Введение в численный анализ: учебное пособие

Титульный лист ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ 1.1. Абсолютная и относительная погрешности 1.2. Компьютерное представление числовых величин 1.3. Погрешности элементарных операций 1.4. Значащие цифры и верные знаки 1.5. Вычисление значений функций и формула Тейлора 1.5.1. Вычисление значений алгебраического многочлена 1.5.2. Формула Тейлора в случае одной переменной 1.5.3. Формула Тейлора и итерационные методы 1.6. Прямая и обратная задачи теории погрешностей 1.7. Полезно вспомнить 1.8. Вопросы для самоконтроля Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Метод Гаусса 2.2. Разложение матрицы в произведение треугольных (LU-факторизация) и метод Краута − Дулитла 2.3. Метод квадратных корней 2.4. Метод прогонки для систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов* 2.5. Итерационные методы 2.5.1. Метод простой итерации 2.5.2. Метод Зейделя* 2.5.3. Метод релаксации 2.6. Коротко о других линейных системах и методах 2.7. Решение систем линейных уравнений в среде MatLab 2.8. Вопросы для самоконтроля Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 3.1. Отделение корней 3.2. Оценки корней алгебраических уравнений 3.3. Основные методы уточнения корней уравнения 3.3.1. Метод дихотомии 3.3.2. Метод хорд 3.3.3. Метод Ньютона – Рафсона (метод касательных) 3.3.4. Метод простой итерации 3.3.5. Кубические уравнения. Век нынешний и век минувший 3.3.6. Метод наискорейшего спуска 3.3.7. Обобщенный метод Ньютона (поиск комплексных корней) 3.3.8. Коротко о других методах 3.4. Решение систем нелинейных уравнений Глава 4. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЯ 4.1. Собственные числа и векторы 4.2. Поиск коэффициентов характеристического уравнения 4.3. Степенной метод. Максимальное по модулю собственное значение 4.4. Метод скалярных произведений. Максимальное по модулю собственное значение симметрической матрицы 4.5. Решение проблемы собственных значений в среде MatLab 4.6. Прикладные аспекты Глава 5. АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ 5.1. Среднеквадратическая аппроксимация 5.1.1. Метод наименьших квадратов 5.1.2. Среднеквадратическая аппроксимация на интервале 5.1.2.1. Аппроксимация алгебраическими многочленами 5.1.2.2. Аппроксимация ортогональными многочленами 5.1.2.3. Аппроксимация табличных функций на интервале 5.1.2.4. Сглаживание табличных функций 5.2. Равномерная аппроксимация 5.3. Интерполирование функций 5.3.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа 5.3.2. Конечные разности 5.3.3. Интерполяционные формулы 5.3.4. Интерполирование функций двух переменных 5.3.5. Численное дифференцирование 5.4. Интерполирование сплайнами Глава 6. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 6.1. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса 6.2. Квадратурные формулы Чебышева 6.3. Квадратурные формулы Гаусса 6.4. Вычисление несобственных интегралов 6.5. Кубатурные формулы 6.6. Вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло 6.7. Численное интегрирование средствами MatLab Глава 7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7.1. Постановка и решение задачи Коши 7.2. Простейшие методы решения задачи Коши 7.3. Методы Рунге – Кутты 7.4. Решение задачи Коши для систем уравнений 7.5. Конечноразностные методы и формулы Адамса 7.6. Разностные методы для краевых задач. Метод прогонки 7.7. Коротко об уравнениях в частных производных 7.8. Обыкновенные дифференциальные уравнения и MatLab Глава 8. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 8.1. Одномерная оптимизация 8.1.1. Экстремум унимодальной функции и метод Фибоначчи 8.1.2. Экстремум унимодальной функции и золотое сечение 8.2. Многомерная оптимизация без учета ограничений 8.2.1. Методы прямого поиска 8.2.2. Градиентные методы 8.3. Оптимизация при ограничениях. Множители Лагранжа 8.4. Условия Куна ( Таккера 8.5. Оптимизация с ограничениями. Методы штрафных функций 8.6. Оптимизация с ограничениями. Градиентные методы 8.6.1. Метод проектируемого градиента Д. Розена 8.6.2. Метод возможных направлений Г. Зойтендейка 8.7. Оптимизация функций средствами MatLab ЦИТИРОВАННАЯ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Об авторах