Stochastik 2: Von der Standardabweichung bis zur Beurteilenden Statistik (Grundstudium Mathematik) (German Edition)

Aufbauend auf dem ersten Band, werden in diesem Buch weiterführende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie ausführlich und verständlich diskutiert. Mit vielen exemplarisch durchgerechneten Aufgaben, einer Vielzahl weiterer Problemstellungen und ausführlichen Lösungen bietet es dem Leser die Möglichkeit, die eigenen Fähigkeiten ständig zu erweitern und kritisch zu überprüfen und ein tieferes Verständnis der Materie zu erlangen. Realitätsnahe Anwendungen ermöglichen einen Ausblick in die breite Verwendbarkeit dieser Theorie. Auch in diesem Band wird auf die Entwicklung der Begriffsbildung und der mathematischen Konzepte besonderer Wert gelegt, sodass man ihre Bedeutung bei der Erzeugung wie auch ständige Verbesserung von Forschungsinstrumenten für die Untersuchung unserer Welt erleben kann. Gerichtet ist das Buch an Gymnasiasten, Studienanfänger an Hochschulen, Lehrer und Interessierte, die sich mit diesem Gebiet vertraut machen möchten. Danksagung 5 Inhaltsverzeichnis 6 1 Einleitung 10 2 Standardabweichung 14 2.1 Zielsetzung 14 2.2 Ein Maß für die Streuung 14 2.3 Übertragung auf Zufallsvariablen 18 2.4 Eine alternative Berechnungsmöglichkeit 24 2.5 Die Standardabweichung bei Bernoulli-Prozessen 27 2.6 Nützliches über Erwartungswerte 31 2.7 Die Varianz bei unabhängigen Experimenten 32 2.8 Zusammenfassung 39 2.9 Kontrollfragen 39 2.10 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 40 3 Anwendungen in der Datenverwaltung 43 3.1 Datenverwaltung mit vollständig sortierten Daten 44 3.2 Exkurs: Gewichtete Summen von Zweierpotenzen 50 3.2.1 Die Summe von Zweierpotenzen 50 3.2.2 Bestimmung der Summe W1(k) für alle k 51 3.2.3 Bestimmung der Summe W2(k) für alle k 53 3.2.4 Eine alternative Berechnungsmöglichkeit 56 3.3 Suche in ungeordnet abgespeicherten Daten 57 3.4 Exkurs: Die Summe der Quadrate 61 3.5 Gute Hashfunktionen 64 3.6 Universelles Hashing 74 3.7 Exkurs in Algebra und Zahlentheorie 79 3.8 Zwei Klassen von Hashfunktionen 90 3.8.1 Lineare Hashfunktionen 90 3.8.2 Vektorielle Hashfunktionen 90 3.9 Zusammenfassung 93 3.10 Kontrollfragen 94 3.11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 95 4 Die Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen 102 4.1 Zielsetzung 102 4.2 Bereiche mit großer Wahrscheinlichkeit 102 4.3 Berechnungen bei Bernoulli-Prozessen 109 4.4 σ-Umgebungen 112 4.5 Die Tschebyschowsche Ungleichung 116 4.6 Zusammenfassung 119 4.7 Kontrollfragen 120 4.8 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 121 5 Das Gesetz der großen Zahlen 123 5.1 Zielsetzung 123 5.2 Die Entwicklung relativer Häufigkeiten 123 5.3 Exkurs: Der Begriff des Grenzwerts 129 5.4 Bernoulli-Prozesse, Fortsetzung 137 5.5 Formulierung und Beweis des Gesetzes der großen Zahlen 139 5.6 Pseudozufallsgeneratoren 149 5.7 Zusammenfassung 155 5.8 Kontrollfragen 156 5.9 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 156 6 Stetige Zufallsvariablen 161 6.1 Zielsetzung 161 6.2 Modellierung des exponentiellen Zerfalls 161 6.3 Die uniforme Verteilung 167 6.4 Dichtefunktionen 171 6.5 Die standardisierte Normalverteilung 176 6.6 Die Kolmogorowschen Axiome 183 6.7 Zusammenfassung 188 6.8 Kontrollfragen 189 6.9 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 190 7 Modellieren mit der Normalverteilung 195 7.1 Zielsetzung 195 7.2 Ein typisches Muster bei Messungen 196 7.3 Translation und Streckung von Funktionsgraphen 201 7.4 Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable 209 7.5 Die Varianz und die Standardabweichung einer stetigenZufallsvariable 214 7.6 Lineare Transformationen von Zufallsvariablen 217 7.7 Die allgemeine Normalverteilung 219 7.8 Q-Q-Plots 227 7.9 Zusammenfassung 235 7.10 Kontrollfragen 236 7.11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 236 8 Der zentrale Grenzwertsatz 241 8.1 Zielsetzung 241 8.2 Von Einflussfaktoren zu Summen 242 8.3 Ein Studienbeispiel 244 8.4 Die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes 250 8.5 Anwendungen der Näherung durch die Normalverteilung 255 8.6 Die Summe unabhängiger stetiger Zufallsvariablen 261 8.7 Die Erwartungstreue 271 8.8 Zusammenfassung 274 8.9 Kontrollfragen 275 8.10 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 276 9 Modellierung von Umfragen 279 9.1 Zielsetzung 279 9.2 Das Grundproblem 280 9.3 Die hypergeometrische Verteilung 282 9.4 Kompatible Schätzungen 290 9.5 Erwartungswert und Standardabweichung der hypergeometrischen Verteilung 295 9.6 Abschätzung der kompatiblen Werte 301 9.7 Ein einfacheres Modell 306 9.8 Die Wichtigkeit der Zufälligkeit bei der Auswahl der Befragten 314 9.9 Zusammenfassung 315 9.10 Kontrollfragen 315 9.11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 317 10 Hypothesentests 321 10.1 Zielsetzung 321 10.2 Der Binomialtest 322 10.3 Einseitiger oder zweiseitiger Test? 326 10.4 Fehler der 1. und 2. Art 329 10.5 Die Macht eines Tests 331 10.6 Die allgemeine Vorgehensweise 335 10.7 Der P-Wert 336 10.8 Der exakte Test nach Fisher 340 10.9 Test auf Zufälligkeit 346 10.10 Zusammenfassung 350 10.11 Kontrollfragen 352 10.12 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 353 11 Experimentieren mit dem Computer 358 11.1 Die Monte Carlo Methode 359 11.2 Die Monte Carlo Methode zur Flächeninhalts- und Volumenbestimmung 364 11.3 Die Monte Carlo Integration 366 11.4 Weitere geometrische Problemstellungen 369 11.5 Die Brownsche Bewegung 373 11.6 Zufallsstreckungen 381 11.7 Zusammenfassung 383 11.8 Kontrollfragen 384 11.9 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 384 12 Lineare Regression 389 12.1 Zielsetzung 389 12.2 Die Problemstellung 389 12.3 Die Lösung 396 12.4 Ursprung der statistischen Schwankungen 401 12.5 Lineare Regression für ein nichtlineares Modell 403 12.6 Ein Maß für die Güte des Modells 407 12.7 Das Standardmodell 412 12.8 Erwartungstreue der Koeffizienten im Standardmodell 414 12.9 Zusammenfassung 417 12.10 Kontrollfragen 418 12.11 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 418 Literaturverzeichnis 421 Stichwortverzeichnis 422 Front Matter ....Pages I-X Einleitung (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 1-4 Standardabweichung (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 5-33 Anwendungen in der Datenverwaltung (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 35-93 Die Wahrscheinlichkeit von Wertebereichen (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 95-115 Das Gesetz der großen Zahlen (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 117-154 Stetige Zufallsvariablen (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 155-188 Modellieren mit der Normalverteilung (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 189-234 Der zentrale Grenzwertsatz (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 235-272 Modellierung von Umfragen (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 273-314 Hypothesentests (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 315-351 Experimentieren mit dem Computer (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 353-383 Lineare Regression (Michael Barot, Juraj Hromkovič)....Pages 385-416 Back Matter ....Pages 417-421