Prüfungstrainer Analysis: Mehr als 1000 Fragen und Antworten für Bachelor Mathematik und Physik, auch bestens geeignet für Lehramtsstudierende (German Edition)

Mehr als 1000 Fragen und Antworten für Bachelor Mathematik und Physik, auch bestens geeignet für Lehramtsstudierende Dieser „Prüfungstrainer“ wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die – insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung – den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können. In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo – einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen – ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet. Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen. Die 2. Auflage wurde vollständig durchgesehen, didaktisch weiter verbessert und um neue Fragen ergänzt. Vorwort zur dritten Auflage 5 Vorwort zur zweiten Auflage 7 Vorwort zur ersten Auflage 9 Inhaltsverzeichnis 12 1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 15 1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen 16 1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 32 1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen 41 1.4 Der Körper der komplexen Zahlen 45 1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn 65 1.6 Einige wichtige Ungleichungen 69 2 Folgen reeller und komplexer Zahlen 75 2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen 75 2.2 Einige wichtige Grenzwerte 84 2.3 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen 87 2.4 Prinzipien der Konvergenztheorie 91 3 (Unendliche) Reihen 103 3.1 Definitionen und erste Beispiele 103 3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen 114 3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern, absolute Konvergenz 122 3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte 129 3.5 Elementares über Potenzreihen 137 3.6 Der Große Umordnungssatz 141 4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen 146 4.1 Grundbegriffe 147 4.2 Stetigkeit 157 4.3 Grenzwerte bei Funktionen 170 5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen 177 5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 178 5.2 Potenzreihen 186 6 Elementare (transzendente) Funktionen 192 6.1 Die komplexe Exponentialfunktion 192 6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 199 6.3 Natürlicher Logarithmus und allgemeine Potenzen 206 6.4 Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen 209 7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung 213 7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen 213 7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung 225 7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 241 7.4 Integrationstechniken 251 8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 258 8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen 258 8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren 266 8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln 279 8.4 Uneigentliche Integrale, -Funktion 284 8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel 298 8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie) 309 8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie 325 9 Metrische Räume und ihre Topologie 334 9.1 Grundbegriffe 334 9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit 347 9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte 366 9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen 378 9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe 387 9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß 393 10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen 397 10.1 Partielle Ableitungen 398 10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz 401 10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel 404 10.4 Differenzierbarkeit in bold0mu mumu CC10.3CCCC, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen 414 10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel 416 10.6 Der lokale Umkehrsatz 422 10.7 Der Satz über implizite Funktionen 428 10.8 Untermannigfaltigkeiten im bold0mu mumu RR10.7RRRRn 430 10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren 439 11 Integralrechnung in mehreren Variablen 442 11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale 443 11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 450 11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen 453 11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen 463 11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen 467 11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue 471 11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften 476 11.8 Der Banachraum L1 und der Hilbertraum L2 484 11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte 488 11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen 494 11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn 497 12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze 506 12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Pfaff'sche Formen 506 12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes 517 Symbolverzeichnis 537 Literatur 540 Sachverzeichnis 542 Dieses Buch wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die - insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung - den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können. In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo - einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen - ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet. Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen. Die 3. Auflage wurde vollständig durchgesehen, didaktisch weiter verbessert und um neue Fragen ergänzt. Dr. Rolf Busam ist Co-Autor eines erfolgreichen Lehrbuchs über Funktionentheorie, des Lehrbuchs Grundwissen Mathematikstudium und eines weiteren Prüfungstrainers (über Lineare Algebra). Während seiner langjährigen Lehrtätigkeit als Akademischer Direktor an der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität Heidelberg liegt sein Interessenschwerpunkt in der komplexen Analysis und der Analytischen Zahlentheorie. Ferner ist ihm die Lehreraus- und -weiterbildung ein besonderes Anliegen. Thomas Epp hat an der HU Berlin Mathematik und Philosophie studiert und arbeitet als Content-Developer für eine Mathematik-Plattform