Справочное пособие по высшей математике: учебное пособие

143_Бутырин_1 1. Линейная алгебра 4.1. Понятие функции. Способы задания Обозначения: Область определения либо указывают, либо определяют. Основные способы задания функций 1) Аналитический способ задания функций. Пример: Частное значение функции: Примеры: а) б) 143_Бутырин_2 Неявное задание функции уравнением: Если уравнение можно разрешить относительно , то приходим к явно заданной функции, например: 2) Табличный способ задания функций: перечисление значений аргумента и соответствующих значений функции 3) Графический способ задания функций состоит в представлении функции графиком в некоторой системе координат. 4.2. Основные характеристики поведения функций. Начальный этап исследования функции 1) Нули функции находятся из решения уравнения . 2) – четная функция – нечетная функция 3) Периодичность: – периодическая функция 4) Монотонность: Функция возрастает в . Функция убывает в . Функция не убывает в . Функция не возрастает в 5) Функция называют ограниченной сверху (снизу) на множестве , если Функцию ограниченную сверху и снизу на множестве называют ограниченной на . 6) Если условия пункта 5) не выполняются, то функция называется неограниченной. 4.3. Сложная функция. Обратная функция Сложная функция. Пусть заданы функции и , причем . Функцию называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций и и обозначают символом ( – независимая переменная; –промежуточный аргумент): Обратная функция. Пусть функция отображает Рассмотрим взаимно однозначное отображение Тогда можно говорить об обратной функции Теорема. Если числовая функция монотонна, то ( обратная функция Это достаточное условие обратимости. 1) Линейная функция: 2) Степенная функция: 3) Показательная функция: 4) Логарифмическая функция: 5) Тригонометрические функции: 6) Обратные тригонометрические функции: 7) Гиперболические функции: 8) Обратные гиперболические функции: 4.5. Классификация функций 1) Целые рациональные функции: 2) Дробно-рациональные функции: Совокупность 1) и 2) – класс рациональных функций. 3) Иррациональные функции: получаются с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями. Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических функций. 4) Трансцендентные функции: и т. д. 4.6. Параметрическое задание функций – называется параметром. Если – монотонна, то Тогда Всякую явно заданную функцию можно представить параметрически Параметрическое задание линий на плоскости Множество точек плоскости координаты которых удовлетворяют , параметрически задают линию 1) Прямая линия: 2) Окружность с центром в начале координат: 3) Эллипс: 4) Парабола: 5) Гипербола: 6) Астроида: 7) Циклоида: 143_Бутырин_3 Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью плоскости , поверхностью , где функция непрерывна и неотрицательна в области и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси и направляющей – границей области . Р... 143_Бутырин_4 Выберем в каждой из частичных областей произвольную точку с координатами . Объем цилиндрического тела между опорной плоскостью и поверхностью над частичной областью площадью равен . Объем всего цилиндрического тела равен . Устремим наибольший диаметр частичных областей к нулю, при этом , и рассмотрим предел интегральной суммы . Если этот предел существует, то . Определение. Двойным интегралом от функции по области называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей . Здесь – подынтегральное выражение; – подынтегральная функция; – элемент площади; – область интегрирования. Таким образом . Теорема существования двойного интеграла Если непрерывна в замкнутой ограниченной области , то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел не зависит от способа разбиения области на частичные области и выбора в них то... Свойства двойных интегралов 1) . 3) , . Тогда . 4) Если , то . 5) Если , , то , где . 6) . – среднее значение в области . Вычисление двойных интегралов Разобьем область с помощью линий, параллельных осям координат с шагом и соответственно. Тогда и, следовательно, . Пусть - правильная в направлении , т. е. всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку параллельно , пересекает границу ровно в двух точках. Тогда . Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного, т. е. вычисляется сначала внутренний интеграл по ( предполагается постоянной), а . Если область – правильная в направлении , то и тогда . Правые части формул называются повторными (или двукратными) интегралами. Процесс расстановки пределов интегрирования называется приведением двойного интеграла к повторному. Пример: Область ограничена линиями , , , она правильная и в направлении и в направлении . Поэтому . 12.2. Замена переменных в двойном интеграле При переходе от переменных к переменным двойной интеграл примет вид , где – функциональный определитель Якоби (якобиан). Итак, 1. область заменяем на ; 2. – элемент площади в координатах Предполагается, что функции непрерывны со своими частными производными в , и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками и , за исключением, может быть, отдельных точек. 12.3. Двойной интеграл в полярных координатах – полярный радиус. – полярный угол. Положение любой точки определяется заданием или . Связь декартовых и полярных координат: Вычислим якобиан: Двойной интеграл от функции по области в полярных координатах примет вид: Элемент площади в полярных координатах вычисляется по формуле . Пример: . 12.4. Приложения двойных интегралов 1) Масса плоской пластинки. Поверхностная плотность . Элемент массы равен . Масса всей пластинки равна . 2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки. , . , . 3) Моменты инерции пластинки , . Центробежный момент инерции . Полярный момент инерции относительно оси . 13. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл Рассмотрим тяжелое тело с переменной плотностью Разобьем тело произвольным образом на частей объемами Выберем в каждой части произвольную точку Масса части приближенно равна Просуммируем массу всех частей Выражение в правой части называется интегральной суммой. Устремим наибольший диаметр элементарных объемов к нулю и рассмотрим предел Если этот предел интегральной суммы существует, то, очевидно, он равен массе тела и называется тройным интегралом от функции по области Вообще, тройным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралы: 1) 2) 3) , . Тогда 4) Если , то 5) Если , , то , где 6) – среднее значение f в области V. 13.2. Вычисление тройных интегралов 1) Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл Разобьем область интегрирования на элементарные части плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда элементарный объем равен Следовательно Правило вычисления тройного интеграла 2) Цилиндрические координаты. Якобиан преобразования равен Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид 3) Сферические координаты. 143_Бутырин_5 Якобиан преобразования вычисляется по формуле Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид 13.3. Приложения тройных интегралов Пусть дано тело переменной плотности . Массу тела можно вычислить по формуле 1) Статические моменты инерции тела относительно координатных плоскостей 2) Координаты центра тяжести: Если тело однородно, т. е. то 3) Моменты инерции тела относительно координатных осей: 4) Центробежные моменты инерции тела: 5) Полярный момент инерции тела: 14.1. Криволинейный интеграл по длине (1-го рода) Дифференциал длины дуги в плоском случае для линии, заданной уравнением равен Дифференциал длины дуги в пространственном случае для линии, заданной уравнениями равен При параметрическом задании линии дифференциал длины дуги в плоском случае равен а в пространственном случае Определение. Криволинейным интегралом 1-го рода от функции двух переменных , взятым по отрезку плоской кривой, называется число, получаемое следующим образом: 1) Дуга разбивается на элементарных дуг произвольно выбранными точками , идущими от начала дуги до конца . 2) Внутри (или на границе) каждой элементарной дуги выбирается одна произвольная точка с координатами 3) Значения функции в этих выбранных точках умножаются на длины дуг (эти длины считаются положительными). 4) Все полученные произведений складываются. 5) Вычисляется предел суммы Если этот предел существует и не зависит от выбора точек то он называется криволинейным интегралом 1-го рода Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода для функции трех переменных взятый по отрезку пространственной кривой Теорема существования. Если функция или непрерывна, а кривая на отрезке непрерывна и имеет непрерывную касательную, то криволинейный интеграл 1-го рода существует. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Оно сводится к вычислению определенного интеграла: 1) Если уравнения пути интегрирования заданы в параметрической форме (для пространственной кривой ), , то Здесь значение параметра берется для точки , значение параметра берется для точки . Точки и выбираются так, чтобы выполнялось неравенство 2) Если уравнение пути интегрирования задано в явном виде для плоской кривой (для пространственной кривой ), то Здесь значение берется для точки , значение берется для точки . Точки и выбираются так, чтобы выполнялось неравенство Приложения криволинейного интеграла 1-го рода 1) Длина криволинейного отрезка : 2) Масса тяжелого неоднородного криволинейного отрезка переменной плотности 14.2. Криволинейный интеграл по координатам (2 – го рода) Задача о работе силового поля Предположим, что в области задано плоское силовое поле. Тогда на материальную точку в в поле действует сила определенная для всякой точки Считаем, что поле стационарное (не зависит от времени ) Пусть материальная точка движется по линии Вычислим работу по перемещению материальной точки по линии из в . Разобьем линию на частей точками Работа на отрезке равна или Тогда Просуммируем по всем отрезкам Выражение в правой части называется интегральной суммой по линии Пусть – длина частичного участка разбиения кривой Переходя к пределу при получим истинную величину работы Определение. Криволинейным интегралом 2-го рода по линии называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой В частности, если то интеграл примет вид и называется криволинейным интегралом по координате Если то интеграл примет вид и называется криволинейным интегралом по координате Работа силового поля по кривой есть где проекции на оси координат. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. но сводится к вычислению определенных интегралов. Правило. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода от точки до точки по линии производится по фор-муле Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода всегда существует, если непрерывны, а непрерывны со своими производными. Если уравнение линии задано в явном виде то, полагая имеем Если линия задана уравнениями разных видов, то линию нужно разбить на отдельные участки интегрирования. 14.3. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Рассмотрим замкнутый контур на плоскости . Положительным направлением обхода контура будем считать направление против часовой стрелки. Криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначается Теорема. Если область ограниченную замкнутой кривой разбить на две части и то криволинейный интеграл по всей линии равен сумме интегралов по линиям и 14.4. Формула Грина Теорема. Если функции и непрерывны вместе со своими производными в замкнутой области ограниченной контуром то 14.5. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования Это означает, что величина работы силового поля по перемещению материальной точки не зависит от пути, а только от начальной и конечной точек. Теорема. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными в замкнутой области Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл 2-го рода не зависел от линии интегрирования, лежащей в необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Равносильные утверждения: 1) Криволинейный интеграл 2-го рода взятый по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области равен нулю. 2) Криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от линии интегрирования, соединяющих две данные точки. 3) Во всех точках области 14.6. Криволинейные интегралы 2-го рода по пространственным линиям Работа силового поля по перемещению материальной точки по линии равна 143_Бутырин_6 Трехмерная область называется поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно-гладкий контур, принадлежащий , можно натянуть поверхность, целиком лежащую в . Примеры. Односвязная область: шар, эллипсоид. Не односвязная область: тор. Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими производными в поверхностно односвязной области Тогда равносильны утверждения: 1) Криволинейный интеграл 2-го рода взятый по любому замкнутому контуру равен нулю. 2) Криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от линии интегрирования. 3) 14.7. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода , где – направляющие косинусы контура L. 15. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть – непрерывная функция и – гладкая поверхность , где задана в некоторой области плоскости . Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что : , где – площадь -го элемента поверхности , точка принадлежит этому элементу, – диаметр этого элемента, определена в каждой точке поверхности . Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности , по которой производится интегрирование. Поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле Рассмотрим двустороннюю поверхность и выберем на ней определенную сторону . Функция определена в точках данной поверхности. Предел интегральной суммы , где – проекция на плоскость -го элемента поверхности , имеющего площадь , при условии назы... . Если , , – непрерывные функции и – сторона гладкой поверхности , характеризуемая направлением нормали , то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается так: . При переходе на другую сторону поверхности этот интеграл меняет знак на противоположный. Если поверхность задана уравнением в неявном виде , то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам , , , где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 16.1.Скалярное поле Определение. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , где – точка пространства, – ее радиус-вектор. Поверхности уровня – const. Линии уровня плоского скалярного поля – const. Оператор Гамильтона (линейный дифференциальный оператор (набла)): . Градиент. Градиент скалярного поля – вектор , . Свойства градиента , ,, ,, , , . Градиент скалярного поля в цилиндрических координатах . Градиент скалярного поля в сферических координатах . Производная скалярного поля по направлению ,. , если имеет направление . 16.2. Векторное поле Определение. Векторное поле определяется векторной функцией точки где – точка пространства; – ее радиус-вектор. Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля – решение системы . Дивергенция (расходимость) векторного поля . Свойства дивергенции , , , , , , Дивергенция векторного поля в цилиндрических координатах . Дивергенция векторного поля в сферических координатах Ротор (вихрь) векторного поля или в символическом виде . Свойства ротора , , , , . Поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали , , где – величина проекции вектора на направление вектора . Если поверхность задана уравнением , поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле Если уравнение поверхности есть , , то . Линейный интеграл от вектора по линии , где – проекция вектора на касательную к . Линейный интеграл выражает работу векторного поля вдоль линии . Циркуляция векторного поля вдоль контура – линейный интеграл вдоль замкнутой линии . Формула Стокса или в векторной форме , где – единичный вектор нормали к поверхности , направление которого таково, что при обходе контура поверхность остается слева. Формула Остроградского или в векторной форме , где – внешняя сторона поверхности, ограничивающей тело ; – единичный вектор внешней нормали к ней. Векторное поле – потенциальное, если . Функция называется потенциалом векторного поля . Поле потенциально в поверхностно односвязной области тогда и только тогда, когда или , . Потенциал в этом случае можно найти по формуле . Векторное поле называется соленоидальным, если . Оператор Лапласа . Оператор Лапласа в цилиндрических координатах . Оператор Лапласа в сферических координатах . Уравнение Лапласа . Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Операции второго порядка , , , , , где . 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения 17.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 17.1.1. Общие понятия. Теорема существования Дифференциальные уравнения для функции одной переменной называются обыкновенными. Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка или . Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение, превращает его в тождество. Примеры: 1) . Решение , где – произвольная постоянная. 2) . Решение . Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет бесчисленное множество решений, которые обычно определяются формулой , содержащей одну произвольную постоянную. Такое множество решений называют общим решением дифференциального уравнения. Придавая оп... При решении конкретных задач нас будет интересовать частное решение, определяемое начальным условием. Обычно начальное условие задается парой значений или . Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения при начальном условии называется задачей Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Если функция и ее частная производная непрерывны в открытой области, содержащей точку , то в достаточно малом интервале это уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее заданном... График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общее решение – семейство интегральных кривых. Чтобы отыскать частное решение, нужно в общее решение подставить и разрешить уравнение относительно . Пример: Дифференциальное уравнение . Общее решение . Начальное условие . Подставим начальное условие в общее решение дифференциального уравнения. Получим алгебраическое уравнение для определения произвольной постоянной : . Следовательно . Частным решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальному условию будет . Общее решение дифференциального уравнения не обязательно должно быть получено в явном виде, также является общим решением дифференциального уравнения. 17.1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение . Проинтегрировав, получим общее решение . Если , то получим частное решение . Пример: . Определение. Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными: 1) . 2) . Внимание! Может произойти потеря частного решения. Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение . Решение. Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение . При делении на мы могли потерять частное решение , но оно содержится в общем интеграле, если . 17.1.3. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Нет общего метода составления дифференциальных уравнений. Каждая задача требует своего подхода и знания законов физики. 1) Радиоактивный распад. Экспериментально установлено, что скорость распада пропорциональна количеству не распавшегося вещества. Определить период полураспада вещества, если в момент масса равна . Решение. , , , , , , , . Период полураспада . Тогда . ( – определяется экспериментально). 2) Охлаждение тела. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды . Найти формулу для расчета температуры тела, если . Решение. , . , , . , : , . Окончательно . 17.1.4. Однородные дифференциальные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция может быть представлена, как функция отношения своих аргументов . Пример. . Решение. . Функция называется однородной функцией измерения , если . Примеры: 1) – 1-й порядок однородности: . 2) – 2-й порядок однородности: . 3) – нулевой порядок однородности (просто однородная функция): . Пример приведения функции: . Введем вспомогательную функцию или Дифференциальное уравнение , где – однородная функция нулевого измерения, можно преобразовать к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, . Тогда , , , . Вычислив интеграл, и перейдя от к , получим . Предполагается, что . Если , то . Пример: . Решение. , , . Тогда . Проинтегрировав, получим или . Окончательно или . 17.1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным Рассмотрим два случая. 1) Если производят замену переменных где находятся из решения системы алгебраических уравнений В результате дифференциальное уравнение сводится к однородному уравнению. 2) Если производят замену переменных В результате дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. 17.1.6. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли Определение. Дифференциальное уравнение вида т. е. линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Для решения такого типа уравнений рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными . Пусть общее решение неоднородного линейного дифференциаль-ного уравнения имеет такой же вид, но считается функцией , подлежащей определению, т. е. Найд... и подставим в исходное неоднородное уравнение и , Общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид Метод Бернулли (метод замены переменной) Представим неизвестную функцию как произведение двух функций Подставим в исходное уравнение и Получим или Потребуем, чтобы функция была такой, что выра-жение тождественно равнялось нулю. Тогда исходное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными: и Решим их последовательно. 1) 2) Уравнение Бернулли Пример: 1) Метод Лагранжа. Решаем однородное уравнение Для исходного уравнения варьируем : Тогда 2) Метод Бернулли. а) б) 17.1.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Определение. Если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции то это уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Это выполняется, если и их частные производные непрерывны в односвязной области и Тогда При этом или , где принадлежат области определения и . Примеры: 1) 2) Положим Интегрирующий множитель Если то вводят интегрирующий множитель такой, что 1) Если то 2) Если то Замечание. Случаи 1) и 2) реализуются, если подынтегральное выражение в 1) и 2) зависят только от для 1) или только от для 2). Пример: Умножим исходное уравнение на множитель . , , Значит, полученное уравнение, есть уравнение в полных дифференциалах. Тогда . , 17.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 17.2.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка Определение. Уравнения вида называются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной , имеет вид Пример: Решение. Последовательно интегрируя, получим Лемма. Дифференциальное уравнение 2-го порядка обычно имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой содержащей две произвольные постоянные. Это множество решений называется общим решением. Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий Пример: Решение. Это задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Последовательно интегрируя, получим Используем начальные условия Геометрический смысл начальных условий: Помимо точки задаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке численно равный . Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям Из теоремы следует, что уравнение при заданных начальных условиях имеет единственное решение. Если задать начальные условия при то теорема о существовании дать ответ не может, так как при правая часть уравнения имеет особенность. Для дифференциального уравнения 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия) (сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В этом случае может быть одно решение, может решение не существовать и может быть бесконечное мно... Пример: 17.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка 1) Правая часть не содержит и 2) Правая часть не содержит явно. Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка, решение которого . Тогда Пример: Решение. Введем новую переменную – линейное дифференциальное уравнение; его решение Тогда 3) Правая часть не содержит явно. Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Пример: Решение. 1) ; 2) . 17.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 1) Уравнения вида ………………………………… Пример: Решение. 2) Уравнения вида не содержит явно . Подстановка понижает порядок уравнения на : 3) Уравнения вида не содержит явно . Подстановка понижает порядок уравнения на 1: и т. д. 17.2.4. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид Общее решение дифференциального уравнения имеет вид 143_Бутырин_7 Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий Теорема о существовании и единственности решения Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям 17.3. Линейные дифференциальные уравнения 17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции и ее производных Функция называется правой частью дифференциального уравнения. Если то уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным. Если непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. 17.3.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение Теорема 1. Если - решения дифференциального уравнения , (*) то их линейная комбинация также является решением уравнения (*) для любых Теорема 2. Если – решения дифференциального уравнения и (т.е. – линейно независимы), то общее решение дифференциального уравнения. 17.3.3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. 17.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Ищем решение в виде где – действительное или комплексное число. Тогда Подставим в дифференциальное уравнение Получили характеристическое уравнение . Корни характеристического уравнения равны . Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения. 1) действительные числа. Получили два решения дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения - произвольные постоянные. Пример. Решение. Характеристическое уравнение . 2) действительное число. Покажем, что Подставим в левую часть уравнения : По теореме Виета т.е. Следовательно Пример: Решение. 3) Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение y = то каждая из функций и является действительным решением уравнения. По формуле Эйлера , , . Тогда Пример. Решение. , 17.3.5. Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Общее решение дифференциального уравнения имеет вид где – общее решение однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения или Найдем . Рассмотрим частные случаи. I) Правая часть имеет вид где – многочлен -й степени. Решение где: – многочлен той же степени, что и – кратность показателя среди корней характеристического уравнения (если такого корня нет, то ). Коэффициенты многочлена находим методом неопределенных коэффициентов. Примеры: 1) Решение. а) Находим . кратность корня б) Ищем . Показатель правой части . Поэтому т.к. среди корней характеристического уравнения нет такого корня. В правой части уравнения стоит . Поэтому Подставим в дифференциальное уравнение Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства Из начальных условий имеем 2) Решение а) б) Правая часть имеет вид Показатель правой части 3) Решение. а) б) Показатель правой части: . II) Правая часть имеет вид а) Если не является корнем характеристического уравнения, то б) Если является корнем характеристич