Введение в функциональный анализ: учебное пособие

ПРЕДИСЛОВИЕ......Page 4 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА......Page 6 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА......Page 9 1.1. Понятия метрики и метрического пространства......Page 20 1.2. Множества в метрических пространствах. Примеры метрических пространств......Page 28 1.3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства......Page 37 1.4. Свойства полных метрических пространств......Page 51 1.5. Пополнение метрических пространств. Сепарабельные пространства......Page 59 1.6. Компактные множества......Page 64 1.7. Непрерывные отображения метрических пространств. Сжимающие отображения......Page 72 2.1. Линейные пространства......Page 88 2.2. Нормированные пространства......Page 96 2.3. Ряды в линейных нормированных пространствах......Page 105 2.4. Пространства lp (1 ≤ p ≤ ∞), c, c0 и C[a,b]......Page 108 2.5. Линейные подпространства и плотные множества......Page 117 2.6. Предкомпактные множества......Page 127 2.7. Пространства Lp(Ε,dμ), 1 ≤ p ≤ ∞......Page 138 2.8. Полнота пространств Lp(Ε,dμ) при 1 ≤ p ≤ ∞......Page 154 2.9. Плотные множества в Lp(Ε,dμ), 1 ≤ p ≤ ∞......Page 157 2.10. Предкомпактные множества в L2 (X)......Page 165 Дополнение. Базисы в линейных пространствах......Page 172 3.1. Пространства со скалярным произведением......Page 176 3.2. Проекции векторов в гильбертовых пространствах......Page 185 3.3. Ортогональные дополнения и их свойства......Page 187 3.4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах......Page 197 3.5. Базисы в гильбертовых пространствах......Page 203 1.1. Понятие линейного ограниченного оператора, его норма......Page 218 1.2. Пространство линейных ограниченных операторов......Page 243 1.3. Последовательности операторов......Page 246 1.4. Дополнительные задачи и утверждения......Page 261 1.5. Образы шаров в банаховых пространствах......Page 275 2.1. Функционалы в гильбертовых пространствах......Page 279 2.2. Функционалы в нормированных пространствах......Page 282 2.3. Продолжение линейных функционалов......Page 296 2.4. Общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве C[a,b]......Page 309 2.5. Слабая и *-слабая сходимости......Page 321 2.6. Рефлексивные пространства. Двойственность......Page 336 2.7. Сопряженные операторы......Page 343 Дополнение. Комплексный вариант теоремы Хана-Банаха. Слабая замкнутость выпуклого множества......Page 356 3.1. Обратные операторы......Page 358 3.2. Замкнутые операторы......Page 375 3.3. Резольвентное множество и спектр оператора......Page 381 3.4. Вполне непрерывные операторы......Page 410 3.5. Фредгольмовы операторы......Page 434 3.6. Спектры самосопряженных и вполне непрерывных операторов......Page 442 Дополнение. Линейные интегральные уравнения......Page 461 Рекомендуемая литература......Page 479