Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker

426 man fordert also Anfangs- und Endordinate der Lösung y (x) im Inter­ vall (a, b), Abb. 112. An Stelle der Randordinaten (sogenannte erste Randwertaufgabe) lassen sich auch die Randsteigungen y' (a), y' (b) . Y fordern (zweite Randwertaufgabe) oder schließ­ lich eine Linearkombination zwischen Ordinaten und Steigungen (dritte Randwertaufgabe). Alle jl diese Aufgaben oder auch ihre Kombinationen treten in den Anwendungen auf. . :c Ähnlich wie bei der Anfangswertaufgabe wird Abb. 112 Zur Randwertaufgabe man bei formelmäßiger Lösung versuchen, die in der allgemeinen Lösung enthaltenen freien Integratlonskonstanten aus den beiden Randbedingungen zu bestimmen und so die fragliche Sonderlösung y(x) festzulegen. Prinzipiell scheint sich gegenüber der Anfangswertaufgabe damit kaum etwas geändert zu haben. Bei der Durchführung derartiger Aufgaben aber zeigt sich sehr bald, daß sie im Gegensatz zur Anfangswertaufgabe nicht mehr in jedem Falle lösbar sind. Es treten hier also neue charakteristische Schwierigkeiten auf, zu deren Überwindung besondere Überlegungen notwendig werden. Aber auch die Behandlungsmethoden, insbesondere die uns vornehmlich interessierenden Näherungsverfahren, sind von denen der Anfangswertaufgaben grundverschieden, so daß wir es hier in der Tat mit einem neuen und im übrigen höchst reizvollen Gebiet der praktischen Mathematik zu tun haben, bei dem auch theoretische Fragen mehr als bisher in den Vordergrund treten werden. Die charakteristische Schwierigkeit des Randwertproblems sei an folgendem einfachen Beispiel erläutert. 1. Beispiel: Gegeben sei die - lineare - Differentialgleichung y" + y = 0 mit den Randbedingungen y(O) = 1, y(2) = O. Front Matter....Pages I-XV Einführung. Hilfsmittel....Pages 1-5 Gleichungen....Pages 5-90 Lineare Gleichungen und Matrizen....Pages 90-188 Interpolation und Integration....Pages 189-244 Statistik und Ausgleichsrechnung....Pages 244-319 Darstellung willkürlicher Funktionen....Pages 319-365 Differentialgleichungen: Anfangswertaufgaben....Pages 366-425 Differentialgleichungen. Rand- und Eigenwertaufgaben....Pages 425-535 Back Matter....Pages 536-542