Tutorien zur Technischen Mechanik: Arbeitsmaterialien für das Lehren und Lernen in den Ingenieurwissenschaften (German Edition)

Die vorliegenden Materialien helfen Studierenden, die verwendeten Begriffe und Zusammenhänge in der Technischen Mechanik zu verstehen und anzuwenden. Anhandkonkreter Beispiele wird eine strukturierte Auseinandersetzung mit den fachlichenGrundlagen gefördert. Der Fokus liegt dabei nicht nur auf der Einübung der mathematischen Methoden sondern vor allem auf der Beseitigung von elementarenSchwierigkeiten beim Verständnis der verwendeten Begriffe sowie der Zusammenhänge,die den Berechnungsverfahren zugrunde liegen. Die __Tutorien__ setzen sich aus themenspezifischen Arbeitsblättern zusammen und umfassen den Inhalt einer dreisemestrigen Lehrveranstaltung zur Technischen Mechanik mit den folgenden Teilgebieten: · Statik, · Elastostatik, · Kinematik, · Kinetik. Sie sind in gleicher Weise für Studierende des Maschinenbaus oder Bauingenieurwesens wie auch anderer Studiengänge (z.B. Elektrotechnik oder Verfahrenstechnik) geeignet, sowohl an (Technischen) Universitäten als auch an anderen Hochschulen. Die __Tutorien__ bieten sich vor allem für die Kleingruppenarbeit im Rahmen wöchentlicher, von Lehrkräften begleiteter Gruppenübungen an, können aber auch unabhängig davon zur Klausurvorbereitung genutzt werden. Diese Arbeitsblätter wurden im mehrjährigen Einsatz an der Technischen Universität Hamburg getestet und weiterentwickelt und nutzen nicht nur die langjährige Lehrerfahrung der Autoren sondern auch die Ergebnisse systematischer Untersuchungen zum Verständnis der Studierenden in diesem Fach. Inhaltsverzeichnis 5 Vorwort 6 I Statik 10 1. Kräfte 11 1 Klassifizierung und Kennzeichnung von Kräften 11 1.1 Freikörperbilder 11 1.2 Kontaktkräfte und Feldkräfte 11 1.3 Diskussion 12 2 Anwendung von Freikörperbildern 13 2.1 Freikörperbild für ein Buch 13 2.2 Zwei Bücher 13 2.3 Newton’sche Kräftepaare 15 2. Kräfte und Momente 16 1 Moment einer Einzelkraft in skalarer Darstellung 16 1.1 Definition 16 1.2 Abhängigkeit vom Bezugspunkt 17 2 Anwendung des Momentengleichgewichts 17 2.1 Kräfte- und Momentengleichgewicht 17 2.2 Grenzbedingungen für das Gleichgewicht 18 3 Bezugspunkte außerhalb der betrachteten Körper 19 3.1 Wechsel des Bezugspunktes 19 3.2 Momentengleichgewicht bei unterschiedlichen Bezugspunkten 19 3. Freie Momente 20 1 Freies Moment 20 1.1 Moment eines Kräftepaares 20 1.2 Ersetzen eines Kräftepaares durch ein freies Moment 21 2 Kräfte und Momente im Freikörperbild 21 2.1 Kräfte und Momente von Einzelkräften 21 2.2 Freie Momente 23 4. Modellierung von Systemen und Komponenten 24 1 Balken und Reiter 24 1.1 Betrachtung des Gesamtsystems 24 1.2 Betrachtung des Einzelsystems Balken 25 1.3 Betrachtung des Einzelsystems Reiter 26 1.4 Systeme und Systemwahl 26 5. Äquivalenz von Kräftesystemen 28 1 Vergleich von Kräftesystemen 28 1.1 Resultierende Kräfte und Momente 28 1.2 Gleichgewicht und Äquivalenz 29 2 Äquivalente Kräftesysteme 30 2.1 Ersetzen eines freien Moments durch eine Kraft? 30 2.2 Ersetzen durch Einzelkraft 30 2.3 Konstruktion von äquivalenten Kräftesystemen 31 6. Lager und Bestimmtheit 32 1 Lager und Lagerwertigkeit 32 1.1 Vereinfachte Notation für Lagerreaktionen 32 1.2 Lagerwertigkeit 33 2 Lagerreaktionen am Balken 33 2.1 Balken mit Fest- und Loslager 33 2.2 Balken mit zwei Festlagern 34 2.3 Balken mit zwei Loslagern 35 7. Fachwerke 36 1 Zweikraftsysteme 36 1.1 Gelenkig verbundener Körper 36 1.2 Zusammenfassung und Verallgemeinerung 36 2 Fachwerke 37 2.1 Vorbetrachtungen 37 2.2 Schrittweise Anwendung des Knotenpunktverfahrens 37 2.3 Ritter’sches Schnittverfahren 38 8. Reibung 40 1 Haftreibung und Gleitreibung 40 1.1 Kiste im Gleichgewicht 40 1.2 Vergrößerung der eingeprägten Kraft 40 2 Vergleich mit Lagerkräften 41 2.1 Lagerung mit Fest- und Loslager 41 2.2 Einordnung von Haft- und Gleitreibung sowie Lagerkräften 41 9. Kräfte an Seilen 42 1 Seile 42 1.1 Seil mit nicht verschwindender Masse 42 1.2 Dünnes Seil 43 2 Seile und Rollen 44 2.1 Rolle mit Reibung 44 2.2 Reibungsfreie Rolle 45 10. Schnittgrößen – Diskrete Lasten 46 1 Schnittgrößen am Kragbalken 46 1.1 Gesamtkörper 46 1.2 Schnitt am Punkt A 46 1.3 Schnitt am Punkt B 47 1.4 Schnitt am Punkt C 47 1.5 Anwendung der Vorzeichenkonvention 48 1.6 Verallgemeinerung 48 2 Ergänzendes Beispiel mit Moment 49 2.1 Schnittgrößen 49 2.2 Lagerreaktionen 49 11. Schnittgrößen – Verteilte Lasten 50 1 Einzelkräfte und Streckenlast 50 1.1 Einzelkräfte 50 1.2 Streckenlast 50 2 Anwendung der differentiellen Beziehungen 51 2.1 Bestimmung der Last bei gegebenen Q und M 51 3 Gelenkträger 52 3.1 Rechter Teilkörper 52 3.2 Linker Teilkörper 53 3.3 Schnittgrößenverläufe für das Gesamtsystem 53 II Elastostatik 54 12. Zug und Druck 55 1 Kräfte und Spannungen in einem Kegel unter Eigengewicht 55 1.1 Vorüberlegungen 55 1.2 Bestimmung der Normalkraft 55 1.3 Bestimmung der Normalspannung 56 2 Verformung des Kegels unter Eigengewicht 56 2.1 Zusammenhang zwischen Dehnung und Verschiebung 56 2.2 Dehnung im Kegel 57 2.3 Verschiebungsfunktion bei gegebener Dehnung 57 13. Ebener Spannungszustand 59 1 Schnittkräfte, Normalspannungen und Schubspannnungen im einachsigen Spannungszustand 59 1.1 Senkrechter Schnitt 59 1.2 Schiefer Schnitt mit 30°-Neigung zur Vertikalen 60 1.3 Schiefe Schnitte mit 45°- bzw. 60°-Neigung zur Vertikalen 61 1.4 Grenzfall des horizontalen Schnittes 61 2 Der Mohr’sche Spannungskreis 62 2.1 Interpretation 62 2.2 Anwendung 62 14. Verzerrungen 63 1 Dehnungen 63 1.1 Dehnungen entlang einer Koordinatenachse 63 1.2 Verschiebungen und Dehnungen 64 1.3 Dehnungen entlang zweier Koordinatenachsen 65 2 Gleitung 66 2.1 Gleitungen in einer Ebene 66 2.2 Dehnungen und Gleitungen durch Verschiebungen 67 15. Tensoreigenschaften von Spannung und Verzerrung 68 1 Spannungen 68 1.1 Beschreibung der Spannungen in verschiedenen Koordinatensystemen 68 1.2 Wechsel des Koordinatensystems und Drehmatrizen 69 2 Verzerrungen 69 2.1 Beschreibung von Verzerrungen in verschiedenen Koordinatensystemen 69 2.2 Verzerrungstensor im ursprünglichen Koordinatensystem 71 2.3 Verzerrungstensor im rotierten Koordinatensystem 71 2.4 Wechsel des Koordinatensystems durch Anwendung der Drehmatrizen 71 16. Stoffgesetze und Materialeigenschaften 72 1 Größenordnungen der Materialkonstanten 72 1.1 Abschätzung des Elastizitätsmoduls 72 1.2 Abschätzung der Zugfestigkeit 73 2 Spannungs-Verzerrungs-Zusammenhang mit Temperatureinfluss 74 2.1 Querkontraktion 74 2.2 Temperatureinfluss 74 2.3 Verzerrungen unter Einfluss mechanischer und thermischer Belastungen 75 17. Torsion 76 1 Kinematik der Torsion 76 1.1 Verzerrungszustand bei Torsion 76 1.2 Verschiebung als Funktion des Radius 77 2 Kräfte und Momente bei Torsion 78 2.1 Vorüberlegungen 78 2.2 Betrachtung einzelner Elemente im Querschnitt 79 2.3 Betrachtung des gesamten Querschnitts 79 18. Anwendungsbeispiel: Schraubenfedern 81 1 Parallel und hintereinander angeordnete Federn 81 1.1 Hintereinander angeordnete Federn 81 1.2 Parallel angeordnete Federn 81 2 Steifigkeit einer Schraubenfeder: Qualitative Betrachtung 82 2.1 Vorüberlegungen 82 2.2 Dimensionsbetrachtung 82 3 Steifigkeit einer Schraubenfeder: Quantitative Betrachtung 83 3.1 Äußere Kraft und Torsionsmoment 83 3.2 Vergleich mit Torsionswelle 83 4 Qualitative Betrachtung der Abhängigkeit der Federkonstante vom Windungsradius 84 4.1 Geometrie der Verformung bei der Schraubenfeder 84 4.2 Abhängigkeit der Federkonstante vom Windungsradius über die Drahtlänge 84 4.3 Abhängigkeit der Federkonstante vom Windungsradius aufgrund des Torsionsmoments 84 19. Biegung – Spannungszustand und Einflussgrößen 85 1 Qualitative Betrachtung der maximalen Durchbiegung bei gegebener Last 85 1.1 Dimensionsbetrachtung 85 1.2 Lokale Verformung 86 1.3 Abhängigkeit der Verformung von der Balkenhöhe 87 2 Vorüberlegungen zur Biegelinie 88 2.1 Die Verschiebung w(x) und ihre Ableitungen 88 2.2 Charakterisierung der lokalen Belastung 88 20. Biegung – Biegelinie 89 1 Biegung in Abhängigkeit von Randbedingungen und Last 89 1.1 Biegung durch ein Moment? 89 1.2 Allgemeiner Zusammenhang zwischen Biegelinienverlauf und Belastung 90 1.3 Verformung des durch ein Moment belasteten Balkens 90 1.4 Biegung bei veränderten Randbedingungen 91 1.5 Biegung bei veränderter Last 92 2 Vergleich von Kräftepaar und Moment 93 2.1 Biegung durch ein Kräftepaar 93 2.2 Grenzwertbetrachtung 93 21. Schubspannungen im Balken 94 1 Schubspannungen infolge von Querkräften 94 1.1 Wiederholung: Schubspannungen 94 1.2 Rechteckprofil 94 2 Schubspannungen aufgrund eines variierenden Biegemoments 95 2.1 Doppel-T-Profil 95 2.2 Rechteckprofil im Vergleich zum Doppel-T-Profi 96 2.3 U-Profil 97 22. Schiefe Biegung 98 1 Flächenträgheitsmomente 98 1.1 Flächenträgheitsmomente eines Rechtecks 98 1.2 Mohr’scher Trägheitskreis 99 1.3 Trägheitsmomente bei mehrfacher Symmetrie 99 2 Biegung entlang einer Achse, die nicht Hauptachse ist 100 2.1 Verzerrungen bei gegebener Verformung 100 2.2 Bestimmung der Momente mithilfe der geometrischen Größen 100 2.3 Quantitative Betrachtung der Verformung 101 2.4 Verallgemeinerung der Ergebnisse 101 23. Arbeit am elastischen Körper 102 1 Zusammenhang zwischen Kraft, Verschiebung und Arbeit 102 1.1 Arbeit als Energieübertragung 102 1.2 Arbeit als skalare Größe 103 1.3 Arbeit als Prozessgröße 103 1.4 Arbeit als Integral 103 2 Arbeit und Energieänderungen in einfachen Systemen 104 2.1 Arbeit am Einzelkörper 104 2.2 Arbeit am Gesamtsystem 104 2.3 Arbeit und Änderung der inneren Energie 104 3 Arbeit durch ein Moment 105 3.1 Arbeit durch ein Kräftepaar 105 3.2 Arbeit bei Torsion 105 24. Energiemethoden 106 1 Arbeit aufgrund mehrerer Kräfte 106 1.1 Arbeit durch eine Kraft auf eine Feder 106 1.2 Arbeit durch zwei Kräfte 106 2 Mikroskopische Betrachtung von Arbeit und Energie 107 2.1 Arbeit bei Dehnung 107 2.2 Gesamte innere Energie eines belasteten Bauteils am Beispiel eines Balkens 108 3 Anwendung des Satzes von Castigliano 108 3.1 Belastung durch eine Einzelkraft 108 3.2 Einführen eines Hilfsmoments 109 25. Knickung 110 1 Qualitative Betrachtung 110 1.1 Instabile Gleichgewichtslagen bei Druckbelastung 110 1.2 Dimensionsbetrachtung 110 1.3 Abschätzung der Größenordnung der kritischen Last 111 2 Die Knickgleichung 111 2.1 Differentialgleichung für den beidseitig gelenkig gelagerten Stab 111 2.2 Differentialgleichung für beliebige Lagerung 112 2.3 Zusammenhänge zwischen verschiedenen Knickfällen 113 III Kinematik 114 26. Beschleunigung bei eindimensionaler Bewegung 115 1 Bewegung mit abnehmendem Geschwindigkeitsbetrag 115 1.1 Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsänderung 115 1.2 Beschleunigung 116 1.3 Zusammenfassung 116 2 Bewegung mit zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag 117 2.1 Geschwindigkeitsänderung und Beschleunigung 117 2.2 Zusammenfassung 117 3 Bewegung mit Umkehr der Bewegungsrichtung 118 3.1 Geschwindigkeitsänderung 118 3.2 Beschleunigung 118 27. Kinematik in der Ebene 120 1 Geschwindigkeitsvektoren 120 1.1 Mittlere Geschwindigkeit 120 1.2 Momentangeschwindigkeit 120 2 Beschleunigung bei Bewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag 120 2.1 Geschwindigkeiten 121 2.2 Geschwindigkeitsänderung und Beschleunigung 121 2.3 Beschleunigung in Abhängigkeit von Krümmung und Geschwindigkeitsbetrag 122 2.4 Zusammenfassung 122 3 Beschleunigung bei Bewegungen mit zunehmender Geschwindigkeit 123 3.1 Geschwindigkeitsänderung und mittlere Beschleunigung 123 3.2 Momentanbeschleunigung 123 28. Relativbewegung 124 1 Verschiedene Bezugssysteme ohne Relativbewegung 124 1.1 Bezugssysteme mit gleicher Orientierung 124 1.2 Bezugssysteme verschiedener Orientierung 125 2 Verschiedene Bezugssysteme mit Relativbewegung 126 2.1 Bezugssystem des relativ zur Erde unbewegten Wagens W 126 2.2 Bezugssystem des relativ zur Erde bewegten Wagens W′′′ 127 29. Rotierende Koordinatensysteme 129 1 Konstruktion von Ortsvektoren und Geschwindigkeiten 129 1.1 Ortsvektoren 129 1.2 Verschiebungen 130 1.3 Geschwindigkeiten 130 2 Transformation der Geschwindigkeiten sowie Beschleunigungen 131 2.1 Transformation der Geschwindigkeiten 131 2.2 Transformation der Geschwindigkeiten für im rotierenden System ruhenden Körper 131 2.3 Beschleunigungen 132 2.4 Transformation der Beschleunigungen 132 IV Kinetik 133 30. Zweites und drittes Newton’sches Gesetz 134 1 Anwendung der Newton’schen Gesetze auf wechselwirkende Körper 134 1.1 Konstante Geschwindigkeit 134 1.2 Veränderliche Geschwindigkeit 135 1.3 Gesamtsystem bei veränderlicher Geschwindigkeit 136 2 Interpretation von Freikörperbildern 137 2.1 Freikörperbild eines Wagens 137 31. Kräfte in beschleunigten vs. statischen Situationen 138 1 Kräfte auf Seile unterschiedlicher Masse 138 1.1 Durch ein dickes Seil verbundene Klötze 138 1.2 Durch ein dünnes Seil verbundene Klötze 139 2 Anwendung: Die Atwood’sche Fallmaschine 140 2.1 Qualitative Betrachtungen 140 2.2 Quantitative Betrachtung des Beispielsystems 141 32. Trägheitskräfte 142 1 Betrachtungen im Bezugssystem der Erde 142 1.1 Gleichförmige Bewegung 142 1.2 Beschleunigte Bewegung 142 2 Betrachtung im Bezugssystem des Aufzugs 143 2.1 Kräftebilanz im beschleunigten System 143 2.2 Trägheitskräfte 143 3 Trägheitskräfte in rotierenden Systemen 144 3.1 Betrachtung im Inertialsystem 144 3.2 Bahnkurve im rotierenden System 145 3.3 Bestimmung der Trägheitskräfte 145 33. Arbeit und kinetische Energie 147 1 Zusammenhang zwischen Kraft, Verschiebung und Arbeit 147 1.1 Arbeit am Einzelkörper 147 1.2 Arbeit an Systemen mehrerer Körper 148 2 Arbeit und Änderungen der kinetischen Energie an einfachen Systemen 149 2.1 Energiesatz für Massenpunkte 149 2.2 Anwendung des Energiesatzes 149 2.3 Grenzen der Gültigkeit des Energiesatzes für Massenpunkte 150 34. Dynamik von Translation und Rotation 151 1 Kräfte als Ursache von Translation und Rotation 151 1.1 Experiment mit Klotz und Garnrolle 151 1.2 Experiment mit fallenden Garnrollen 152 1.3 Schlussfolgerung 153 1.4 Einfluss des Trägheitsmoments 153 2 Arbeit und kinetische Energie bei Translation und Rotation 154 2.1 Energie des Gesamtsystems 154 2.2 Arbeit an Teilsystemen 155 35. Trägheitstensor und Drall 156 1 Raumfestes System 156 1.1 Rotation um eine Symmetrieachse 156 1.2 Rotation um eine Achse, die nicht Symmetrieachse ist 157 1.3 Zeitabhängigkeit des Dralls 158 2 Rotierendes System 159 2.1 Auswirkungen der Trägheitskräfte 159 Front Matter ....Pages I-X Front Matter ....Pages 1-1 Kräfte (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 3-7 Kräfte und Momente (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 9-12 Freie Momente (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 13-16 Modellierung von Systemen und Komponenten (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 17-20 Äquivalenz von Kräftesystemen (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 21-24 Lager und Bestimmtheit (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 25-28 Fachwerke (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 29-32 Reibung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 33-34 Kräfte an Seilen (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 35-38 Schnittgrößen – Diskrete Lasten (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 39-42 Schnittgrößen – Verteilte Lasten (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 43-46 Front Matter ....Pages 47-47 Zug und Druck (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 49-52 Ebener Spannungszustand (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 53-56 Verzerrungen (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 57-61 Tensoreigenschaften von Spannung und Verzerrung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 63-66 Stoffgesetze und Materialeigenschaften (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 67-70 Torsion (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 71-75 Anwendungsbeispiel: Schraubenfedern (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 77-80 Biegung – Spannungszustand und Einflussgrößen (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 81-84 Biegung – Biegelinie (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 85-89 Schubspannungen im Balken (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 91-94 Schiefe Biegung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 95-98 Arbeit am elastischen Körper (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 99-102 Energiemethoden (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 103-106 Knickung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 107-110 Front Matter ....Pages 111-111 Beschleunigung bei eindimensionaler Bewegung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 113-117 Kinematik in der Ebene (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 119-122 Relativbewegung (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 123-127 Rotierende Koordinatensysteme (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 129-132 Front Matter ....Pages 133-133 Zweites und drittes Newton’sches Gesetz (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 135-138 Kräfte in beschleunigten vs. statischen Situationen (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 139-142 Trägheitskräfte (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 143-147 Arbeit und kinetische Energie (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 149-152 Dynamik von Translation und Rotation (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 153-157 Trägheitstensor und Drall (Christian Kautz, Andrea Brose, Norbert Hoffmann)....Pages 159-162