Спецглавы физики. Статистическая физика равновесных систем: учеб. пособие

СПЕЦГЛАВЫ ФИЗИКИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА РАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение Основные положения Глава 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1.1. Вероятность случайного события 1.2. Теоремы о вероятности 1.3. Характеристики случайной дискретной величины Свойство 1 следует из определения среднего (1.8). При обосновании свойства 2 учитываем, что функция , описывающая распределение случайной величины x, одинакова для и , тогда При доказательстве свойства 3 используется функция распределения независимых случайных величин x и y. Согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий Относительная флуктуация 1.4. Характеристики случайной непрерывной величины 1.5. Биномиальное распределение Рис. 1.1. Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45 1.6. Распределение Пуассона 1.7. Нормальное распределение Результаты (1.44) и (1.45) совпадают с выражениями (1.36) и (1.37) для распределения Пуассона. Из (1.41) и (1.45) получаем плотность вероятности в виде Примеры 1 Глава 2 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА КЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.1. Фазовое пространство системы частиц 2.2. Число микросостояний 2.3. Энергетическая плотность состояний 2.4. Характеристики макросостояния 2.5. Фазовый ансамбль и функция распределения 2.6. Теорема Лиувилля Равновесный газ описывается стационарным гамильтонианом и постоянными термодинамическими параметрами. Микросостояния такой системы перемещаются по фазовому пространству согласно теореме Лиувилля – при движении элемента фазового ансамбля плотность микросостояний остается постоянной вдоль траектории и зависит от гамильтониана Аналогично течет несжимаемая жидкость, сохраняя свою плотность. Теорема используется для получения функции распределения состояний по фазовому пространству. Теорему доказал Ж. Лиувилль в 1838 г. 2.7. Микроканоническое распределение Примеры 2 2.8. Каноническое распределение 2.9. Макрохарактеристики и статистический интеграл Примеры 3 2.10. Распределение тепловой энергии по степеням свободы Примеры 4 2.11. Распределение Максвелла 2.12. Поток частиц Примеры 5 Задачи 1 2.13. Распределение Больцмана Примеры 6 2.14. Химический потенциал и активность 2.15. Распределение частиц по состояниям. 2.16. Термодинамические потенциалы системы с переменным числом частиц 2.17. Большое каноническое распределение Примеры 7 Предел Рэлея подтвержден экспериментально (Coulomb fission: Rayleigh jets from levitated microdroplets / D. Duft, T. Achtzehn, et al // Nature. – 2003. – Vol. 421. – Р.128). Капля этиленгликоля достигает предела Рэлея при , она вытягивается в эллипсоид, из противоположных полюсов выбрасываются струи диаметром , разбивающиеся далее на мелкие капли. За время заряд капли уменьшается на , масса – на , ее форма возвращается к сферической. 2.18. Условия применимости классической статистической физики Чем больше энергия взаимодействия узлов, тем больше частота их колебаний, чем прочнее кристалл, тем меньше согласие с классической теорией при понижении температуры. Классическая физика не применима для прочных кристаллов при низкой температуре. Для систем, нарушающих хотя бы одно из полученных условий, необходимо использовать квантовую статистическую физику. Для неравновесной системы квантовое поведение существенно не только при низкой температуре, но также при относительно высокой температуре , как показано для перепутанных систем в 2010 г. (Hot entanglement / V. Vedral // Nature. – Vol. 468. – Р. 769). Задачи 2 Глава 3 КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 3.1. Плотность состояний частицы Примеры 8 3.2. Каноническое распределение квантового газа Примеры 9 Глава 4 СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАЗОВ ФЕРМИОНОВ И БОЗОНОВ 4.1. Большое каноническое распределение квантовой системы Результат выражается через статистическую сумму (4.9) 4.2. Распределение фермионов Среднее число фермионов в одном состоянии. По принципу Паули в одном состоянии может быть не более одного фермиона, тогда . Из (4.9) и (4.10) находим Получаем распределение фермионов по состояниям, т. е. среднее число фермионов в состоянии с энергией при температуре Т 4.3. Распределение бозонов 4.4. Распределения в квантовых и классических системах Объединенное распределение по состояниям имеет вид 4.5. Электронный газ металлаи полупроводника Химический потенциал невырожденного трехмерного газа электронов отрицательный, уменьшается с повышением температуры и увеличивается с ростом концентрации частиц. Условие применимости классического распределения (4.22) выполняется, если обеспечено хотя бы одно из условий: большая масса квазичастицы m, малая концентрация электронов n, высокая температура . Для типичного металла с постоянной решетки находим концентрацию электронов, энергию Ферми и плотность состояний: Принцип Паули препятствует размещению частиц в области фазового пространства с малыми значениями импульса, которая уже занята другими частицами, поэтому увеличивается с ростом концентрации частиц. Если бы принцип Паули не действовал, то для получения энергии Ферми потребовалась бы температура, называемая температурой Ферми: Сравниваем ее с критической температурой вырождения (4.35) и получаем . Характеристики электронного газа металлов первой группы приведены в табл. 2. а б в Рис. 4.8. Ферми-поверхность металлов: (а) – Na, (б) – Cu, (в) – Cs 4.6. Распределение Ферми–Дирака для f-мерного газа 4.7. Двухмерный электронный газ 4.8. Одномерный электронный газ 4.9. Баллистический проводник 4.10. Сканирующий туннельный микроскоп Примеры 10 где для фермионов; для бозонов. Объединенная статистическая сумма имеет вид 4.11. Фотонный газ Концентрация фотонов со всеми частотами Вычисляем интеграл по формуле Получаем где дзета-функция Римана ((3) = 1,202, тогда Средняя энергия фотона . Используем среднюю энергию единицы объема (4.113) и концентрацию фотонов (4.106), получаем Примеры 11 4.12. Фононный газ Примеры 12 4.13. Конденсация Бозе–Эйнштейна 4.14. Осуществление и применение конденсации Примеры 13 Задачи 3 ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Физические постоянные Постоянная Больцмана Число Авогадро Газовая постоянная Постоянная Планка Масса свободного электрона Заряд электрона Магнетон Бора 2. Интегралы классической статистики 3. Интегралы квантовой статистики 4. Суммы рядов БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦГЛАВЫ ФИЗИКИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА РАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ