Recueil de Modèles Aléatoires (Mathématiques et Applications, 78) (French Edition)

Ce recueil puise sa source dans les cours de master de mathématiques appliquées et de préparation à l’épreuve de modélisation de l’agrégation de mathématiques. Le parti pris de cet ouvrage est de polariser la rédaction par les modèles plutôt que par les outils, et de consacrer chaque chapitre à un modèle. Le premier public visé est celui des enseignants-chercheurs en probabilités, débutants ou confirmés. De nombreux chapitres peuvent également bénéficier directement à des étudiants de master ou préparant l’agrégation. This collection was inspired by applied mathematics Master classes in stochastic modeling. The focus is on models rather than on tools, and each chapter is devoted to a specific model. Though the book is primarily intended for academics in the field of probability theory, beginners and experienced researchers alike, many chapters will also benefit students preparing to pursue their Master degree in mathematics. Avant-propos 6 Table des matières 9 1 Pile, face, coupons 14 1.1 Jeu de pile ou face 14 1.2 Approximation binomiale-gaussienne 17 1.3 Distance en variation totale 18 1.4 Approximation binomiale-Poisson 21 1.5 Problème du collectionneur de coupons 22 1.6 Pour aller plus loin 28 2 Marches aléatoires 31 2.1 Marche aléatoire simple sur la droite 31 2.2 Marche aléatoire simple symétrique dans l’espace 38 2.3 Problème de Dirichlet et champ libre gaussien 42 2.4 Marche aléatoire sur le groupe symétrique 46 2.5 Pour aller plus loin 49 3 Branchement et processus de Galton-Watson 51 3.1 Extinction et phénomène de seuil 52 3.2 Étude des trois cas possibles 57 3.3 Taille de l’arbre en régimes critique et sous-critique 61 3.4 Immigration 64 3.5 Pour aller plus loin 66 4 Permutations, partitions, et graphes 68 4.1 Algorithme basique pour les lois discrètes 68 4.2 Permutations aléatoires 69 4.3 Partitions aléatoires 71 4.4 Graphes aléatoires 73 4.5 Arbres aléatoires 75 4.6 Pour aller plus loin 77 5 Mesures de Gibbs 80 5.1 Mesures de Gibbs 80 5.2 Algorithme de Metropolis-Hastings 83 5.3 Algorithme du recuit simulé 85 5.4 Algorithme de Propp-Wilson 88 5.5 Modélisation d’un composé chimique 89 5.6 Pour aller plus loin 91 6 Agrégation limitée par diffusion interne 93 6.1 Modèle d’agrégation par diffusion 93 6.2 Modèle unidimensionnel 94 6.3 Convergence presque sûre 95 6.4 Convergence en loi 96 6.5 Une inégalité de concentration 99 6.6 Dimensions supérieures 99 6.7 Pour aller plus loin 101 7 Chaînes de Markov cachées 102 7.1 Algorithme progressif-rétrograde 102 7.2 Filtre de Kalman 108 7.3 Pour aller plus loin 111 8 Algorithme EM et mélanges 113 8.1 Modèle pour les nids de mouettes 113 8.2 Situation favorable mais irréaliste 115 8.3 Résolution du vrai problème 116 8.4 Pour aller plus loin 119 9 Urnes d’Ehrenfest 121 9.1 Modèle microscopique 121 9.2 Urne d’Ehrenfest 129 9.3 Pression au fil du temps 130 9.4 Fluctuations autour de la moyenne à l’équilibre 132 9.5 Quand reverra-t-on le vide ? 133 9.6 Pour aller plus loin 135 10 Records, extrêmes, et recrutements 136 10.1 Élitisme 136 10.2 Au-dessus de la moyenne 139 10.3 Cas de la loi exponentielle 140 10.4 Cas de la loi de Pareto 143 10.5 Pour aller plus loin 144 11 File d’attente M/M/Infini 146 11.1 Lois exponentielles 148 11.2 Temps de demi-vie des clients initiaux 151 11.3 Loi du nombre de clients 152 11.4 Comportement en temps long 156 11.5 Pour aller plus loin 160 12 Modèle de Wright-Fisher 161 12.1 Loi de Hardy-Weinberg 161 12.2 Modèle de Moran 162 12.3 Modèle de Wright-Fisher et fixation 165 12.4 Modèle de Wright-Fisher avec mutations 170 12.5 Modèle de Wright-Fisher avec sélection 172 12.6 Modèle de Cannings 173 12.7 Pour aller plus loin 176 13 Généalogies et coalescence 177 13.1 Modèle généalogique à temps continu 180 13.2 Longueur de l’arbre généalogique 182 13.3 Mutations 184 13.4 Coalescent de Kingman 187 13.5 Pour aller plus loin 189 14 Restaurants chinois 190 14.1 Lois d’Ewens 192 14.2 Nombre de tables 194 14.3 Tables extrêmes 198 14.4 Compléments de combinatoire 200 14.5 Pour aller plus loin 201 15 Renforcement 203 15.1 Urne de Pólya 203 15.2 Graphe de Barabási-Albert 207 15.3 Marche aléatoire renforcée 210 15.4 Théorème de Rubin 214 15.5 Pour aller plus loin 216 16 Percolation 218 16.1 Percolation dans un graphe 218 16.2 Graphe de Bethe (arbre régulier) 221 16.3 Graphe euclidien (grille) 223 16.4 Graphe complet et modèle de Erdős-Rényi 227 16.5 Pour aller plus loin 229 17 Croissance et fragmentation 231 17.1 Processus TCP window-size en informatique 231 17.2 Intensité des sauts variable selon la position 238 17.3 Branchement et croissance-fragmentation 239 17.4 Pour aller plus loin 243 18 Ruine d’une compagnie d’assurance 244 18.1 Processus de Poisson composé 246 18.2 La ruine est-elle presque sûre ? 247 18.3 Expression de la probabilité de ruine 248 18.4 Sinistres exponentiels 249 18.5 Pour aller plus loin 251 19 Polymères dirigés en environnement aléatoire 252 19.1 Modèle et résultats principaux 252 19.2 Fonction de partition normalisée 256 19.3 Borne inférieure en grandes dimensions 258 19.4 Énergie libre moyenne 260 19.5 Borne supérieure sur le paramètre critique 262 19.6 Pour aller plus loin 264 20 Problème du voyageur de commerce 266 20.1 Concentration pour le cas uniforme 268 20.2 Évaluation de la moyenne du cas uniforme 272 20.3 Démonstration du cas uniforme 276 20.4 Pour aller plus loin 276 21 Matrices aléatoires 278 21.1 Théorème de Wigner 279 21.2 Réduction à un cas plus simple 282 21.3 Convergence des moments et convergence étroite 286 21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié 289 21.5 Pour aller plus loin 293 22 Naissances et assassinats 296 22.1 Condition suffisante de stabilité 298 22.2 Condition suffisante d’instabilité 299 22.3 Pour aller plus loin 302 23 Modèle du télégraphe 304 23.1 Aspects markoviens du processus complet 305 23.2 Lien entre équation et processus 308 23.3 Modification ergodique 309 23.4 Pour aller plus loin 312 24 Problème de Dirichlet 313 24.1 Interprétation probabiliste 315 24.2 Cas de la boule unité 317 24.3 Approches numériques 318 24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu 319 24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques 321 24.6 Pour aller plus loin 322 25 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck 324 25.1 Premières propriétés 325 25.2 Décomposition spectrale et inégalité de Poincaré 330 25.3 Entropie, couplage, et temps long 334 25.4 Inégalité de Sobolev logarithmique 337 25.5 Pour aller plus loin 340 26 Modèles de diffusion cinétique 342 26.1 Modèle de Langevin 342 26.2 Processus de Langevin confiné 344 26.3 Comportement en temps long du processus confiné 347 26.4 Pour aller plus loin 353 27 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion 355 27.1 Paresse et échantillonnage 355 27.2 Convergence d’une chaîne vers une diffusion 357 27.3 Diffusion sur un intervalle 360 27.4 Application aux processus de Wright-Fisher 362 27.5 Fonction de répartition empirique 366 27.6 Schéma d’Euler 367 27.7 Pour aller plus loin 369 Suggestions bibliographiques 371 Littérature 373 Index 388 Principales notations et abréviations 394 Modélisation,Probabilités Modélisation Probabilités Front Matter....Pages I-XIII Pile, face, coupons....Pages 1-17 Marches aléatoires....Pages 19-38 Branchement et processus de Galton-Watson....Pages 39-55 Permutations, partitions, et graphes....Pages 57-68 Mesures de Gibbs....Pages 69-81 Agrégation limitée par diffusion interne....Pages 83-91 Chaînes de Markov cachées....Pages 93-103 Algorithme EM et mélanges....Pages 105-112 Urnes d’Ehrenfest....Pages 113-127 Records, extrêmes, et recrutements....Pages 129-138 File d’attente M/M/Infini....Pages 139-153 Modèle de Wright-Fisher....Pages 155-170 Généalogies et coalescence....Pages 171-183 Restaurants chinois....Pages 185-197 Renforcement....Pages 199-213 Percolation....Pages 215-227 Croissance et fragmentation....Pages 229-241 Ruine d’une compagnie d’assurance....Pages 243-250 Polymères dirigés en environnement aléatoire....Pages 251-264 Problème du Voyageur de Commerce....Pages 265-276 Matrices Aléatoires....Pages 277-294 Naissances et Assassinats....Pages 295-302 Modèle du télégraphe....Pages 303-311 Problème de Dirichlet....Pages 313-323 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck....Pages 325-342 Modèles de diffusion cinétique....Pages 343-355 Des chaînes de Markov aux processus de diffusion....Pages 357-372 Back Matter....Pages 373-398 Ce recueil puise sa source dans les cours de master de math@221E@266Dmatiques appliqu@221E@266Des et de pr@221E@266Dparation @221E@03C2 l@0394@03C3@221E@266Dpreuve de mod@221E@266Dlisation de l@0394@03C3agr@221E@266Dgation de math@221E@266Dmatiques. Le parti pris de cet ouvrage est de polariser la r@221E@266Ddaction par les mod@221Eles plut@221Et que par les outils, et de consacrer chaque chapitre @221E@03C2 un mod@221Ele. Le premier public vis@221E@266D est celui des enseignants-chercheurs en probabilit@221E@266Ds, d@221E@266Dbutants ou confirm@221E@266Ds. De nombreux chapitres peuvent @221E@266Dgalement b@221E@266Dn@221E@266Dficier directement @221E@03C2 des @221E@266Dtudiants de master ou pr@221E@266Dparant l@0394@03C3agr@221E@266Dgation. Collected Stochastic Models This collection was inspired by applied mathematics Master classes in stochastic modeling. The focus is on models rather than on tools, and each chapter is devoted to a specific model. Though the book is primarily intended for academics in the field of probability theory, beginners and experienced researchers alike, many chapters will also benefit students preparing to pursue their Master degree in mathematics Ce recueil puise sa source dans les cours de master de mathématiques appliquées et de préparation à l'épreuve de modélisation de l'agrégation de mathématiques. Le parti pris de cet ouvrage est de polariser la rédaction par les modèles plutôt que par les outils, et de consacrer chaque chapitre à un modèle. Le premier public visé est celui des enseignants-chercheurs en probabilités, débutants ou confirmés. De nombreux chapitres peuvent également bénéficier directement à des étudiants de master ou préparant l'agrégation. Collected Stochastic Models : This collection was inspired by applied mathematics Master classes in stochastic modeling. The focus is on models rather than on tools, and each chapter is devoted to a specific model. Though the book is primarily intended for academics in the field of probability theory, beginners and experienced researchers alike, many chapters will also benefit students preparing to pursue their Master degree in mathematics