دانلود کتاب Quantum invariants of knots and 3-manifolds (به فارسی: تغییرات کوانتومی گره ها و 3 منیفولد) نوشته شده توسط «Vladimir G. Turaev»
اطلاعات کتاب تغییرات کوانتومی گره ها و 3 منیفولد
موضوع اصلی: ریاضیات
نوع: کتاب الکترونیکی
ناشر: De Gruyter
نویسنده: Vladimir G. Turaev
زبان: English
فرمت کتاب: pdf (قابل تبدیل به سایر فرمت ها)
سال انتشار: 2010
تعداد صفحه: 605
حجم کتاب: 3 مگابایت
کد کتاب: 3110221837 , 9783110221831 , 9783110221848
نوبت چاپ: 2nd rev. ed
توضیحات کتاب تغییرات کوانتومی گره ها و 3 منیفولد
نتایج بسیار شگفت انگیزی در دو دهه اخیر ظاهر شده است که دو حوزه به ظاهر متفاوت دانش، یعنی توپولوژی و نظریه میدان کوانتومی را به هم متصل می کند. ملاحظات توپولوژیک مدتی است که به دلیل نقش لحظه ها در نظریه میدان کوانتومی نقش داشته است، اما نظریه میدان کوانتومی هیچ روشنی بر مسائل توپولوژیکی نمی اندازد تا اینکه ادوارد ویتن، وان جونز و سایر فیزیکدانان و ریاضیدانان نشان دادند که می تواند ابزاری قدرتمند برای بررسی توپولوژی سه بعدی و چهار بعدی باشد.
این کتاب که برای ریاضیدان نوشته شده است، از خط استدلال فیزیکی که برای به دست آوردن متغیرهای گره و 3 منیفولد استفاده شده است، پیروی نمی کند. در عوض، تلاش می‌کند تا حد امکان دقیق باقی بماند و بنابراین رویکردهایی که از نظریه میدان هم‌نوع یا نظریه میدان چرن-سایمونز استفاده می‌کنند توسط نویسنده توسعه نیافته‌اند (این بدان معنا نیست که نمی‌توان تاثیر این حوزه‌ها را در کتاب مشاهده کرد). . نویسنده نه تنها پیشرفت‌های ادبیات پژوهشی کنونی تا تاریخ نگارش کتاب را در بر می‌گیرد، بلکه برخی از نتایج اصلی خود را نیز در بر می‌گیرد. این کتاب همچنین می تواند به عنوان یک کتاب درسی در نظر گرفته شود، زیرا تمرین هایی در مکان های مختلف کتاب وجود دارد.
نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی در این کتاب به دقت تعریف شده است، اما در زمینه آنچه که توسط نویسنده مقوله‌های مدولار و تابع‌های مدولار نامیده می‌شود، قرار داده شده است. از این رو، باید نام «نظریه میدان کوانتومی» در کتاب را به عنوان چیزی که تنها ریشه های تاریخی آن را نشان می دهد، در نظر گرفت. یک نظریه میدان کوانتومی کاملاً عملیاتی همیشه به ابعاد بی نهایت نیاز دارد تا قدرت پیش بینی خود را به دست آورد. این دسته بندی های مدولار از تابع های مدولار ساخته شده اند، که دومی از سطوح بسته جهت دار با یک زیرفضای لاگرانژی متمایز و مجموعه ای محدود از نقاط مشخص شده یا “رنگ ها” ناشی می شود (خواننده ای که در تئوری میدان همسانی آگاه است، منشأ این ایده ها را خواهد دید). انتخاب یک دسته مدولار خاص و مجموعه ای از رنگ ها، چند جمله ای آشنای جونز را به دست می دهد.
پس از تعریف یک متغیر ایزوتوپی برای پیوندهای قاب گرا در فضای اقلیدسی، متغیرهای توپولوژیکی برای 3 منیفولدهای بسته گرا با انجام جراحی بر روی استاندارد 3 تعریف می شوند. -کره در امتداد یک پیوند قاب شده. وابستگی به پیوند با استفاده از حساب کربی حذف می شود، که دنباله ای از حرکات مورد نیاز برای ارتباط یک پیوند به پیوند دیگر را می دهد. بنابراین، تغییر ناپذیر کوانتومی حاصل به نمودارهای پیوند وابسته است، اما یک تعریف ذاتی که از منیفولد محاسبه می‌شود، از طریق یک مجموع حالت بر روی یک مثلث منیفولد است. جالب تر از همه این است که این مجموع حالت با استفاده از نمادهای 6j محاسبه می شود که برای فیزیکدانان در نظریه کوانتومی تکانه زاویه ای آشنا هستند. ثابت واقعی مستلزم محاسبه یک محصول بر روی منیفولد و یک برابر با آن است به جز گرفتن جهت مخالف. علاوه بر این، محاسبات در داخل یک منیفولد 4 منیفولد تکه‌ای خطی با جهت گیری فشرده دلخواه انجام می‌شود که توسط منیفولد محدود شده است. این محاسبه از مفهوم “سایه” 4 منیفولد استفاده می کند که اشیای توپولوژیکی مربوط به نمادهای 6j هستند. روشنایی (بدون جناس) توسط نویسنده نظریه سایه ها با جزئیات زیاد انجام شده است و بیشتر موارد را اشغال می کند. فضای کتاب
وجود مقوله‌های مدولار به نظریه بازنمایی گروه‌های کوانتومی در ریشه‌های وحدت مربوط می‌شود، این گروه‌های کوانتومی جبرهای Hopf بر روی اعداد مختلط هستند که از طریق تغییر شکل‌های 1 پارامتری جبر فراگیر جهانی جبرهای ساده Lie ساخته می‌شوند. . نویسنده اگرچه به زبان کلی مقوله ها پایبند بوده و ساختارهای جبری و هندسی آن ها به تفصیل توسط نویسنده مورد بحث قرار گرفته است.
همه نتایج این کتاب جالب هستند، اما نویسنده اذعان می‌کند که ارتباط آنها با توپولوژی کم‌بعد و متغیرهای کلاسیک 3 منیفولد به آسانی آشکار نیست، به‌ویژه ارتباط آنها با هموتوپی از طریق گروه بنیادی. چنین ارتباطی احتمالاً یکی از آزاردهنده ترین سؤالات توپولوژی سه بعدی را روشن می کند: حدس پوانکر.
This book, written for the mathematician, does not follow the physical line of reasoning that has been employed to obtain invariants of knots and 3-manifolds. Instead, it endeavors to remain as rigorous as possible, and thus the approaches using conformal field theory or Chern-Simons field theory are not developed by the author (this is not to say that one cannot see the influence of these areas in the book). The author incorporates not only the developments from the current research literature up to the date the book was written, but also interjects some original results of his own. The book could also be viewed as a textbook, as there are exercises put in at various places in the book.
Topological quantum field theory is defined rigorously in this book, but is put in the context of what are called modular categories and modular functors by the author.Modular categories are finite dimensional modules over a Hopf algebra. Hence, one should think of the designation ‘quantum field theory’ in the book as being one that indicates only its historical roots. A fully operational quantum field theory always needs infinite dimensions to gain its predictive power. These modular categories are constructed from modular functors, the latter arising from closed oriented surfaces with a distinguished Lagrangian subspace and a finite set of marked points, or “colors” (the reader versed in conformal field theory will see the origins of these ideas). Choosing a particular modular category and set of colors will give the familiar Jones polynomial.
After defining an isotopy invariant for colored frame oriented links in Euclidean space, topological invariants for closed oriented 3-manifolds are defined by doing surgery on the standard 3-sphere along a framed link. The dependence on the link is removed by employing Kirby calculus, which gives the sequence of moves needed to relate one link to another. The resulting quantum invariant is thus dependent on the link diagrams, but an intrinsic definition computed from the manifold is via a state sum on a triangulation of the manifold. Most interesting is that this state sum is computed using the 6j-symbols, familiar to physicists in the quantum theory of angular momentum. The actual invariant requires the computation of a product over the manifold and one equal to it except taking the opposite orientation. In addition, the computation is done inside an arbitrary compact oriented piecewise-linear 4-manifold bounded by the manifold. This computation utilizes the concept of a “shadow” of a 4-manifold, which are topological objects related to 6j-symbols.The illumination (no pun intended) by the author of the theory of shadows is done in great detail and occupies most of the space in the book.
The existence of modular categories is related to the theory of representations of quantum groups at roots of unity, these quantum groups being Hopf algebras over the complex numbers which are constructed via 1-parameter deformations of the universal enveloping algebra of simple Lie algebras. The author though sticks with the general language of categories, and algebraic and geometric constructions of them are discussed in detail by the author.
All of the results in this book are interesting, but the author admits that their connection with low-dimensional topology and the classical invariants of 3-manifolds is not readily apparent, especially their connection with homotopy via the fundamental group. Such a connection would possibly shed light on the one of the most nagging questions in 3-dimensional topology: the Poincare conjecture.
دانلود کتاب «تغییرات کوانتومی گره ها و 3 منیفولد»
