Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа

Предисловие ......Page 7 1.1. Последовательность, предел последовательности ......Page 10 1.2. Предел функции, теоремы о пределах ......Page 17 Упражнения ......Page 22 2.1. Непрерывность функции ......Page 23 2.2. Теоремы о непрерывных функциях ......Page 28 Упражнения ......Page 34 3.1. Производная ......Page 35 3.2. Дифференциал ......Page 43 3.3. Производные высших порядков ......Page 45 Упражнения ......Page 46 4.1. Теоремы Ферма и Дарбу ......Page 48 4.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши ......Page 52 Упражнения ......Page 58 5.1. Изменения функции, экстремумы ......Page 59 5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции ......Page 69 5.3. Выпуклость функции, точки перегиба ......Page 72 5.4. Раскрытие неопределенностей ......Page 79 Упражнения ......Page 83 6.1. Предел функции ......Page 84 6.2. Непрерывность функции ......Page 89 Упражнения ......Page 94 7.1. Частные производные, дифференцируемость, полный дифференциал ......Page 95 7.2. Частные производные высших порядков ......Page 113 7.3. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения ......Page 116 7.4. Неявные функции, производные неявных функций ......Page 124 Упражнения ......Page 138 8.1. Первообразная и неопределенный интеграл ......Page 139 8.2. Определение и существование определенного интеграла ......Page 142 8.3. Свойства определенного интеграла ......Page 151 8.4. Вычисление определенных интегралов ......Page 157 Упражнения ......Page 164 9.1. Площадь фигуры ......Page 166 9.2. Объем тела ......Page 186 9.3. Длина кривой ......Page 200 Упражнения ......Page 207 10.1. Основные свойства сходящихся рядов ......Page 208 10.2. Сходимость рядов с неотрицательными членами ......Page 211 10.3. Сходимость произвольных рядов ......Page 231 10.4. Теоремы о сходящихся рядах ......Page 237 10.5. Бесконечные произведения ......Page 242 Упражнения ......Page 246 11.1. Равномерная сходимость последовательности и ряда ......Page 248 11.2. Свойства предельной функции последовательности и суммы ряда ......Page 262 11.3. Степенные ряды ......Page 288 Упражнения ......Page 301 12.1. Несобственные интегралы на бесконечных промежутках ......Page 302 12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций ......Page 316 12.3. Преобразование несобственных интегралов ......Page 326 Упражнения ......Page 334 13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра ......Page 335 13.2. Равномерная сходимость интегралов ......Page 350 13.3. Свойства равномерно сходящихся интегралов ......Page 367 Упражнения ......Page 386 14.1. Криволинейные интегралы первого рода ......Page 388 14.2. Криволинейные интегралы второго рода ......Page 399 Упражнения ......Page 422 15.1. Определение и свойства двойных интегралов ......Page 423 15.2. Переход от двойного интеграла к повторному ......Page 431 15.3. Формула Грина ......Page 437 15.4. Замена переменных в двойных интегралах ......Page 442 Упражнения ......Page 447 16.1. Двусторонние поверхности ......Page 448 16.2. Площадь поверхности ......Page 457 16.3. Поверхностные интегралы первого рода ......Page 467 16.4. Поверхностные интегралы второго рода ......Page 471 Упражнения ......Page 481 17.1. Определение и свойства тройных интегралов ......Page 483 17.2. Переход от тройного интеграла к повторному ......Page 487 17.3. Формула Гаусса-Остроградского ......Page 493 17.4. Замена переменных в тройных интегралах ......Page 498 Упражнения ......Page 503 18.1. Примеры разрывных и непрерывных функций ......Page 504 18.2. Примеры несуществования и существования производной ......Page 509 18.3. Фракталы и построение примеров функций ......Page 517 Ответы ......Page 529 Список литературы ......Page 533 Указатель избранных примеров и контрпримеров ......Page 534