Путь к реальности, или Законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель

Обложка ......Page 1 Титульный лист оригинала ......Page 3 Титульный лист перевода ......Page 4 Аннотация ......Page 5 Оглавление ......Page 6 Предисловие ......Page 15 Благодарности ......Page 21 Об условных обозначениях ......Page 23 Пролог ......Page 26 1.1. Силы, движущие миром ......Page 30 1.2. Математическая истина ......Page 32 1.3. «Реален» ли математический мир Платона? ......Page 34 1.4. Три мира и три великие загадки ......Page 39 1.5. Истина, Добро и Красота ......Page 42 2.1. Теорема Пифагора ......Page 45 2.2. Постулаты Евклида ......Page 47 2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора ......Page 49 2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление ......Page 51 2.5. Другие представления гиперболической геометрии ......Page 55 2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе ......Page 59 2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство ......Page 62 3.1. Катастрофа пифагорейцев? ......Page 67 3.2. Система вещественных чисел ......Page 69 3.3. Вещественные числа в физическом мире ......Page 73 3.4. Нуждаются ли натуральные числа в наличии физического мира? ......Page 76 3.5. Дискретные числа в физическом мире ......Page 77 4.1. Магическое число $i$ ......Page 82 4.2. Решение уравнений с комплексными числами ......Page 84 4.3. Сходимость степенных рядов ......Page 86 4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя ......Page 89 4.5. Как построить множество Мандельброта ......Page 92 5.1. Геометрия комплексной алгебры ......Page 94 5.2. Идея комплексного логарифма ......Page 97 5.3. Многозначность, натуральные логарифмы ......Page 99 5.4. Комплексные степени ......Page 102 5.5. Связь с физикой элементарных частиц ......Page 104 6.1. Что создает настоящую функцию? ......Page 107 6.2. Наклон функции ......Page 109 6.3. Высшие производные, $C^{\infty}$-гладкие функции ......Page 111 6.4. Каково «эйлерово» понимание функции? ......Page 113 6.5. Правила дифференцирования ......Page 115 6.6. Интегрирование ......Page 117 7.1. Комплексная гладкость, голоморфные функции ......Page 122 7.2. Контурное интегрирование ......Page 123 7.3. Степенные ряды, получаемые из комплексной гладкости ......Page 126 7.4. Аналитическое продолжение ......Page 127 8.1. Идея римановой поверхности ......Page 133 8.2. Конформные отображения ......Page 136 8.3. Сфера Римана ......Page 139 8.4. Род компактной римановой поверхности ......Page 141 8.5. Теорема о римановом отображении ......Page 144 9.1. Ряды Фурье ......Page 148 9.2. Функции на окружности ......Page 151 9.3. Расщепление частот на сфере Римана ......Page 154 9.4. Преобразование Фурье ......Page 156 9.5. Расщепление частот, получаемое из преобразования Фурье ......Page 158 9.6. Какие функции приемлемы? ......Page 160 9.7. Гиперфункции ......Page 163 10.1. Комплексные и вещественные размерности ......Page 169 10.2. Гладкость, частные производные ......Page 170 10.3. Векторные поля и l-формы ......Page 174 10.4. Компоненты, скалярные произведения ......Page 178 10.5. Условия Коши-Римана ......Page 180 11.1. Алгебра кватернионов ......Page 184 11.2. Какова роль кватернионов в физике? ......Page 186 11.3. Геометрия кватернионов ......Page 188 11.4. Как складывать вращения ......Page 190 11.5. Алгебры Клиффорда ......Page 191 11.6. Алгебры Грассмана ......Page 194 12.1. Зачем изучать многомерные многообразия? ......Page 198 12.2. Многообразия и координатные лоскуты ......Page 201 12.3. Скаляры, векторы и ковекторы ......Page 203 12.4. Грассмановы произведения ......Page 206 12.5. Интегрирование форм ......Page 208 12.6. Внешняя производная ......Page 210 12.7. Элемент объема, правило суммирования ......Page 213 12.8. Тензоры. Абстрактные индексы и диаграммное представление ......Page 216 12.9. Комплексные многообразия ......Page 217 13.1. Группы преобразований ......Page 223 13.2. Подгруппы и простые группы ......Page 225 13.3. Линейные преобразования и матрицы ......Page 229 13.4. Определители и следы ......Page 233 13.5. Собственные значения и собственные векторы ......Page 235 13.6. Теория представлений и алгебры Ли ......Page 238 13.7. Тензорные пространства представлений. Приводимость ......Page 241 13.8. Ортогональные группы ......Page 245 13.9. Унитарные группы ......Page 250 13.10. Симплектические группы ......Page 254 14.1. Дифференцирование на многообразии? ......Page 259 14.2. Параллельный перенос ......Page 260 14.3. Ковариантная производная ......Page 264 14.4. Кривизна и кручение ......Page 267 14.5. Геодезические, параллелограммы и кривизна ......Page 268 14.6. Производная Ли ......Page 274 14.7. Что может дать нам метрика ......Page 279 14.8. Симплектические многообразия ......Page 283 15.1. Физическая мотивация расслоенных пространств ......Page 286 15.2. Математическая идея расслоения ......Page 288 15.3. Сечения расслоений ......Page 291 15.4. Расслоение Клиффорда-Хопфа ......Page 293 15.5. Комплексные векторные расслоения, (ко)касательные расслоения ......Page 296 15.6. Проективные пространства ......Page 298 15.7. Нетривиальность в связности расслоения ......Page 303 15.8. Кривизна расслоения ......Page 306 16.1. Конечные поля ......Page 311 16.2. Конечная или бесконечная геометрия нужна физике? ......Page 312 16.3. Бесконечности разного размера ......Page 316 16.4. Диагональная косая черта Кантора ......Page 319 16.5. Загадки оснований математики ......Page 322 16.6. Машины Тьюринга и теорема Гёделя ......Page 324 16.7. Размеры бесконечности в физике ......Page 327 17.1. Пространство-время физики Аристотеля ......Page 331 17.2. Пространство-время галилеевой относительности ......Page 333 17.3. Ньютоновская динамика на языке пространства-времени ......Page 334 17.4. Принцип эквивалентности ......Page 337 17.5. «Ньютоновское пространство-время» в представлении Картана ......Page 340 17.6. Фиксированная конечная скорость света ......Page 344 17.7. Световые конусы ......Page 345 17.8. Отказ от абсолютного времени ......Page 348 17.9. Пространство-время общей теории относительности Эйнштейна ......Page 351 18.1. 4-пространство Евклида и Минковского ......Page 355 18.2. Группы симметрии пространства Минковского ......Page 357 18.3. Лоренцева ортогональность. «Парадокс часов» ......Page 359 18.4. Гиперболическая геометрия в пространстве Минковского ......Page 362 18.5. Небесная сфера как сфера Римана ......Page 369 18.6. Ньютоновская энергия, импульс и момент импульса ......Page 371 18.7. Релятивистская энергия, импульс и момент импульса ......Page 373 19.1. Эволюция ньютоновской динамики ......Page 378 19.2. Максвелловская теория электромагнетизма ......Page 379 19.3. Законы сохранения и потоки в теории Максвелла ......Page 383 19.4. Максвелловское поле как калибровочная кривизна ......Page 385 19.5. Тензор энергии-импульса ......Page 390 19.6. Эйнштейновское уравнение поля ......Page 392 19.7. Дальнейшее развитие. Космологическая постоянная, тензор Вейля ......Page 395 19.8. Энергия гравитационного поля ......Page 397 20.1. Магический лагранжев формализм ......Page 403 20.2. Более симметричная гамильтонова картина ......Page 406 20.3. Малые колебания ......Page 409 20.4. Гамильтонова динамика как симплектическая геометрия ......Page 413 20.5. Лагранжева трактовка полей ......Page 415 20.6. Как лагранжианы двигают современную теорию ......Page 416 21.1. Некоммутирующие переменные ......Page 421 21.2. Квантовые гамильтонианы ......Page 423 21.3. Уравнение Шредингера ......Page 425 21.4. Экспериментальные основания квантовой теории ......Page 426 21.5. Обсуждение дуализма волна-частица ......Page 430 21.6. Что есть квантовая «реальность»? ......Page 432 21.7. «Целостная» природа волновой функции ......Page 436 21.8. Таинственные «квантовые скачки» ......Page 439 21.9. Распределение вероятностей в волновой функции ......Page 440 21.10. Координатные состояния ......Page 442 21.11. Описание в импульсном пространстве ......Page 443 22.1. Квантовые процедуры $\mathbb{U}$ и $\mathbb{R}$ ......Page 448 22.2. Линейность $\mathbb{U}$ и возникающие в связи с этим проблемы для $\mathbb{R}$ ......Page 450 22.3. Унитарная структура, гильбертово пространство и обозначения Дирака ......Page 452 22.4. Унитарная эволюция. Представления Шредингера и Гейзенберга ......Page 454 22.5. Квантовые «наблюдаемые» ......Page 457 22.6. Измерения ДА/НЕТ. Проекторы ......Page 460 22.7. Нулевые измерения. Спиральность ......Page 461 22.8. Спин и спиноры ......Page 466 22.9. Сфера Римана для систем с двумя состояниями ......Page 469 22.10. Высокие значения спина. Представление Майораны ......Page 474 22.11. Сферические гармоники ......Page 476 22.12. Релятивистский квантовый момент импульса ......Page 480 22.13. Общий случай изолированного квантового объекта ......Page 483 23.1. Квантовая механика систем многих частиц ......Page 490 23.2. Гигантский объем пространства многочастичных состояний ......Page 491 23.3. Квантовое перепутывание. Неравенства Белла ......Page 493 23.4. ЭПР-эксперименты по Бому ......Page 495 23.5. ЭПР-эксперимент по Харди — почти без вероятностей ......Page 499 23.6. Две загадки квантового перепутывания ......Page 500 23.7. Бозоны и фермионы ......Page 502 23.8. Квантовые состояния бозонов и фермионов ......Page 504 23.9. Квантовая телепортация ......Page 506 23.10. Кванглеменция ......Page 509 24.1. Конфликт между квантовой теорией и теорией относительности ......Page 515 24.2. Почему античастицы приводят к квантовым полям? ......Page 516 24.3. Положительность энергии в квантовой механике ......Page 517 24.4. Проблемы с релятивистской формулой для энергии ......Page 519 24.5. Неинвариантность оператора $\partial/\partial t$ ......Page 520 24.6. Квадратный корень из волнового оператора по Клиффорду-Дираку ......Page 522 24.7. Уравнение Дирака ......Page 523 24.8. Как Дирак пришел к позитрону ......Page 525 25.1. Истоки современной физики элементарных частиц ......Page 530 25.2. Зигзаг-представление электрона ......Page 531 25.3. Электрослабое взаимодействие. Симметрия относительно отражения ......Page 534 25.4. Зарядовое сопряжение, четность и обращение времени ......Page 539 25.5. Электрослабая группа симметрии ......Page 540 25.6. Сильно взаимодействующие частицы ......Page 544 25.7. «Цветные кварки» ......Page 546 25.8. За пределами стандартной модели ......Page 548 26.1. Фундаментальный статус квантовой теории поля в современной теоретической физике ......Page 552 26.2. Операторы рождения и уничтожения ......Page 553 26.3. Бесконечномерные алгебры ......Page 556 26.4. Античастицы в КТП ......Page 557 26.5. Альтернативные вакуумы ......Page 558 26.6. Взаимодействия: лагранжианы и интегралы по траекториям ......Page 560 26.7. Расходящиеся интегралы по траекториям: ответ Фейнмана ......Page 563 26.8. Построение фейнмановских диаграмм. $S$-матрица ......Page 565 26.9. Перенормировка ......Page 568 26.10. Фейнмановские диаграммы из лагранжианов ......Page 571 26.11. Фейнмановские диаграммы и выбор вакуума ......Page 572 27.1. Временная симметрия в динамической эволюции ......Page 577 27.2. Субмикроскопические составные части ......Page 578 27.3. Энтропия ......Page 580 27.4. Прочность концепции энтропии ......Page 582 27.5. Вывод Второго закона... или нет? ......Page 585 27.6. Является ли Вселенная в целом «изолированной системой»? ......Page 587 27.7. Роль Большого взрыва ......Page 589 27.8. Черные дыры ......Page 594 27.9. Горизонты событий и пространственно-временные сингулярности ......Page 597 27.10. Энтропия черной дыры ......Page 599 27.11. Космология ......Page 601 27.12. Конформные диаграммы ......Page 606 27.13. Наш собственный особенный Большой взрыв ......Page 609 28.1. Спонтанное нарушение симметрии в ранней Вселенной ......Page 617 28.2. Космические топологические дефекты ......Page 620 28.3. Проблемы с нарушением симметрии в ранней Вселенной ......Page 623 28.4. Инфляционная космология ......Page 626 28.5. Справедливы ли предпосылки инфляционной модели? ......Page 631 28.6. Антропный принцип ......Page 634 28.7. Особая природа Большого взрыва: антропный ключ? ......Page 638 28.8. Гипотеза кривизны Вейля ......Page 640 28.9. Гипотеза отсутствия границ Хартла-Хокинга ......Page 644 28.10. Космологические параметры: согласие с результатами наблюдений ......Page 646 29.1. Традиционные онтологии квантовой теории ......Page 654 29.2. Нетрадиционные онтологии квантовой теории ......Page 656 29.3. Матрица плотности ......Page 661 29.4. Матрицы плотности для спина $\dfrac{1}{2}$ Сфера Блоха ......Page 663 29.5. Матрица плотности в условиях ЭПР-эксперимента ......Page 666 29.6. Практическая философия декогеренции, создаваемой окружением ......Page 670 29.7. Кошка Шредингера в «копенгагенской» онтологии ......Page 671 29.8. Способны ли разрешить «кошачий» парадокс другие традиционные онтологии? ......Page 673 29.9. Чем могут помочь нетрадиционные онтологии? ......Page 676 30.1. Окончательна ли современная квантовая теория? ......Page 681 30.2. Подсказки со стороны космологической временной асимметрии ......Page 682 30.3. Роль временной асимметрии в редукции квантового состояния ......Page 683 30.4. Хокингова температура черной дыры ......Page 686 30.5. Температура черной дыры и комплексная периодичность ......Page 690 30.6. Векторы Киллинга, поток энергии и... путешествие во времени! ......Page 694 30.7. Орбиты с отрицательной энергией и уход энергии с них ......Page 697 30.8. Взрывы Хокинга ......Page 699 30.9. Более радикальный взгляд ......Page 702 30.10. Шредингеров объект ......Page 705 30.11. Фундаментальный конфликт с принципами теории Эйнштейна ......Page 708 30.12. Предпочтительные состояния Шредингера-Ньютона ......Page 711 30.13. Эксперимент FELIX и другие аналогичные предложения ......Page 713 30.14. Природа флуктуации в ранней Вселенной ......Page 717 31.1. Необъяснимые параметры ......Page 724 31.2. Суперсимметрия ......Page 727 31.3. Алгебра и геометрия суперсимметрии ......Page 729 31.4. Пространство-время с увеличенным числом измерений ......Page 732 31.5. Первоначальная адронная теория струн ......Page 735 31.6. На пути к струнной теории мира ......Page 738 31.7. Побудительные мотивы введения лишних измерений пространства-времени в теории струн ......Page 740 31.8. Теория струн как квантовая гравитация? ......Page 741 31.9. Динамика струн ......Page 743 31.10. Почему мы не видим дополнительных пространственных измерений? ......Page 745 31.11. Следует ли принимать аргументацию с точки зрения квантовой стабильности? ......Page 749 31.12. Классическая нестабильность дополнительных измерений ......Page 751 31.13. Конечна ли струнная квантовая теория поля? ......Page 753 31.14. Магические пространства Калаби-Яу; М-теория ......Page 755 31.15. Струны и энтропия черных дыр ......Page 760 31.16. «Голографический принцип» ......Page 763 31.17. D-браны ......Page 765 31.18. Физический статус теории струн ......Page 767 32.1. Каноническая квантовая гравитация ......Page 775 32.2. Киральность и переменные Аштекара ......Page 776 32.3. Вид переменных Аштекара ......Page 778 32.4. Петлевые переменные ......Page 780 32.5. Математика узлов и связей ......Page 782 32.6. Спиновые сети ......Page 784 32.7. Статус квантовой гравитации с петлевыми переменными ......Page 789 33.1. Геометрия с дискретными элементами ......Page 794 33.2. Твисторы как световые лучи ......Page 797 33.3. Конформная группа. Компактифицированное пространство Минковского ......Page 802 33.4. Твисторы как многомерные спиноры ......Page 805 33.5. Элементарная твисторная геометрия и система координат ......Page 807 33.6. Геометрия твисторов как вращающихся безмассовых частиц ......Page 810 33.7. Квантовая теория твисторов ......Page 814 33.8. Твисторное описание безмассовых полей ......Page 816 33.9. Твисторная когомология пучков ......Page 818 33.10. Твисторы и расщепление на положительные и отрицательные частоты ......Page 822 33.11. Нелинейный гравитон ......Page 824 33.12. Твисторы и общая теория относительности ......Page 828 33.13. На пути к твисторной теории элементарных частиц ......Page 830 33.14. Каково будущее теории твисторов? ......Page 831 34.1. Великие физические теории XX века — что дальше? ......Page 837 34.2. Фундаментальная физика, движимая математикой ......Page 840 34.3. Роль моды в физической теории ......Page 842 34.4. Можно ли экспериментально опровергнуть неверную теорию? ......Page 844 34.5. Откуда ожидать следующую физическую революцию? ......Page 848 34.6. Что есть реальность? ......Page 850 34.7. Роль ментальности в физической теории ......Page 852 34.8. Наш долгий путь к реальности ......Page 854 34.9. Красота и чудеса ......Page 857 34.10. Многое понято, еще больше понять предстоит ......Page 861 Эпилог ......Page 865 Литература ......Page 867 Предметный указатель ......Page 904