Stochastik: Eine Einführung mit Grundzügen der Maßtheorie : Inkl. zahlreicher Erklärvideos

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Student(inn)en der Mathematik in Bachelor-Studiengängen. Es bietet eine fundierte, lebendige und mit diversen Erklärvideos audiovisuell erweiterte Einführung sowohl in die Stochastik einschließlich der Mathematischen Statistik als auch der Maß- und Integrationstheorie. Durch besondere didaktische Elemente eignet es sich insbesondere zum Selbststudium und als vorlesungsbegleitender Text. **Herausragende Merkmale sind:** * durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 140 Abbildungen * prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften * Selbsttests ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens * farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor * „Unter-der-Lupe“-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erklären Details * „Hintergrund-und-Ausblick“-Boxen betrachten weiterführende Gesichtspunkte * Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen * mehr als 330 Übungsaufgaben * zahlreiche über QR-Codes verlinkte Erklärvideos Die Inhalte dieses Buches basieren größtenteils auf dem Werk „Grundwissen Mathematikstudium – Höhere Analysis, Numerik und Stochastik“, werden aber wegen der curricularen Bedeutung hiermit in vollständig überarbeiteter Form als eigenständiges Werk veröffentlicht. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 7 Verzeichnis der Übersichten 10 1 Stochastik – eine Wissenschaft für sich 11 1.1 Über dieses Buch 12 1.2 Die didaktischen Elemente dieses Lehrbuches 12 1.3 Zur Geschichte der Stochastik und der Maß- und Integrationstheorie 15 1.4 Anmerkungen zur Mathematik und Stochastik 16 2 Wahrscheinlichkeitsräume – Modelle für stochastische Vorgänge 18 2.1 Grundräume, Ereignisse 19 2.2 Zufallsvariablen 22 2.3 Das Axiomensystem von Kolmogorov 24 2.4 Verteilungen von Zufallsvariablen, Beispiel-Klassen 26 2.5 Folgerungen aus den Axiomen 31 2.6 Elemente der Kombinatorik 37 2.7 Urnen- und Fächer-Modelle 42 Zusammenfassung 47 Aufgaben 49 Antworten zu den Selbstfragen 53 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Meister Zufall hängt (oft) ab 54 3.1 Modellierung mehrstufiger stochastischer Vorgänge 55 3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 58 3.3 Stochastische Unabhängigkeit 63 3.4 Folgen unabhängiger Zufallsvariablen 70 3.5 Markov-Ketten 74 Zusammenfassung 82 Aufgaben 84 Antworten zu den Selbstfragen 88 4 Diskrete Verteilungsmodelle – wenn der Zufall zählt 89 4.1 Diskrete Zufallsvariablen 90 4.2 Erwartungswert und Varianz 93 4.3 Wichtige diskrete Verteilungen 101 4.4 Kovarianz und Korrelation 109 4.5 Bedingte Erwartungswerte und bedingte Verteilungen 114 4.6 Erzeugende Funktionen 120 Zusammenfassung 125 Aufgaben 127 Antworten zu den Selbstfragen 132 5 Stetige Verteilungen und allgemeine Betrachtungen – jetzt wird es analytisch 133 5.1 Verteilungsfunktionen und Dichten 134 5.2 Transformationen von Verteilungen 144 5.3 Kenngrößen von Verteilungen 153 5.4 Wichtige stetige Verteilungen 162 5.5 Charakteristische Funktionen (Fourier-Transformation) 167 5.6 Bedingte Verteilungen 173 5.7 Bedingte Erwartungen 179 5.8 Stoppzeiten und Martingale 184 Zusammenfassung 192 Aufgaben 194 Antworten zu den Selbstfragen 199 6 Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze – Stochastik für große Stichproben 202 6.1 Konvergenz fast sicher, stochastisch und im p-ten Mittel 203 6.2 Das starke Gesetz großer Zahlen 207 6.3 Verteilungskonvergenz 214 6.4 Zentrale Grenzwertsätze 222 Zusammenfassung 230 Aufgaben 231 Antworten zu den Selbstfragen 235 7 Grundlagen der Mathematischen Statistik – vom Schätzen und Testen 236 7.1 Einführende Betrachtungen 237 7.2 Punktschätzung 241 7.3 Konfidenzbereiche 253 7.4 Statistische Tests 262 7.5 Optimalitätsfragen: Das Lemma von Neyman-Pearson 278 7.6 Elemente der nichtparametrischen Statistik 283 Zusammenfassung 298 Aufgaben 300 Antworten zu den Selbstfragen 305 8 Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie – vom Messen und Mitteln 306 8.1 Inhaltsproblem und Maßproblem 307 8.2 Mengensysteme 309 8.3 Inhalte und Maße 314 8.4 Messbare Abbildungen, Bildmaße 325 8.5 Das Maß-Integral 332 8.6 Nullmengen, Konvergenzsätze 340 8.7 Lp-Räume 344 8.8 Maße mit Dichten 348 8.9 Produktmaße, Satz von Fubini 354 Zusammenfassung 361 Aufgaben 364 Antworten zu den Selbstfragen 368 Hinweise zu den Aufgaben 370 Lösungen zu den Aufgaben 375 Bildnachweis 377 Literatur 378 Stichwortverzeichnis 379 Front Matter ....Pages I-XI Stochastik – eine Wissenschaft für sich (Norbert Henze)....Pages 1-7 Wahrscheinlichkeitsräume – Modelle für stochastische Vorgänge (Norbert Henze)....Pages 9-44 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Meister Zufall hängt (oft) ab (Norbert Henze)....Pages 45-79 Diskrete Verteilungsmodelle – wenn der Zufall zählt (Norbert Henze)....Pages 81-124 Stetige Verteilungen und allgemeine Betrachtungen – jetzt wird es analytisch (Norbert Henze)....Pages 125-193 Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze – Stochastik für große Stichproben (Norbert Henze)....Pages 195-228 Grundlagen der Mathematischen Statistik – vom Schätzen und Testen (Norbert Henze)....Pages 229-298 Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie – vom Messen und Mitteln (Norbert Henze)....Pages 299-362 Back Matter ....Pages 363-383