Primenenie kvaternionov v komp'yuternoj geometrii i grafike

СОДЕРЖАНИЕ......Page 3 ВВЕДЕНИЕ......Page 6 1.1. Многообразия......Page 8 1.2. Гладкие многообразия......Page 10 1.3. Явное описание гладких многообразий......Page 13 1.4. Неявное описание гладких многообразий......Page 15 1.5. Группы......Page 17 1.6. Гомоморфизм групп......Page 19 1.7. Изоморфизм групп......Page 21 1.8. Подгруппы......Page 23 1.9. Группы Ли......Page 24 1.10. Однопараметрические подгруппы группы Ли......Page 26 1.11. Действие группы на многообразие......Page 27 1.12. Орбиты......Page 28 1.13. Группы преобразований......Page 30 1.14. Гомотопии кривых......Page 32 2.1. Определение кватерниона......Page 35 2.2. Линейные операции над кватернионами......Page 36 2.3. Умножение кватернионов......Page 37 2.4. Сопряженные кватернионы......Page 40 2.5. Скалярное произведение кватернионов......Page 41 2.6. Норма кватерниона......Page 42 2.7. Обратные кватернионы......Page 43 2.8. Ортогональные кватернионы......Page 46 2.9. Векторное произведение кватернионов......Page 47 2.10. Группа единичных кватернионов......Page 50 2.11. Ортогональные единичные кватернионы......Page 53 2.12. Дифференцирование кватернионов по параметру......Page 55 3.1. Матричная группа SO(3, R)......Page 62 3.2. Автоморфизмы сферы......Page 65 3.3. Геометрическое построение поворота......Page 66 3.4. Представление поворотовматрицами группы SO(3, R)......Page 68 3.5. Собственные векторы и значения поворотов......Page 72 3.6. Матричная группа SU(2)......Page 75 3.7. Спин матрицы Паули......Page 77 3.8. Представление поворотовматрицами группы SU(2)......Page 78 3.9. Параметры Кэли – Клейна......Page 80 3.10. Гомоморфизм между группами SU(2) и SO(3, R)......Page 81 3.11. Представление поворотовединичными кватернионами......Page 87 3.12. Гомоморфизм между группой SO(3, R)и группой единичных кватернионов......Page 88 3.13. Геометрический смысл единичных кватернионов......Page 90 4.1. Ориентация......Page 94 4.2. Вектор конечного поворота......Page 96 4.3. Параметры Родрига......Page 99 4.4. Параметры Эйлера......Page 102 4.5. Композиция векторов конечных поворотов......Page 104 4.6. Касательные векторы......Page 106 5.1. Определение сферы S2......Page 112 5.2. Касательная плоскость......Page 113 5.3. Плоские сечения......Page 114 5.4. Геодезические линии на сфере......Page 117 5.5. Орбиты поворотов......Page 121 5.6. Действие поворотов на сферу S2......Page 122 5.7. Параметризованные дуги окружностей......Page 123 6.1. Определение сферы S3......Page 126 6.2. Касательная плоскость......Page 127 6.3. Плоские сечения......Page 128 6.4. Геодезические линии на сфере......Page 130 6.5. Орбиты поворотов......Page 134 6.6. Действие поворотов на сферу S3......Page 138 6.7. Параметризованные дугибольших окружностей......Page 139 6.8. Параметризованные дуги малых окружностей......Page 141 7.1. Полиномы Бернштейна......Page 145 7.2. Дифференцирование полиномов Бернштейна......Page 148 7.3. Интегрирование полиномов Бернштейна......Page 150 7.4. Полиномиальный базис......Page 152 7.5. Сглаживающие полиномы......Page 156 7.6. Дифференцирование сглаживающих полиномов......Page 159 7.7. Оптимальные свойства сглаживающих полиномов......Page 162 7.8. Смешение параметризованных кривыхна группе Ли......Page 167 7.9. Смешение параметризованных кривыхна гладких многообразиях......Page 171 7.10. Построение сплайновых кривыхна гладких многообразиях......Page 172 8.1. Постановка задачи построения сплайн-кривойна сфере......Page 175 8.2. Построение дуг малых окружностей по точкам......Page 176 8.3. Смешение дуг окружностей......Page 180 8.4. Построение сплайновой кривой на сфере......Page 183 8.5. Постановка задачи сглаживания ломаной линиина сфере......Page 186 8.6. Построение дуг больших окружностей по точкам......Page 187 8.7. Сглаживание дуг окружностей......Page 188 8.8. Сглаживание углов ломаной линии на сфере......Page 192 Глава 9. МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНОВЫХ КРИВЫХНА СФЕРЕ S3......Page 195 9.2. Построение дуг малых окружностейпо ориентациям......Page 196 9.3. Смешение ориентационных дуг......Page 200 9.4. Построение ориентационной сплайновой кривой......Page 204 9.5. Постановка задачи сглаживанияориентационной ломаной линии......Page 207 9.6. Построение дуг больших окружностейпо ориентациям......Page 208 9.7. Сглаживание ориентационных дуг......Page 209 9.8. Сглаживание углов ориентационнойломаной линии......Page 214 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ......Page 217 БИБЛИОГРАФИЧЕКСКИЕ ССЫЛКИ......Page 219