Вероятностные распределения в банаховых пространствах

Титульный лист......Page 1 Аннотация и выходные данные......Page 2 Предисловие......Page 3 Введение......Page 5 Список основных обозначений......Page 9 1. Измеримые пространства и отображения, борелевская $\sigma$-алгебра......Page 12 2. $\sigma$-алгебры, порожденные семействами отображений......Page 14 3. $\sigma$-алгебры в произведении пространств......Page 17 4. Структура измеримых отображений......Page 19 Упражнения......Page 22 1. Измеримые векторные пространства......Page 23 2. Соотношения между различными $\sigma$-алгебрами......Page 24 3. Вспомогательные результаты и контрпримеры......Page 27 Упражнения......Page 30 1. Некоторые сведения из общей теории меры......Page 31 2. Регулярные, $\tau$-гладкие и радоновы меры......Page 33 3. Носитель меры......Page 36 4. Существование $\tau$-гладких и радоновых продолжений......Page 38 5. Продолжение бэровских мер. Теорема Прохорова......Page 42 6. Вложение пространства мер в пространство линейных функционалов......Page 44 7. Слабая сходимость вероятностных мер......Page 45 8. Слабая топология. Критерий Прохорова......Page 49 9. Условия слабой относительной компактности семейства вероятностных мер в банаховых пространствах......Page 53 Упражнения......Page 55 1. Продолжение произведений мер......Page 58 2. Определение свертки вероятностных мер......Page 62 3. Непрерывность свертки. Уравнение $\mu*\nu=\mu......Page 63 4. Слабая компактность и свертка......Page 65 Упражнения......Page 67 1. Существование инвариантных мер, теорема А. Вейля и ее следствия......Page 68 2. Допустимые сдвиги и квазиинвариантность......Page 69 3. Скалярно невырожденные меры. Продолжение слабо $\tau$-гладких и слабо радоновых мер......Page 71 Упражнения......Page 74 Дополнительные сведения......Page 75 1. Вероятностные пространства......Page 79 2. Случайные элементы......Page 80 3. Различные виды сходимости случайных элементов. Пространство $L_0(\Omega, \mathcal{A}, Р; X)$......Page 82 4. Структура операторов, индуцированных случайными элементами......Page 85 Упражнения......Page 88 1. Сравнение классов......Page 90 2. Сильный порядок. Связь с суммирующими и ядерными операторами......Page 92 3. Слабый порядок......Page 95 4. Случай гильбертова пространства. Связь с операторами Гильберта-Шмидта......Page 96 Упражнения......Page 97 1. Определение и существование......Page 98 2. Неопределенный интеграл Свойство Радона—Никодима......Page 104 Упражнения......Page 106 1. Условное математическое ожидание......Page 107 2. Сходимость мартингалов в среднем......Page 109 3. Ограниченность и сходимость мартингалов п. н.......Page 111 4. Сходимость мартингалов и свойство Радона—Никодима......Page 115 Упражнения......Page 117 Дополнительные сведения......Page 118 1. Общие свойства......Page 120 2. Лемма о факторизации......Page 123 3. Связь с гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром......Page 127 4. Симметричные компактные операторы в гильбертовом пространстве......Page 131 5. Положительно определенные операторные функции......Page 133 6. Случай комплексных пространств......Page 136 Упражнения......Page 138 1. Определение и свойства......Page 139 2. Описание класса ковариационных операторов......Page 142 3. Ковариационные операторы вероятностных мер с сильным вторым порядком......Page 143 4. Операторы взаимной корреляции......Page 145 5. Замечания к случаю комплексных пространств......Page 147 Упражнения......Page 148 Дополнительные сведения......Page 149 1. Определение и основные свойства......Page 150 2. Положительно определенные функции на группах......Page 153 4. Отрицательно определенные функции......Page 154 5. Интегралы от положительно определенных функций......Page 158 Упражнения......Page 159 1. Определение и однозначность соответствия......Page 160 2. Другие свойства характеристических функционалов......Page 164 3. Непрерывность......Page 167 4. Важный пример — гауссовские меры......Page 170 5. Характеристические функционалы индуцированных операторов......Page 175 6. Применение к характеризации случайных элементов с радоновыми распределениями......Page 178 Упражнения......Page 179 1. Условия слабой сходимости......Page 180 2. Теорема Леви......Page 182 3. Слабая сходимость в слабой топологии......Page 185 4. Непрерывность операторов со значениями в $L_0$......Page 186 Упражнения......Page 187 1. Теорема Бохнера в случае $R^n$......Page 188 2. Один бесконечномерный аналог теоремы Бохнера — теорема Бохнера—Колмогорова......Page 189 3. Изометрически инвариантные меры. Теорема Шёнберга......Page 191 Упражнения......Page 195 Дополнительные сведения......Page 198 1. Основные определения......Page 200 2. Законы нуля или единицы......Page 202 Упражнения......Page 206 1. Сумма независимых случайных элементов и свертка......Page 207 2. Неравенство Леви и его следствия......Page 208 3. Сходимость и ограниченность рядов, составленных из знакоинвариантных последовательнсстей случайных элементов......Page 211 4. Эквиваленткость различных видов сходимости......Page 213 5. Случай независимых симметричных слагаемых......Page 215 Упражнения......Page 219 1. Bcпoмогательные неравенства......Page 220 2. Экспоненциальная интегрируемость суммы ряда в случае равномерно ограниченных слагаемых......Page 225 3. Сходимость рядов в среднем. Общий случай......Page 228 Упражнения......Page 232 1. Ограниченные мультипликаторы......Page 234 2. Связь с безусловюй сходимостью......Page 237 3. Безусловная сходимость в $L_0(\Omega, X)$......Page 240 4. Сравнение рядов вида $\Sigma x_k f_k$ и $\Sigma x_k g_k$......Page 243 Упражнения......Page 246 1. Сбщие ряды вида $\Sigma x_n f_n$......Page 247 2. Ряды вида $\Sigma x_k \varepsilon_k$......Page 250 3. Случай гауссовских рядов......Page 254 4. Сходимость гауссовских рядов и описание гауссовских ковариаций......Page 260 5. Разложение гауссовских случайных элементов......Page 262 6. Ряды вида $\Sigma x_n f_n$ в случае устойчивых $f_n$......Page 264 Упражнения......Page 268 1. Ограниченность и сходимость......Page 270 2. Равномерная сходимость......Page 275 Упражнения......Page 277 Дополнительные сведения......Page 278 1. Теорема Сазонова......Page 281 2. Компактность семейства вероятностных мер и равностепенная непрерывность характеристических функционалов......Page 283 3. Характеристические функционалы мер с гильбертовым носителем......Page 286 Упражнения......Page 289 1. Определения и основная теорема......Page 290 2. Вложимость в $L_0$ и свойство Сазонова......Page 295 3. Допустимые топологии, отличные от $\tau_{nuc}(H)$......Page 298 Упражнения......Page 302 1. Свойства цилиндрических мер......Page 303 2. Цилиндрические меры и операторы, отображающие в $L_0$......Page 307 3. Теорема Прохорова в продолжении цилиндрических мер......Page 308 4. Свертка цилиндрических мер......Page 309 5. Меры со слабо непрерывными характеристическими функционалами......Page 311 Упражнения......Page 313 1. Вспомогательные леммы......Page 315 2. Достаточность топологии $\tau_mathfrak{G}(X^\ast, X)$......Page 316 3. Случая ядерных пространств, теорема Минлоса......Page 317 1. Непрерывность и тип цилиндрической меры......Page 319 2. $(q,р)$-радонизующие операторы......Page 323 3. $p$-суммирующие и $p$-радонизующие операторы $(1