Введение в теорию оптимального восстановления: Учебное пособие для вузов

Предисловие Введение Глава 1. Простейшие задачи оптимального восстановления 1.1. Задача интерполяции 1.2. Минимизация функции 1.3. Численное интегрирование 1.4. Численное дифференцирование по неточным значениям в точках 1.5. Восстановление производной функции по ее приближенным коэффициентам Фурье 1.6. Интерполяция приближенно заданной функции 1.7. Нахождение решения уравнения теплопроводности по неточным начальным данным 1.8. Комментарии Глава 2. Общая теория 2.1. Постановка задачи оптимального восстановления 2.2. Оптимальное восстановление линейных функционалов 2.3. Оптимальное восстановление и задача Стечкина 2.4. Построение оптимального метода с помощью параметризации экстремального элемента 2.5. Оптимальное восстановление операторов 2.6. Построение семейства оптимальных методов 2.7. Адаптивная информация 2.8. Критерий существования линейного оптимального неадаптивного метода в задаче адаптивного восстановления 2.9. Восстановление по информации со случайной ошибкой 2.10. Комментарии Глава 3. Оптимальное восстановление операторов в Lq-метриках 3.1. Общая задача о восстановлении в Lq-метриках 3.2. Случаи совпадения двух метрик 3.3. Оптимальное восстановление для однородных весов 3.4. Точные неравенства 3.5. Оптимальное восстановление для однородных весов в Rd 3.6. Точные неравенства для однородных весов в Rd и обобщенные неравенства Карлсона 3.7. Восстановление дифференциальных операторов по неточно заданному преобразованию Фурье 3.8. Восстановление в метрике L2(Rd) 3.9. Восстановление в метрике L∞(R ) 3.10. Точные неравенства для степеней оператора Лапласа и дробных производных 3.11. Комментарии Глава 4. Оптимальная интерполяция 4.1. Оптимальная интерполяция на классе W r ([−1, 1]) 4.2. Минимизация погрешности восстановления на классе W r ([−1, 1]) 4.3. Оптимальная интерполяция на классе Hp 4.4. Минимизация погрешности восстановления на классе Hp 4.5. Оптимальная интерполяция на классах Харди — Соболева 4.6. Интерполяция по значениям в бесконечном числе точек 4.7. Восстановление производной 4.8. Восстановление производных по неточным значениям функций 4.9. Неравенство Колмогорова для аналитических в полосе функций 4.10. Комментарии Глава 5. Оптимальное восстановление сигналов 5.1. Регуляризация по Тихонову 5.2. Регуляризация по Колмогорову 5.3. Задание коэффициентов Фурье с погрешностью в равномерной метрике 5.4. Восстановление функции и ее производных по неточно заданным коэффициентам Фурье в метрике lN 5.5. Восстановление функции и ее производных по неточно заданным коэффициентам Фурье в метрике N∞ 5.6. Восстановление функции и ее производных по неточно заданному преобразованию Фурье 5.7. Оптимальное восстановление и точность на подпространствах 5.8. Оптимальное восстановление производных и неравенства для производных колмогоровского типа 5.9. Восстановление производных на полупрямой 5.10. Восстановление производных в многомерном случае 5.11. Комментарии Глава 6. Оптимальное восстановление решений уравнений математической физики 6.1. Восстановление решения уравнения теплопроводности 6.2. Обобщенное уравнение теплопроводности на сфере 6.3. Обобщенное уравнение теплопроводности в шаре 6.4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре 6.5. Оптимальное восстановление решений разностных уравнений 6.6. Комментарии Глава 7. Дополнение I 7.1. Равномерное наилучшее приближение 7.2. Теорема Хана — Банаха для однородно-выпуклого функционала с бесконечными значениями 7.3. Наилучшие приближения в линейных пространствах с полускалярным произведением 7.4. Теорема Борсука 7.5. Совершенные сплайны. Интерполяция сплайнами 7.6. Граничные значения аналитических функций 7.7. Задача Неванлинны — Пика 7.8. Неравенство Фейера — Рисса 7.9. Теоремы отделимости 7.10. Аффинные подпространства 7.11. Теорема Каратеодори 7.12. Аффинная независимость. Симплексы 7.13. Выпуклые функции 7.14. Двойственность выпуклых функций 7.15. Интегральное неравенство Йенсена 7.16. Неравенство Юнга для сверток 7.17. Неравенства для последовательностей Глава 8. Дополнение II. Эллиптические функции 8.1. Периоды мероморфных функций 8.2. Общие свойства эллиптических функций 8.3. Эллиптический синус 8.4. Первое главное преобразование n-й степени 8.5. Произведения Бляшке — Золотарева 8.6. Функция Вейрштрасса 8.7. Дифференциальное уравнение для функции 8.8. Функция Вейрштрасса ζ(·) 8.9. Функция Вейрштрасса σ(·) 8.10. Связь между функциями p(·) и σ(·). Функции σ1(·), σ2(·), σ3(·) 8.11. Тета-функции 8.12. Представление тета-функций бесконечными произведениями 8.13. Связь между сигма-функциями и тета-функциями 8.14. Выражение e1, e2, ee через значения тета-функций 8.15. Эллиптические функции Якоби sn u, cn u, dn u 8.16. Дифференциальные уравнения для функций Якоби 8.17. Теоремы сложения для функций Якоби 8.18. Второе главное преобразование первой степени 8.19. Преобразование Ландена и Гаусса 8.20. Разложение эллиптического синуса в ряд Фурье Глава 9. Дополнение III. Сферические гармоники. Собственные функции оператора Лапласа 9.1. Однородные многочлены 9.2. Однородные гармонические многочлены 9.3. Сферические гармоники 9.4. Зональные гармоники 9.5. Задача Дирихле 9.6. Собственные функции оператора Лапласа — Бельтрами 9.7. Функции Бесселя 9.8. Ортогональность функций Бесселя 9.9. Теорема Штурма о сравнении 9.10. Свойства нулей функции Бесселя 9.11. Собственные функции оператора Лапласа в шаре Литература