als kreative Verwendung von Inskriptionen 35 3.1 Einleitung 35 3.2 Zu den Betrachtungsgrundlagen 36 3.3 Theorematische Deduktion 39 3.4 Anbindung an etablierte Lerntheorien 43 3.5 Kreativität und der flexible Sichtweisenwechsel 46 3.5.1 Wahrnehmung von Zeichenspielrealität 46 3.5.2 Ausloten und Nutzen der Möglichkeiten 49 3.5.3 Ausloten des epistemologischen Potenzials 52 3.5.4 Denken und Schreiben als Einheit 55 3.6 Fazit 56 Literatur 56 Teil II Semiotik in der Praxis, das Sichtbare ordnen 59 4 Diagrammatisches Schließen lehren und lernen 60 4.1 Einleitung 60 4.1.1 Klassisches Diagramm 62 4.1.2 Computerunterstütztes (Computer-aided) Diagramm (CA-Diagramm) 62 4.1.3 Informales Diagramm 63 4.2 Diagrammatischen Schließen lehren 66 4.3 Ideenfindung mit informalen Diagrammen 74 4.4 Ideenfindung mit computerunterstützten Diagrammen 77 4.4.1 Emergierende Diagramme 77 4.4.2 Simulation abstrakter Objekte 79 4.4.3 Beschreibung einer naturwissenschaftlichen (experimentellen) Mathematik 82 4.5 Implementierung von Diagrammen bei außermathematischen Anwendungen 83 4.6 Zusammenfassung 86 Literatur 87 5 Rekonstruktion diagrammatischen Schließens beim Erlernen der Subtraktion negativer Zahlen 89 5.1 Einleitung 90 5.2 Diagramme und diagrammatisches Schließen 91 5.3 Rekonstruktion diagrammatischen Schließens 92 5.3.1 Das Toulmin-Schema 94 5.3.2 Vergnauds Schema-Begriff 96 5.4 Datengrundlage 97 5.4.1 Diagramme beim Erlernen negativer Zahlen 98 5.4.2 Datenerhebung und Transkript einer Bearbeitung 99 5.5 Rekonstruktion von Argumentationen zur Rekonstruktion der Regeln des Darstellungssystems 99 5.5.1 Methodisches Vorgehen 99 5.5.2 Argumentationsanalyse 100 5.5.3 Rekonstruktion der Regeln der Darstellungssysteme 105 5.5.4 Zwischenfazit 107 5.6 Rekonstruktion von theorems-in-action und concepts-in-action zur Rekonstruktion der Regeln des Darstellungssystems 107 5.6.1 Methodisches Vorgehen 107 5.6.2 Rekonstruktion der theorems-in-action und concepts-in-action 109 5.6.3 Rekonstruktion der Regeln der Darstellungssysteme 110 5.6.4 Zwischenfazit 111 5.7 Diskussion und Ausblick 112 Literatur 114 6 Über Darstellungen reflektieren 117 6.1 Einleitung 118 6.2 Darstellungen und Darstellungswechsel 119 6.2.1 Inskriptionen und Interaktionen 119 6.2.2 Darstellungswechsel 120 6.2.3 Deskriptionale und depiktionale Darstellungen 121 6.3 Textaufgaben und grafische Darstellungen 122 6.3.1 Darstellung mathematischer Strukturen 122 6.3.2 Erstellen grafischer Darstellungen zu Textaufgaben 124 6.4 Forschungsinteresse 125 6.5 Reflexionsgespräche über Darstellungen – Projektdesign 125 6.5.1 Intervention 126 6.5.1.1 Reflexion und Bewusstheit 126 6.5.1.2 Umsetzung im Unterricht in zwei Phasen 127 6.5.2 Erhebung 129 6.5.3 Auswertung 129 6.5.3.1 Mathematische Struktur 130 6.5.3.2 Mathematische Passung 131 6.5.3.3 Abstraktionsgrad 131 6.6 Entwicklungsverläufe 132 6.6.1 Grafische Darstellungen 132 6.6.1.1 Diana – Zunehmende Flexibilität im grafischen Darstellen 132 6.6.1.2 Ole – Zunehmende grafische Umsetzung mathematischer Strukturen 135 6.6.2 Erklärungen 138 6.6.2.1 Oskar – Zusammenführung von grafischer Darstellung und Rechnung 138 6.6.2.2 Alina – Integration mathematischer Aspekte 142 6.7 Zusammenfassung und Diskussion 145 6.8 Fazit 148 Literatur 148 Teil III Zeichen hören und Zeichen sehen 152 7 Translanguaging im Mathematikunterricht 153 7.1 Einleitung 154 7.2 Theoretische Grundlagen 154 7.2.1 Codeswitching und Translanguaging in Lehr- und Lernprozessen 155 7.2.2 Unterschiedliche Register und Mehrsprachigkeit 155 7.2.3 Konstruktion mathematischen Wissens 157 7.2.3.1 Prädikatives und funktionales Denken 157 7.2.3.2 Subjektive Erfahrungsbereiche 158 7.3 Forschungsinteresse und Design der Studie 159 7.3.1 Rahmenbedingungen, Forschungsziel und -fragen 159 7.3.2 Design, Durchführung der Studie und Datenanalyse 160 7.4 Empirische Fälle zur Untersuchung der Funktionen von Sprachen in translingualen Lehr- und Lernprozessen im Mathematikunterricht 160 7.4.1 Erstsprache zur Mündlichkeit und Zweitsprache zur Fixierung der mathematischen Sprache 161 7.4.2 Erstsprache zur Konkretisierung und Zweitsprache zur Abstrahierung von mathematischen Phänomenen 164 7.4.3 Erstsprache für handlungsorientierte Prozesse und Zweitsprache für statische Begriffe im Mathematikunterricht 167 7.5 Zusammenfassung und Ausblick 170 Literatur 171 8 Semiotische Perspektiven auf das Erklären von Mathematik in Laut- und Gebärdensprache 172 8.1 Theoretischer Rahmen 173 8.1.1 Der semiotische Ansatz 173 8.1.2 Erklären als pädagogischer Prozess 174 8.2 Die medialen Produkte 176 8.2.1 Die Erstellung des lautsprachlichen Videos 176 8.2.2 Die Erstellung des ÖGS-Videos 176 8.2.3 Die Erstellung der Audio-Erklärung 181 8.3 Analyse der medialen Produkte 182 8.3.1 Ikonische und indexikalische Fachgebärden – ein Exkurs 183 8.3.2 Verbal action und material action im ÖGS-Video 185 8.3.3 Verbal action und material action im lautsprachlichen Video 188 8.3.4 Verbal action und material action im Audio 189 8.4 Vergleich der medialen Produkte 190 Literatur 192 9 Mathematische Gebärden der Österreichischen Gebärdensprache aus semiotischer Sicht 194 9.1 Mathematische Gebärden im Mathematikunterricht 195 9.1.1 Gebärdensprachen 195 9.2 Zeichenbegriff nach Peirce 197 9.3 Kategorien für Gebärden nach Kutscher 200 9.3.1 Ikonische Gebärden 201 9.3.2 Indexikalische Gebärden 204 9.4 Erweiterung der Kategorien 207 9.4.1 Erste Erweiterung 207 9.4.2 Zweite Erweiterung 207 9.4.3 Dritte Erweiterung 209 9.4.4 Bemerkungen zu den erweiterten Kategorien 209 9.5 Diskussion und offene Fragen 210 9.5.1 Beispiel: FORMEL 211 9.5.2 Beispiel: GLEICHUNG 211 9.5.3 Beispiel: RADIUS 212 9.5.4 Beispiel: ZÄHLER und NENNER 213 9.5.5 Folgerung 213 Literatur 214 10 Modusschnittstellen in mathematischen Lernprozessen 216 10.1 Einleitung 217 10.2 Multimodales Mathematiklernen 218 10.2.1 Bedeutung von Gesten für das Mathematiklernen 218 10.2.2 Bedeutung von Handlungen und Materialanordnungen für das Mathematiklernen 221 10.2.3 Bedeutung von Diagrammen im Mathematiklernen 223 10.3 Multimodales Mathematiklernen an einem Beispiel 225 10.4 Qualitative Analysen 226 10.4.1 Adaptierte Form der Kontextanalyse für die mathematikdidaktische Forschung 227 10.4.1.1 Verfahren 227 10.4.1.2 Analyseausschnitt/-beispiel 229 10.4.1.2.1 Kontextanalyse „Material“ 229 10.4.1.2.2 Kontextanalyse „Jana“ 232 10.4.1.2.3 Kontextanalyse „Ayse“ 233 10.4.2 Interaktionsanalyse und die Semiotische Prozess-Karte 235 10.4.2.1 Verfahren 235 10.4.2.2 Analyseausschnitt/-beispiel 237 10.4.2.2.1 Zusammenfassung der zentralen Ergebnisse der Interaktionsanalyse 237 10.4.2.2.2 Ausgewählte Ausschnitte aus der Semiotischen Prozess-Karte (SPK) 238 10.5 Modusschnittstellen in der analysierten mathematischen Situation 242 10.5.1 Chronologische Schnittstelle 242 10.5.2 Semantische Schnittstelle 243 10.5.3 Funktionale Schnittstelle 244 10.6 Zusammenfassung 244 10.7 Transkript 246 Literatur 252 Front Matter ....Pages I-X Einleitung (Gert Kadunz)....Pages 1-5 Front Matter ....Pages 7-7 Zeichen statt Metaphysik (Willi Dörfler)....Pages 9-27 Theorematische Deduktion als kreative Verwendung von Inskriptionen (Martin Brunner)....Pages 29-52 Front Matter ....Pages 53-53 Diagrammatisches Schließen lehren und lernen (Hermann Kautschitsch)....Pages 55-83 Rekonstruktion diagrammatischen Schließens beim Erlernen der Subtraktion negativer Zahlen (Jan Schumacher, Sebastian Rezat)....Pages 85-112 Über Darstellungen reflektieren (Barbara Ott)....Pages 113-147 Front Matter ....Pages 149-149 Translanguaging im Mathematikunterricht (Angel Mizzi)....Pages 151-169 Semiotische Perspektiven auf das Erklären von Mathematik in Laut- und Gebärdensprache (Christof K. Schreiber, Annika M. Wille)....Pages 171-192 Mathematische Gebärden der Österreichischen Gebärdensprache aus semiotischer Sicht (Annika M. Wille)....Pages 193-214 Modusschnittstellen in mathematischen Lernprozessen (Rose F. Vogel, Melanie C. M. Huth)....Pages 215-255