Von Eins bis Neun - Große Wunder hinter kleinen Zahlen: Über 100 mathematische Exkursionen für Neugierige und Genießer (German Edition)

**Eine Schatztruhe mathematischer Miniaturen**Dieses Buch ist eine Einladung zu einer spannenden Entdeckungsreise. Ausgehend von den einstelligen Zahlen eröffnet Marc Chamberland seinen Lesern den Blick auf eine weite mathematische Landschaft. Warum zeigt ein Skatspiel, das man achtmal perfekt gemischt hat, wieder genau dieselbe Kartenfolge? Sind zwei beliebige Menschen auf der ganzen Erde tatsächlich über eine „Bekanntenkette von sechs Personen“ miteinander verbunden? Weshalb lässt sich jede Landkarte mit nur vier Farben so einfärben, dass sich nie zwei Gebiete mit derselben Farbe berühren? Die Zahlen Eins bis Neun erweisen sich als höchst bemerkenswerte mathematische Objekte, von denen aus der Autor ein Netz von Querverbindungen zu verschiedenen Feldern der Mathematik spannt, von der Zahlentheorie über die Geometrie, die Chaostheorie und die numerische Mathematik bis zur mathematischen Physik.Jedes Kapitel ist einer dieser neun Zahlen gewidmet. Zu Beginn stehen stets einfache Problemstellungen; im Verlauf des Kapitels nimmt der Schwierigkeitsgrad zu. Jedes Mal durchstreift Chamberland ein weitläufiges Areal: So ist etwa die Drei ebenso mit der Chaostheorie verknüpft wie mit einem noch ungelösten Problem der ägyptischen Brüche, mit der Anzahl der Aufsichthabenden in einer Kunstgalerie und der Problematik von Wahlergebnissen. Bei der Sieben geht es um Matrizenmultiplikation, die Transsilvanienlotterie, die Synchronisation von Signalen und den Klang einer Trommel. Immer wieder sind auch Rätsel zu lösen wie das der perfekten Quadrate, das Huträtsel oder die Catalan‘sche Vermutung. Das Buch ist in viele kurze Abschnitte unterteilt, die man unabhängig lesen und häppchenweise konsumieren kann – was beim Ham-Sandwich-Satz und beim Pizzatheorem durchaus wörtlich genommen werden darf.Mit den über 100 Miniaturen öffnet der Autor eine wahre mathematische Schatztruhe – für Neugierige und Kenner, für Oberstufenschüler wie für Hochschulstudenten, für gestandene Mathematiker ebenso wie für alle, die von Mustern fasziniert sind. Vorwort 6 Inhaltsverzeichnis 8 1 Die Zahl Eins 13 Geschnittene Origamis 14 Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt 14 Die eindeutige Darstellung von Zahlen 17 Zur Faktorzerlegung von Knoten 18 Abzählbare Mengen und die Stern-Brocot-Folge 20 Fraktale 22 Gilbreaths Vermutung 25 Das Benford'sche Gesetz 26 Der Fixpunktsatz von Brouwer 28 Inverse Probleme 29 Perfekte Quadrate 30 Der Satz von Bohr-Mollerup 31 Die Sätze von Picard 33 2 Die Zahl Zwei 35 Der Jordan'sche Kurvensatz und Paritätsargumente 35 Das Seitenverhältnis 37 Wie symmetrisch sind Sie? 38 Der Satz des Pythagoras 39 Beatty-Folgen 42 Die Euler'sche Formel 43 Bedeutende Probleme 44 Die Goldbach'sche Vermutung 45 Gequetschte Primzahlen 46 Die Primzahlzwillings-Vermutung 46 Primzahlen in schnellerer Abfolge 48 Der Satz von Stone-Tukey 48 Potenzmengen und Zweierpotenzen 50 Der Satz von Sylvester-Gallai 53 Formeln für π 53 Die Multiplikation 55 Die Thue-Morse-Folge 55 Dualität 58 Apollonische Kreispackungen 61 Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen 63 Die pythagoreische Stimmung und die Wurzel aus 2 64 Reziprok quadratische Abstandsgesetze 67 Die Ungleichheit von arithmetischem und geometrischem Mittel 68 Positive Polynome 69 Das Newton-Verfahren zum Ermitteln von Nullstellen 71 Mehr zur Division mittels Multiplikation 73 Der Reiz von π2/6 74 Die Jacobi-Vermutungen 77 3 Die Zahl Drei 80 Das (3x+1)-Problem 80 Dreieckzahlen und bulgarisches Solitär 82 Schere, Stein, Papier und die Borromäischen Ringe 84 Zufallsbewegungen 86 Die Dreiteilung von Winkeln 88 Das Drei-Körper-Problem 89 Der Lorenz-Attraktor und das Chaos 91 Die Periode 3 bedeutet Chaos 94 Muster bei den Sternen 96 Der Große Fermat'sche Satz 97 Reste gefällig? 100 Ägyptische Brüche 101 Arrows Unmöglichkeitstheorem 104 Kartierungsoberflächen 106 Aufsicht in einer Galerie 107 Die Poincaré-Vermutung 108 Monges Drei-Kreise-Problem 110 Der Satz von Marden 112 Das Reuleaux-Dreieck 114 Der dritte kritische Punkt 116 Summen dritter Potenzen 118 Näherungen für Zerfallsgesetze 120 4 Die Zahl Vier 121 Der Vier-Farben-Satz 122 Der Tennisballsatz 124 Identitäten von Summen von Quadraten 125 Vier-Teile-Puzzle 126 Ducci-Folgen 127 Die Euler'sche Potenzsummenvermutung 130 Villarceau-Kreise 131 Das Problem einbeschriebener Quadrate 133 Regelmäßige Vielecke auf dem Computerbildschirm 135 Das Problem der vier Reisenden 136 Die Vermutung über die vier Exponenten 138 Sehnenvierecke 140 Das Huträtsel 142 5 Die Zahl Fünf 143 Der Fünf-Kreise-Satz von Miquel 143 Die platonischen Körper 144 Zur Lösung von Polynomgleichungen 145 Die Diophantische Approximation 148 Der Petersen-Graph 149 Das Happy-End-Problem 151 Parkettierungen 152 Von Kugeln und Würsten 155 Rösselsprung auf rechteckigen Spielbrettern 156 Ein Zauberkunststück mit fünf Karten 158 Von Fußbällen und Kuppeln 160 Endlose Rekursion 161 Die Rogers-Ramanujan-Identitäten 162 6 Die Zahl Sechs 167 Die optimale Packung 167 Von Bekannten und Fremden 171 Das Kleine-Welt-Phänomen 172 Ein Collier aus Kugeloberflächen 174 Sechsecke im Pascal'schen Dreieck 175 Das Brettspiel Hex 176 Die Wendt-Determinante 178 Sechs Längen in der Geometrie 179 Der Satz von Ceva 179 Der Satz von Menelaos 179 Der Satz von Haruki 180 7 Die Zahl Sieben 181 Der Sieben-Kreise-Satz 181 Die Nachkommastellen von 1/7 und Ellipsen 182 Die Strassen'sche Matrizenmultiplikation 184 Die Fano-Ebene 186 Friesmuster 189 Das Szilassi-Polyeder und der Heawood-Graph 189 Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz 191 Hört man die Form einer Trommel? 193 Barker-Codes 196 Mathematische Spielereien 198 Experimente mit Integralen 199 8 Die Zahl Acht 202 Das Pizzatheorem 202 Wie man Karten mischt 203 Das Spiel des Lebens 204 Wiederholungen im Pascal'schen Dreieck 207 Der Sierpiński-Teppich 208 Quaternionen und Oktonionen 209 Der E8-Gipfel 213 9 Die Zahl Neun 216 Neun Punkte und Kollinearität 217 Die Neunerprobe 218 Primzahlen und Neunen 219 Ungerade vollkommene Zahlen 219 Primzahlzwillinge 220 Nahegelegene Primzahlen 220 Der 15-Satz 220 Wie man Kreise mit zwei Größen packt 222 Die Catalan'sche Vermutung 223 Die Heegner-Zahlen 224 10 Lösungen 227 Vier-Teile-Puzzle (4. Kapitel) 227 Das Huträtsel (4. Kapitel) 227 Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz (7. Kapitel) 228 Mathematische Spielereien (7. Kapitel) 228 Literatur 229 Sachverzeichnis 233 Eine Schatztruhe mathematischer Miniaturen Dieses Buch ist eine Einladung zu einer spannenden Entdeckungsreise. Ausgehend von den einstelligen Zahlen eröffnet Marc Chamberland seinen Lesern den Blick auf eine weite mathematische Landschaft. Warum zeigt ein Skatspiel, das man achtmal perfekt gemischt hat, wieder genau dieselbe Kartenfolge? Sind zwei beliebige Menschen auf der ganzen Erde tatsächlich über eine „Bekanntenkette von sechs Personen" miteinander verbunden? Weshalb lässt sich jede Landkarte mit nur vier Farben so einfärben, dass sich nie zwei Gebiete mit derselben Farbe berühren? Die Zahlen Eins bis Neun erweisen sich als höchst bemerkenswerte mathematische Objekte, von denen aus der Autor ein Netz von Querverbindungen zu verschiedenen Feldern der Mathematik spannt, von der Zahlentheorie über die Geometrie, die Chaostheorie und die numerische Mathematik bis zur mathematischen Physik. Jedes Kapitel ist einer dieser neun Zahlen gewidmet. Zu Beginn stehen stets einfache Problemstellungen; im Verlauf des Kapitels nimmt der Schwierigkeitsgrad zu. Jedes Mal durchstreift Chamberland ein weitläufiges Areal: So ist etwa die Drei ebenso mit der Chaostheorie verknüpft wie mit einem noch ungelösten Problem der ägyptischen Brüche, mit der Anzahl der Aufsichthabenden in einer Kunstgalerie und der Problematik von Wahlergebnissen. Bei der Sieben geht es um Matrizenmultiplikation, die Transsilvanienlotterie, die Synchronisation von Signalen und den Klang einer Trommel. Immer wieder sind auch Rätsel zu lösen wie das der perfekten Quadrate, das Huträtsel oder die Catalan'sche Vermutung. Das Buch ist in viele kurze Abschnitte unterteilt, die man unabhängig lesen und häppchenweise konsumieren kann - was beim Ham-Sandwich-Satz und beim Pizzatheorem durchaus wörtlich genommen werden darf. Mit den über 100 Miniaturen öffnet der Autor eine wahre mathematische Schatztruhe - für Neugierige und Kenner, für Oberstufenschüler wie für Hochschulstudenten, für gestandene Mathematiker ebenso wie für alle, die von Mustern fasziniert sind. Front Matter....Pages I-XI Die Zahl Eins....Pages 1-22 Die Zahl Zwei....Pages 23-67 Die Zahl Drei....Pages 69-109 Die Zahl Vier....Pages 111-132 Die Zahl Fünf....Pages 133-156 Die Zahl Sechs....Pages 157-170 Die Zahl Sieben....Pages 171-191 Die Zahl Acht....Pages 193-206 Die Zahl Neun....Pages 207-217 Lösungen....Pages 219-220 Back Matter....Pages 221-234