Рубан А. И. Теория вероятностей и математическая статистика

Титульный экран ......Page 1 Оглавление......Page 3 ПРЕДИСЛОВИЕ......Page 9 ВВЕДЕНИЕ......Page 10 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ......Page 12 1.1. Алгебра событий......Page 13 1.2. Вероятность события......Page 17 1.3. Расчет вероятностей в классическом случае......Page 19 1.5. Основные теоремы теории вероятностей......Page 23 1.6. Повторение опытов......Page 33 1.7.1. Наиболее вероятное значение в распределении Бернулли......Page 37 1.7.2. Предельная теорема Муавра – Лапласа......Page 39 1.7.3. Теорема Пуассона......Page 42 Упражнения......Page 43 2.1. Ряд распределения дискретных случайных величин......Page 53 2.2. Функция распределения вероятности......Page 54 2.3. Плотность распределения вероятности......Page 56 2.4. Интегральные формулы полной вероятности и Байеса......Page 57 2.5. Байесово решающее правило при классификации......Page 64 2.6.2. Нормальный закон распределения......Page 68 2.6.4. Экспоненциальный (показательный) закон распределения......Page 70 2.6.7. Распределение Вейбулла......Page 71 2.7.1. Математическое ожидание......Page 73 2.7.2. Медиана......Page 74 2.7.4. Начальные моменты -го порядка......Page 75 2.7.5. Дисперсия......Page 76 2.7.7. Коэффициент асимметрии (скоса)......Page 77 2.7.8. Эксцесс (характеристика крутости закона распределения)......Page 78 2.8. Производящая функция......Page 79 2.9. Характеристическая функция......Page 81 Упражнения......Page 85 3.1. Функция распределения вероятности......Page 93 3.2. Плотность распределения вероятности случайного вектора......Page 97 3.3. Условные законы распределения......Page 99 3.4. Законы распределения функции одной случайной величины......Page 106 3.5. Законы распределения функций нескольких случайных величин......Page 122 3.6.1. Рассмотрим сложение двух непрерывных случайных величин......Page 125 3.6.4. При умножении случайных величин......Page 127 3.6.5. Найдем распределение модуля и фазы......Page 128 3.7. Характеристическая функция случайного вектора......Page 129 3.8. Моменты случайного вектора......Page 131 3.9. Многомерный нормальный закон распределения......Page 134 3.10. Комплексные случайные величины......Page 136 3.11. Линейные преобразования случайных величин......Page 137 3.12. Линеаризация функций......Page 138 3.13. Регрессия. Дисперсионные характеристики......Page 139 3.14. Классификация в распознавании образов......Page 142 Упражнения......Page 145 4.1. Измерение неопределенности случайных явлений......Page 155 4.2. Энтропия дискретной случайной величины......Page 158 4.3. Энтропия системы дискретных случайных величин......Page 160 4.4. Средняя условная энтропия для дискретных случайных величин......Page 161 4.5. Приведенная энтропия для непрерывных случайных величин......Page 162 4.6. Количество информации, содержащееся в случайных величинах......Page 168 Упражнения......Page 172 5.1. Типы сходимости......Page 175 5.2. Неравенство Чебышёва......Page 177 5.3. Закон больших чисел......Page 178 5.4. Центральная предельная теорема......Page 180 Упражнения......Page 184 6.1. Статистики. Их свойства......Page 186 6.2.1. Неравенство Чепмена – Роббинса......Page 188 6.2.2. Неравенство Фишера – Крамера – Рао......Page 189 6.2.3. Случай многих параметров......Page 192 6.3. Оценки статистических характеристик дискретных случайных величин......Page 194 6.4. Простейшие оценки функции и плотности распределения вероятности непрерывных случайных величин......Page 196 6.5. Оценки моментов с использованием простейшей оценки плотности вероятности......Page 199 6.6. Гистограмма......Page 201 6.7. Полиграмма......Page 203 6.8. Оценка " ближайших соседей"......Page 205 6.9. Оценка Розенблатта – Парзена......Page 207 6.10. Оценка математического ожидания при равноточных измерениях......Page 226 6.11. Оценка медианы......Page 231 6.12. Оценка математического ожидания при неравноточных измерениях......Page 233 6.13. Оценки дисперсии......Page 240 6.14. Метод максимального правдоподобия......Page 241 6.15. Метод моментов......Page 246 6.16. Оценивание статистических характеристик по нескольким выборкам......Page 249 6.17. Оценки числовых характеристик системы случайных величин......Page 251 6.18. Доверительные интервалы......Page 253 6.19. Критерий наименьших квадратов при сглаживании результатов эксперимента......Page 256 6.20. Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели......Page 258 6.21. Обобщения метода наименьших квадратов подстройка нелинейных параметров моделей......Page 264 Упражнения......Page 270 6.10. Оценка математического ожидания при равноточных измерениях......Page 273 6.11. Оценка медианы......Page 278 6.12. Оценка математического ожидания при неравноточных измерениях......Page 280 6.13. Оценки дисперсии......Page 287 6.14. Метод максимального правдоподобия......Page 288 6.15. Метод моментов......Page 293 6.16. Оценивание статистических характеристик по нескольким выборкам......Page 296 6.17. Оценки числовых характеристик системы случайных величин......Page 298 6.18. Доверительные интервалы......Page 299 6.19. Критерий наименьших квадратов при сглаживании результатов эксперимента......Page 303 6.20. Метод наименьших квадратов при линейной параметризации модели......Page 305 6.21. Обобщения метода наименьших квадратов подстройка нелинейных параметров моделей......Page 311 Упражнения......Page 317 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ......Page 321 7.1. Законы распределения......Page 322 7.2. Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция......Page 323 7.3. Свойства корреляционных функций......Page 324 7.4. Определение оценок статистических характеристик случайных процессов......Page 328 7.5. Линейные и нелинейные операторы......Page 329 7.6. Линейные преобразования случайных функций......Page 331 7.7. Метод канонических разложений......Page 334 7.8. Случайные последовательности. Марковские случайные процессы......Page 336 Упражнения......Page 337 8.1. Основные свойства стационарных случайных процессов......Page 341 8.2. Свойства автокорреляционной функции......Page 342 8.4. Теорема Винера – Хинчина......Page 345 8.5. Понятие "белого шума"......Page 347 8.6. Взаимная спектральная плотность двух стационарных и стационарно связанных случайных процессов......Page 348 8.7. Стационарные случайные последовательности......Page 350 Упражнения......Page 352 9.1. Дискретные цепи Маркова с дискретным временем......Page 354 9.2. Дискретные цепи Маркова с непрерывным временем......Page 359 9.3. Пуассоновский поток требований......Page 362 9.4. Цепи размножения и гибели......Page 364 9.5. Непрерывные марковские процессы. Уравнения Колмогорова и Фоккера – Планка......Page 366 Упражнения......Page 374 10.1. Типы потоков......Page 375 10.2. Стационарный пуассоновский поток......Page 377 10.3. Нестационарный пуассоновский поток......Page 378 10.4. Потоки с ограниченным последействием......Page 382 10.5. Просеивание потока. Поток Эрланга......Page 383 Упражнения......Page 385 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......Page 387 ПРИЛОЖЕНИЕ......Page 389