Von den natürlichen Zahlen zu den Quaternionen : Basiswissen Zahlbereiche und Algebra

Dieses Buch richtet sich an Bachelor- und Lehramtsstudierende und vermittelt einen fundierten Aufbau der Zahlbereiche. Ausgehend von den natürlichen Zahlen werden systematisch die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen bis hin zu den Hamiltonschen Quaternionen konstruiert. Dazu werden jeweils die aus der Algebra benötigten Grundlagen bereitgestellt und motiviert. Für den Bachelor-Studiengang Mathematik bietet das Buch einen vielseitigen Aufbau der Zahlbereiche, für den in den Anfängervorlesungen oftmals die Zeit fehlt. Lehramtsstudierenden verhilft dieses Buch zu einem anschaulichen Verständnis der Zahlbereiche von einem mathematisch-fachwissenschaftlichen Standpunkt, welches für die mathematikdidaktische Ausbildung eine wesentliche Grundlage darstellt und für die mathematische Kompetenz im Lehrerberuf fundamental ist. Das Buch enthält zum besseren Verständnis zahlreiche Aufgaben und Lösungen. In der erweiterten Neuauflage wurde jedem Kapitel ein für Studienanfängerinnen und -anfänger verständlicher Einblick in – vom Stoff des jeweiligen Kapitels inspirierte – aktuelle mathematische Fragestellungen hinzugefügt, etwa zu ungelösten Problemen über Primzahlen oder zur RSA-Verschlüsselung. Die Autoren Prof. Dr. Jürg Kramer forscht und lehrt am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin. Sein Forschungsgebiet ist die arithmetische Geometrie, insbesondere die Arakelov-Theorie und die Theorie der Modulformen. Er ist Mitbegründer der Berlin Mathematical School sowie Gründungsdirektor des Deutschen Zentrums für Lehrerbildung Mathematik. Dr. Anna-Maria von Pippich forscht und lehrt am Fachbereich Mathematik und Statistik der Universität Konstanz. Ihr Forschungsgebiet ist die Zahlentheorie, insbesondere die Theorie der automorphen Formen und die Arakelov-Theorie. Vorwort zur zweiten erweiterten Auflage 5 Vorwort zur ersten Auflage 6 Inhalt 8 Einleitung 10 I Die natürlichen Zahlen 18 1. Die Peano-Axiome 18 2. Teilbarkeit und Primzahlen 25 3. Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie 32 4. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 35 5. Division mit Rest 40 A. Primzahlen – Ergebnisse und Vermutungen 42 A.1 Formeln für Primzahlen 42 A.2 Primzahlverteilung 44 A.3 Primzahllücken und Primzahlzwillinge 47 A.4 Riemannsche Zetafunktion 48 A.5 Goldbach-Vermutung 53 Literaturverzeichnis 54 II Die ganzen Zahlen 55 1. Halbgruppen und Monoide 55 2. Gruppen und Untergruppen 58 3. Gruppenhomomorphismen 65 4. Nebenklassen und Normalteiler 67 5. Faktorgruppen und Homomorphiesatz 75 6. Konstruktion von Gruppen aus regulären Halbgruppen 80 7. Die ganzen Zahlen 86 B. Die RSA-Verschlüsselung – Eine Anwendung der Zahlentheorie 89 B.1 Etwas Kryptographie 89 B.2 Kongruenzarithmetik 93 B.3 Die Sätze von Fermat und Euler 96 B.4 Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 99 Literaturverzeichnis 105 III Die rationalen Zahlen 106 1. Die ganzen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre 106 2. Ringe und Unterringe 111 3. Ringhomomorphismen, Ideale und Faktorringe 117 4. Körper und Schiefkörper 125 5. Konstruktion von Körpern aus Integritätsbereichen 127 6. Die rationalen Zahlen 133 7. ZPE-Ringe, Hauptidealringe und Euklidische Ringe 135 7.1 ZPE-Ringe 138 7.2 Hauptidealringe 139 7.3 Euklidische Ringe 141 C. Rationale Lösungen von Gleichungen – Ein erster Einblick 145 C.1 Die allgemeine Problemstellung 145 C.2 Rationale Punkte auf Geraden und Quadriken 146 C.3 Rationale Punkte auf elliptischen Kurven 148 C.4 Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer 150 C.5 Rationale Punkte auf Kurven vom Grad d > 3 – Die Vermutung von Fermat 153 Literaturverzeichnis 155 IV Die reellen Zahlen 157 1. Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen 157 2. Konstruktion der reellen Zahlen 161 3. Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen 172 4. Äquivalente Charakterisierungen der Vollständigkeit 177 5. Die reellen Zahlen und die Zahlengerade 181 6. Der axiomatische Standpunkt 186 D. Die p-adischen Zahlen – eine andere Vervollständigung von Q 189 D.1 Der p-adische Absolutbetrag 189 D.2 Die p-adischen Zahlen 191 D.3 Das Lokal-Global-Prinzip 193 D.4 Der Satz von Hasse–Minkowski 196 Literaturverzeichnis 200 V Die komplexen Zahlen 202 1. Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum 202 2. Komplexe Zahlen vom Betrag eins und die spezielle orthogonale Gruppe 207 3. Der Fundamentalsatz der Algebra 210 4. Algebraische und transzendente Zahlen 212 5. Transzendenz von e 217 E. Nullstellen von Polynomen – Die Suche nach Lösungsformeln 224 E.1 Nullstellen von Polynomen vom Grad n ≤ 4 224 E.2 Nullstellen von Polynomen vom Grad n = 5 226 E.3 Brückenschlag zur Gruppentheorie: Galoistheorie 229 E.4 Nullstellen von Polynomen und Galoistheorie 234 Literaturverzeichnis 238 VI Die Hamiltonschen Quaternionen 239 1. Die Hamiltonschen Quaternionen als reeller Vektorraum 239 2. Quaternionen vom Betrag eins und die spezielle unitäre Gruppe 243 3. Quaternionen vom Betrag eins und die spezielle orthogonale Gruppe 247 F. Zahlbereichserweiterungen –Was kommt nach den Quaternionen? 251 F.1 Die Cayleyschen Oktonionen 252 F.2 Die Cayleyschen Oktonionen als reelle Divisionsalgebra 255 F.3 Normierte R-Algebren 258 F.4 Der Satz von Hurwitz 261 Literaturverzeichnis 267 Lösungen zu den Aufgaben 268 Ausgewählte Literatur 294 Index 296