Uniformisation des surfaces de Riemann - Retour sur un théorème centenaire

Sommaire......Page 5 Les auteurs......Page 8 Avant-propos......Page 9 Introduction générale - Le théorème d’uniformisation......Page 13 PARTIE A - Les surfaces de Riemann......Page 33 I. Travaux précurseurs......Page 35 I.1. À propos du développement des nombres complexes......Page 36 I.2. La cartographie......Page 37 I.3. Un survol du développement des fonctions elliptiques......Page 50 II. Riemann......Page 59 II.1. Préliminaires : fonctions holomorphes et surfaces de Riemann......Page 60 II.2. Principe de Dirichlet et conséquences......Page 80 II.3. Variété jacobienne et espaces de modules......Page 101 III. Surfaces de Riemann et surfaces riemanniennes......Page 113 III.1. Felix Klein et l’illustration de la théorie de Riemann......Page 114 III.2. Retour moderne à la théorie de Riemann......Page 126 IV. Le travail de Schwarz......Page 137 IV.1. Structure conforme sur la sphère......Page 138 IV.2. Problèmes explicites de représentation conforme......Page 144 Intermezzo......Page 155 V. La quartique de Klein......Page 157 V.1. Formes modulaires, invariant j......Page 160 V.2. Comment Klein paramètre sa quartique......Page 169 PARTIE B - Méthode de continuité......Page 183 VI.1. Groupes fuchsiens, polygone fondamental et pavage hyperbolique......Page 195 VI.2. Exemples......Page 214 VI.3. Algébrisation d’après Poincaré......Page 218 VI.4. Appendice......Page 226 VII. La « méthode de continuité »......Page 229 VII.1. Préliminaires......Page 230 VII.2. Représentations des groupes de surfaces......Page 232 VII.3. Représentations réelles fidèles et discrètes......Page 240 VII.4. Preuve de l’uniformisation......Page 245 VIII.1. Préliminaires : quelques aspects des équations différentielles algébriques du premier ordre......Page 249 VIII.2. L’approche de Poincaré......Page 258 VIII.3. Équations différentielles linéaires d’ordre 2, équations normales et équations uniformisantes......Page 261 VIII.4. L’ensemble des équations normales sur une courbe fixée......Page 272 VIII.5. Monodromie des équations normales et uniformisation des courbes algébriques......Page 278 IX.1. Théorie de Fuchs locale......Page 289 IX.2. Équation hypergéométrique de Gauss et liste de Schwarz......Page 294 IX.3. Exemples de familles d’équations normales......Page 312 IX.4. Uniformisation des sphères privées de 4 points......Page 319 IX.5. Postérité......Page 328 Intermezzo......Page 337 X. L’uniformisation des surfaces et l’équation Δg u = 2e u −φ......Page 339 X.1. L’uniformisation des surfaces et l’équation Δg u = 2e u −φ......Page 343 X.2. Comment Poincaré résout l’équation Δg u = θ e u −φ......Page 350 X.3. Conclusion : uniformisation des surfaces de Riemann algébriques, prescription de courbure et calcul des variations......Page 374 PARTIE C - Vers le théorème d’uniformisation général......Page 379 XI. L’uniformisation des fonctions......Page 395 XI.1. Uniformisation des domaines relativement compacts à bords......Page 396 XI.2. Exhaustion par des domaines relativement compacts simplement connexes......Page 403 XI.3. Paramétrage par un ouvert simplement connexe du disque......Page 408 XI.4. Théorème d’Osgood......Page 413 XI.5. Le problème des ramifications......Page 416 XII.1. Principe de la preuve......Page 419 XII.2. Cas où la suite (ck) est bornée......Page 421 XII.3. Cas où la suite (ck) tend vers l’infini......Page 423 XIII.1. Stratégie de la preuve......Page 429 XIII.2. Existence d’une majorante de Green sur l’anneau A......Page 431 XIII.3. La preuve plus directe de Koebe......Page 442 Épilogue - Le théorème d’uniformisation de 1907 à 2007......Page 447 Appendices......Page 453 Correspondance entre Klein et Poincaré......Page 455 Quelques repères historiques......Page 493 Bibliographie......Page 517 Index......Page 541