Probability Measures on Metric Spaces (Ams Chelsea Publishing, 352)

در میان منابع کلاسیک نظریه‌ی احتمال، کتابی که توانسته باشد با دقتی مثال‌زدنی، پلی میان فضای انتزاعی اندازه‌ها و کاربردهای آن در فرآیندهای تصادفی ایجاد کند، «اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای متریک» (Probability Measures on Metric Spaces) نوشته‌ی کِی. آر. پارته‌ساراثی است. این اثر که پس از سال‌ها دوری از بازار، توسط انتشارات انجمن ریاضی آمریکا (AMS) تجدیدچاپ شده است، به عنوان یکی از منابع بنیادین و مرجع در این حوزه شناخته می‌شود و رویکردی جامع به نظریه‌ی اندازه‌های احتمالاتی در فضاهای متریک کامل ارائه می‌دهد که به نوعی رویکردی جایگزین برای نظریه‌ی عمومی فرآیندهای تصادفی محسوب می‌شود.

درباره‌ی کتاب اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای متریک —

کتاب «اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای متریک»، که اولین بار در سال ۱۹۶۷ توسط انتشارات Academic Press به چاپ رسید، یک رساله‌ی جامع و دقیق از نظریه‌ی اندازه‌های احتمالاتی در فضاهای متریک انتزاعی است. این اثر که حاصل سال‌ها پژوهش و همکاری نویسنده با مکتب هندی احتمال‌دانان، از جمله واراداراجان، رانگا رائو و وارادهان است، به دلیل ارائه‌ی منسجم و گویای خود، به سرعت به منبعی کلاسیک تبدیل شد. نویسنده در این کتاب، با نگاهی فراتر از رویکردهای سنتی، نظریه‌ی فرآیندهای تصادفی را در چارچوبی از اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای متریک کامل بررسی می‌کند و آن را به عنوان رویکردی جدید و کارآمد معرفی می‌نماید. ساختار کتاب در هفت فصل تنظیم شده است که هر یک به جنبه‌ای اساسی از این نظریه می‌پردازد. فصل اول با معرفی مجموعه‌های بورل در فضاهای متریک و اثبات قضیه‌ی ریخت‌شکلی (isomorphism) آغاز می‌شود. فصل دوم به بررسی ویژگی‌های بنیادین اندازه‌ها مانند منظمی (regularity)، چگالی (tightness) و کامل‌بودن (perfectness) پرداخته و توپولوژی ضعیف روی فضای اندازه‌ها را معرفی می‌کند. در فصول سوم و چهارم، بحث به گروه‌های متریک و گروه‌های موضعاً فشرده‌ی آبلی تعمیم داده شده و مفاهیمی چون تجزیه‌پذیری، بخش‌پذیری نامتناهی و توانی (idempotence) در ارتباط با قضایای حدی برای «مجموع» متغیرهای تصادفی ناچیز (infinitesimal) بررسی می‌شود. فصول پایانی کتاب به ترتیب به فضاهای هیلبرت و فضاهای توابع پیوسته (C[0,1]) و توابع دارای ناپیوستگی از نوع اول (D[0,1]) اختصاص یافته و نتایج مهمی در زمینه‌ی قضایای حدی و معیارهای فشردگی ارائه می‌دهد. این کتاب با زبانی دقیق اما خوانا، علیرغم عمق مطالب، به اثبات قضایای کلیدی چون قضیه‌ی گلوننکو-کانتلی، قضیه‌ی پورتمانتو، قضیه‌ی پروخوروف، فرمول لوی-خینچین و قضیه‌ی سازگاری کلموگروف می‌پردازد.

درباره‌ی نویسنده

کِی. آر. پارته‌ساراثی (K. R. Parthasarathy) یکی از برجسته‌ترین احتمال‌دانان هندی و از اعضای مؤسسه‌ی آمار هند (Indian Statistical Institute) است. او در دهه‌ی ۱۹۶۰، همراه با همکارانش، نقش محوری در شکل‌دهی به مکتب هندی نظریه‌ی احتمال ایفا کرد و تحقیقات بنیادینی در زمینه‌ی تعمیم قضایای حدی برای متغیرهای تصادفی با مقادیر برداری در گروه‌ها و فضاهای هیلبرت انجام داد. حاصل این تلاش‌ها، که در سال‌های اقامت او در دانشگاه شفیلد به نگارش درآمد، همین کتاب شد که بعدها به عنوان منبعی کلاسیک و تأثیرگذار در این حوزه شناخته شد.

چرا باید اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای متریک را بخوانید؟

مرجعی کلاسیک و بنیادین: این کتاب با بیش از ۴۵۰ ارجاع در مقالات علمی، به عنوان یکی از متون بنیادین و غیرقابل‌اجتناب در نظریه‌ی اندازه‌های احتمالاتی و فرآیندهای تصادفی شناخته می‌شود. رویکردی جامع و یکپارچه: نویسنده با ارائه‌ی ساختاری منسجم، نظریه را از مباحث مقدماتی تا پیشرفته‌ترین قضایای حدی در فضاهای پیچیده مانند فضاهای هیلبرت و C[0,1] دنبال می‌کند. ارائه‌ی اثبات‌های دقیق و خوانا: یکی از نقاط قوت برجسته‌ی کتاب، ارائه‌ی اثبات‌های دقیق و در عین حال قابل‌فهم برای قضایای کلیدی است که در بسیاری از متون دیگر به خوبی پوشش داده نشده‌اند. کاربرد فراتر از علم احتمال: فصل اول این کتاب که به بررسی مجموعه‌های بورل می‌پردازد، به دلیل ارائه‌ی خلاصه‌ای منسجم از کارهای مکتب لهستان، در علوم دیگری مانند اقتصاد ریاضی نیز مورد توجه قرار گرفته است. اثبات قضایای بنیادین فرآیندهای تصادفی: کتاب اثبات‌های کاملی برای قضایای مهمی چون قضیه‌ی سازگاری کلموگروف و وجود احتمالات شرطی منظم ارائه می‌دهد که برای هر پژوهشگری در این حوزه حیاتی است.

این کتاب برای چه کسانی مناسب است؟

این کتاب به طور مشخص برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققانی طراحی شده است که به نظریه‌ی احتمال و فرآیندهای تصادفی علاقه‌مند هستند. مطالعه‌ی این اثر برای کسانی که به دنبال درکی عمیق و مبتنی بر اصول از اندازه‌های احتمالاتی روی فضاهای توپولوژیک و کاربردهای آن‌ها در قضایای حدی هستند، بسیار ارزشمند است. علاوه بر این، ریاضی‌دانانی که در حوزه‌های توپولوژی و آنالیز تابعی فعالیت می‌کنند، می‌توانند از بخش‌های مربوط به فضاهای فشرده‌سازی و اندازه‌ها بهره‌مند شوند. با وجود خودکفا بودن مطالب، این کتاب بیشتر به عنوان منبعی مکمل و یا برای مطالعه‌ی مستقل پیشرفته توصیه می‌شود تا یک کتاب درسی مقدماتی.

سوالات متداول

آیا این کتاب برای یک دانشجوی کارشناسی که تازه نظریه‌ی اندازه را آغاز کرده مناسب است؟

اگرچه کتاب خودکفا نوشته شده، اما به دلیل عمق مطالب و رویکرد انتزاعی، بیشتر برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی یا محققان توصیه می‌شود. با این حال، می‌تواند به عنوان یک منبع همراه و مکمل برای دانشجویان پیشرفته‌ی کارشناسی که به مباحث احتمال در فضاهای متریک علاقه دارند، بسیار مفید باشد.

تفاوت این کتاب با نسخه‌های جدیدتر در این زمینه چیست؟

این کتاب یک اثر کلاسیک است که بر پایه‌های نظری و اثبات‌های بنیادین متمرکز شده است. در حالی که کتاب‌های جدیدتر ممکن است به کاربردها یا حوزه‌های خاص‌تری بپردازند، این اثر به دلیل دقت، جامعیت و ارائه‌ی منسجم اصول پایه، هنوز هم به عنوان یک مرجع بی‌نظیر در این حوزه شناخته می‌شود و دیدگاه بنیادینی را ارائه می‌دهد که مطالعه‌ی آن برای درک عمیق این شاخه از ریاضیات ضروری است.

آیا کتاب به کاربردهای عملی در آمار نیز پرداخته است؟

بله. در فصل پایانی کتاب، معیارهای فشردگی برای مجموعه‌های اندازه‌های احتمالاتی و کاربرد آن‌ها در آزمون فرضیه‌های آماری مورد بحث قرار گرفته است. همچنین، قضیه‌ی گلوننکو-کانتلی که در کتاب به اثبات رسیده، از مبانی نظری آمار ناپارامتری محسوب می‌شود.

Having been out of print for over 10 years, the AMS is delighted to bring this classic volume back to the mathematical community. With this fine exposition, the author gives a cohesive account of the theory of probability measures on complete metric spaces (which he views as an alternative approach to the general theory of stochastic processes). After a general description of the basics of topology on the set of measures, he discusses regularity, tightness, and perfectness of measures, properties of sampling distributions, and metrizability and compactness theorems. Next, he describes arithmetic properties of probability measures on metric groups and locally compact abelian groups. Covered in detail are notions such as decomposability, infinite divisibility, idempotence, and their relevance to limit theorems for "sums" of infinitesimal random variables. The book concludes with numerous results related to limit theorems for probability measures on Hilbert spaces and on the spaces $C[0,1]$. The Mathematical Reviews comments about the original edition of this book are as true today as they were in 1967. It remains a compelling work and a priceless resource for learning about the theory of probability measures. The volume is suitable for graduate students and researchers interested in probability and stochastic processes and would make an ideal supplementary reading or independent study text.

In this book, the author gives a cohesive account of the theory of probability measures on complete metric spaces (which is viewed as an alternative approach to the general theory of stochastic processes). After a general description of the basics of topology on the set of measures, the author discusses regularity, tightness, and perfectness of measures, properties of sampling distributions, and metrizability and compactness theorems. Next, he describes arithmetic properties of probability measures on metric groups and locally compact abelian groups. Covered in detail are notions such as decomposability, infinite divisibility, idempotence, and their relevance to limit theorems for sums of infinitesimal random variables. The book concludes with numerous results related to limit theorems for probability measures on Hilbert spaces and on the space of continuous functions on an interval. This book is suitable for graduate students and researchers interested in probability and stochastic processes and would make an ideal supplementary reading or independent study text.

Parthasarathy builds far in advance of the general theory of stochastic processes as the theory of probability measures in complete separable metric spaces. He begins with the Borel subsets of a metric space and proceeds to explain probability measures in a metric space, probability measures in a metric group, probability measures in locally compact abelian groups, the Kolmogorov consistency theorem and conditional probability, probability measures in a Hilbert space, and probability measures on C[0,1] and D[0,1]. Parthasarathy includes a comprehensive bibliography and bibliographic notes. Annotation 2006 Book News, Inc., Portland, OR (booknews.com)