Übungsbuch Analysis I : Klausurrelevante Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Übung macht den Meister – so ist es auch in der Analysis. In diesem Buch werden circa 500 Aufgaben zur Analysis I vorgestellt, die ein breites Themen- und Aufgabentyp-Spektrum abdecken. Dabei kann man bei Fragen oder Problemen in dem entsprechenden Lösungshinweis der Aufgabe nachlesen und die Aufgabe damit eigenständig lösen. Die Lösung kann dann im Abschnitt „Lösungen“ verglichen werden. Vorwort 6 Inhaltsverzeichnis 8 Symbolverzeichnis 11 Teil I Aufgaben 14 1 Grundlagen 15 1.1 Aussagenlogik und Beweistechniken 15 1.2 Mengen und Relationen 16 1.3 Abbildungen 17 1.4 Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen 18 1.5 Komplexe Zahlen 18 1.6 Elementare Gleichungen und Ungleichungen 19 1.7 Vollständige Induktion 20 2 Folgen 23 2.1 Konvergente Folgen 23 2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen 24 2.3 Cauchy-Folgen 26 2.4 Rekursive Folgen 26 2.5 Limes Inferior und Limes Superior 27 3 Reihen 28 3.1 Konvergente Reihen 28 3.2 Eigenschaften konvergenter Reihen 30 3.3 Cauchy-Produktformel 30 3.4 Doppelreihen 31 3.5 Potenzreihen 32 4 Stetigkeit 33 4.1 Stetige Funktionen 33 4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen 35 4.3 Zwischenwertsatz und Nullstellensatz von Bolzano 38 4.4 Gleichmäßig stetige Funktionen 39 4.5 Eigenschaften gleichmäßig stetiger Funktionen 40 4.6 Lipschitz-stetige Funktionen 41 5 Differentialrechnung 42 5.1 Differenzierbare Funktionen 42 5.2 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 44 5.3 Lokale Extrema 45 5.4 Satz von Rolle 46 5.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 47 5.6 Satz von l'Hospital 48 5.7 Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion 49 5.8 Satz von Taylor 49 6 Konvexität 51 6.1 Konvexe Funktionen 51 6.2 Eigenschaften konvexer Funktionen 52 7 Integralrechnung 54 7.1 Treppenfunktionen und Regelfunktionen 54 7.2 Riemann-integrierbare Funktionen 55 7.3 Integrationstechniken 56 7.4 Minoranten-, Majoranten- und Integralvergleichskriterium 59 7.5 Hauptsatz und Mittelwertsatz der Integralrechnung 59 8 Funktionenfolgen 61 Teil II Lösungshinweise 63 9 Lösungshinweise Grundlagen 64 10 Lösungshinweise Folgen 72 11 Lösungshinweise Reihen 78 12 Lösungshinweise Stetigkeit 88 13 Lösungshinweise Differentialrechnung 96 14 Lösungshinweise Konvexität 111 15 Lösungshinweise Integralrechnung 114 16 Lösungshinweise Funktionenfolgen 124 Teil III Lösungen 126 17 Lösungen Grundlagen 127 18 Lösungen Folgen 152 19 Lösungen Reihen 167 20 Lösungen Stetigkeit 187 21 Lösungen Differentialrechnung 210 22 Lösungen Konvexität 245 23 Lösungen Integralrechnung 251 24 Lösungen Funktionenfolgen 285 Teil IV Übungsklausuren 290 25 Übungsklausur Analysis I (A) 291 25.1 Übungsklausur 291 25.2 Musterlösung 293 26 Übungsklausur Analysis I (B) 297 26.1 Übungsklausur 297 26.2 Musterlösung 299 27 Übungsklausur Analysis I (C) 303 27.1 Übungsklausur 303 27.2 Musterlösung 305 28 Übungsklausur Analysis I (D) 309 28.1 Übungsklausur 309 28.2 Musterlösung 311 29 Übungsklausur Analysis I (E) 314 29.1 Übungsklausur 314 29.2 Musterlösung 316 Stichwortverzeichnis 319 Sachverzeichnis 319