So einfach ist Mathematik - Zwölf Herausforderungen im ersten Semester (German Edition)

Sie stehen am Anfang Ihres Studiums oder in den ersten Semestern, und Ihr Studium enthält Mathematik. Kein Grund zur Verzweiflung. Mathematik ist logisch, und Sie denken logisch. Dieses Buch widmet sich zwölf Themen aus der Analysis und der linearen Algebra, veranschaulicht die zentralen Begriffe und entwickelt ausführlich die grundlegende Gedankengänge. Das Buch ist aus Erfahrungen von Studierenden entstanden. Es bespricht typische Fragen und Schwierigkeiten. Es übersetzt mathematische Beschreibungen in bildliche Vorstellungen, und es erklärt, warum die Definitionen der Begriffe gerade so formuliert sind, wie Sie sie kennen lernen. Jedes der zwölf Kapitel behandelt eine Herausforderung: die Grenzwertdefinition, die komplexen Zahlen, Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen, die Taylor-Entwicklung und die Stetigkeit von Funktionen. Verbindungen zu alltäglichen Beobachtungen und praktischen Anwendungen werden Ihnen schwierige Begriffe wie den Kern einer Abbildung oder Eigenwerte zugänglich machen. Das Buch erzählt die mathematischen Zusammenhänge in leichtem Ton. Kleinere Aufgaben regen Sie an, eigene Ideen, Skizzen und Ansätze zu entwickeln. Sie werden erleben, wie natürlich auch abstrakt erscheinende mathematische Zusammenhänge sind, und Sie werden zu den Herausforderungen sagen: Ja, so einfach ist Mathematik. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 9 1 Folgen und Grenzwerte: Was verrät mir die verzwickte Grenzwertdefinition? 12 1.1 Folgen 13 1.1.1 Beispiele für Folgen 16 1.1.2 Eigenschaften von Folgen 21 1.2 Die gefürchtete Grenzwertdefinition 25 1.3 Kleine Beweise 35 1.4 Typische Grenzwerte 40 1.5 Noch mehr Begriffe 52 1.5.1 Landau'sches Ordnungssymbol 52 1.5.2 Häufungspunkte 53 2 Reihen: Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? 56 2.1 Der Begriff der Reihe 57 2.2 Prominente Reihen 65 2.3 Konvergenzkriterien 72 2.3.1 Quotientenkriterium 74 2.3.2 Wurzelkriterium 77 2.3.3 Leibniz-Kriterium 78 3 Komplexe Zahlen: Wie rechnet man mit etwas, das es nicht gibt? 82 3.1 Tun wir mal so, als ob 83 3.2 Komplexe Zahlen 84 3.2.1 Kartesische Darstellung 87 3.2.2 Polardarstellung 90 3.3 Wurzeln und der Hauptsatz der Algebra 92 4 Funktionen: Sind eine Eheschließung und ein Ehepaar dasselbe? 95 4.1 Funktion oder Abbildung 96 4.1.1 Definition einer Funktion 98 4.1.2 Noch abstraktere Definition einer Funktion 101 4.2 Eigenschaften von Funktionen 103 4.3 Umkehrabbildung 106 5 Stetigkeit: Kann man einen Strich nur einen Punkt lang zeichnen? 109 5.1 Wasserhahn und Duschtemperatur 110 5.1.1 Folgenkriterium 112 5.1.2 ε-δ-Kriterium 113 5.1.3 Definition oder Satz 115 5.2 Punktbegriff und stetige Funktion 116 5.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 118 5.3.1 Zwischenwertsatz 118 5.3.2 Maximum auf abgeschlossenen Intervallen 121 6 Vektoren und Vektorräume: Wissen Mathematiker nicht, was ein Vektor ist? 124 6.1 Algebraische Strukturen 125 6.1.1 Skalare und Körper 126 6.1.2 Vektorräume und Vektoren 128 6.1.3 Beispiele für Vektorräume 131 6.2 Linearkombination und lineare Hülle 133 7 Lineare Unabhängigkeit: Kann man mit Vektoren alles machen? 136 7.1 Übergeneralisierung als typischer Fehler 137 7.2 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 140 7.3 Andere Operationen mit Vektoren 146 8 Lineare Abbildungen: Ist die Reihenfolge von Handlungen vertauschbar? 149 8.1 Vertauschbare und nicht vertauschbaremathematische Handlungen 150 8.2 Lineare Abbildungen 153 8.2.1 Lineare Abbildungen in Euklidischen Räumen 155 8.2.2 Weitere lineare Operationen 159 8.3 Und wozu jetzt genau? 160 9 Kern und Bild: Sind Sonne und Schatten mathematische Gebilde? 162 9.1 Kern und Bild einer linearen Abbildung 162 9.2 Aussagen über lineare Abbildungen 168 9.2.1 Wirkung und Darstellung einer linearen Abbildung 168 9.2.2 Injektive und surjektive lineare Abbildungen 170 9.3 Unterbestimmte Gleichungssysteme 171 10 Eigenwerte und Eigenvektoren: Was ist eigen am Eigenwert? 175 10.1 Einführende Betrachtungen 175 10.2 Eigenvektoren als konservierte Richtungen 177 10.2.1 Mathematische Definition 178 10.2.2 Ein verdrehtes Beispiel 179 10.2.3 Projektion 182 10.2.4 Drehung 183 10.3 Ausblick auf Schwingungen 187 10.3.1 Federschwinger 187 10.3.2 Schwingende Saite 188 11 Taylor-Entwicklung: Kann Mathematik prophezeien? 193 11.1 Vorhersagen 194 11.2 Taylor-Polynome und Taylor-Reihe 197 11.2.1 Die Vorhersage auf mathematisch 198 11.2.2 Restglied 203 11.2.3 Exponential- und Sinusreihe 206 11.3 Regel von de l'Hospital 207 12 Landau-Symbole: Warum sollte man ungenau rechnen? 212 12.1 Zeitbedarf von Algorithmen 213 12.2 Differenzenquotienten und Restglieder 216 12.3 Ein Wort zum Schluss 218 Anhang A Differenzial- und Integralrechnung 220 A.1 Differenzieren 220 A.2 Integrieren 225 Anhang B Symbole 230 Sachverzeichnis 234 Sie stehen am Anfang Ihres Studiums oder in den ersten Semestern, und Ihr Studium enthält Mathematik. Kein Grund zur Verzweiflung. Mathematik ist logisch, und Sie denken logisch. Dieses Buch widmet sich zwölf Themen aus der Analysis und der linearen Algebra, veranschaulicht die zentralen Begriffe und entwickelt ausführlich die grundlegenden Gedankengänge. Das Buch ist aus Erfahrungen von Studierenden entstanden. Es bespricht typische Fragen und Schwierigkeiten. Es übersetzt mathematische Beschreibungen in bildliche Vorstellungen, und es erklärt, warum die Definitionen der Begriffe gerade so formuliert sind, wie Sie sie kennen lernen. Jedes der zwölf Kapitel behandelt eine Herausforderung: die Grenzwertdefinition, die komplexen Zahlen, Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen, die Taylor-Entwicklung und die Stetigkeit von Funktionen. Verbindungen zu alltäglichen Beobachtungen und praktischen Anwendungen werden Ihnen schwierige Begriffe wie den Kern einer Abbildung oder Eigenwerte zugänglich machen. Das Buch erzählt die mathematischen Zusammenhänge in leichtem Ton. Kleinere Aufgaben regen Sie an, eigene Ideen, Skizzen und Ansätze zu entwickeln. Sie werden erleben, wie natürlich auch abstrakt erscheinende mathematische Zusammenhänge sind, und Sie werden zu den Herausforderungen sagen: Ja, so einfach ist Mathematik. Die Autoren Dirk Langemann hat Mathematik an der Universität Rostock studiert und arbeitet seit 2009 als Professor an der Technischen Universität Braunschweig. Er beschäftigt sich mit Fragen der mathematischen Modellierung und ist für die grundständigen Mathematik-Lehrveranstaltungen in ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen verantwortlich. Vanessa Sommer hat an der Technischen Universität Braunschweig Mathematik und Deutsch für das gymnasiale Lehramt studiert und arbeitet dort seit 2013 als wissenschaftliche Mitarbeiterin. Sie ist außerdem Stipendiatin der Konrad-Adenauer-Stiftung und promoviert über kommunikationstheoretische Aspekte der mathematischen Hochschullehre