یک مقدمهٔ اکسیوماتیک بر مجموعه‌ها

O principal objetivo deste texto é levar o leitor a compreender os axiomas da Teoria dos Conjuntos, segundo “Zermelo-Fraenkel”, a ponto de aplicá-los em diferentes contextos tais como o axioma da escolha, modelagem de situaçõesproblema envolvendo o princípio do máximo de Hausdorff, Lema de Zorn,conjuntos bem ordenados, construção dos números naturais e números cardinais. 1 O Método Axiomático 1 1.1 Introdução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Modelos Axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Caracterização de um Sistema de Axiomas . . . . . . . . . . . . 16 2 Conjuntos 35 2.1 Introdução Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Gráficos e Famílias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Conjuntos Parcialmente Ordenados 101 3.1 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.3 Elementos Notáveis e Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4 Axioma da Escolha e Aplicações 175 4.1 Axioma da Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.3 Princípio da Boa Ordenação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5 Os Números Naturais 219 5.1 Os Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.2 Aritmética dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6 Números Cardinais 255 6.1 Conjuntos Equipotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.2 Números Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 6.3 Aritmética dos Números Cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . 277