Partielle Differential-gleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die moderne Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Leser wird zu den wichtigen Methoden und den wesentlichen Aussagen in diesem Bereich hingeführt, wobei der Schwerpunkt auf den elliptischen partiellen Differentialgleichungen liegt. Ausgehend von der Laplace-Gleichung (harmonische Funktionen) entwickelt der Autor systematische Techniken, die auch auf größere Klassen von Differentialgleichungen, und hier insbesondere auch auf nichtlineare Differentialgleichungen, anwendbar sind. Zur Veranschaulichung wurden zahlreiche Übungsaufgaben aufgenommen. Das Buch richtet sich vor allem an Studenten der Mathematik im Hauptstudium, kann aber für interessierte Studenten auch gegebenenfalls schon ab dem dritten Semester verwendet werden. Front Matter....Pages I-XI Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?....Pages 1-7 Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung....Pages 9-32 Das Maximumprinzip....Pages 33-51 Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen....Pages 53-78 Existenzverfahren II: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung....Pages 79-108 Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung....Pages 109-120 Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung....Pages 121-150 Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren III)....Pages 151-176 Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie....Pages 177-208 Starke Lösungen....Pages 209-220 Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitätsmethode (Existenzverfahren IV)....Pages 221-240 Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz von de Giorgi und Nash....Pages 241-273 Back Matter....Pages 275-292 "This book is intended for students who wish to get an introduction to the theory of partial differential equations. The author focuses on elliptic equations and systematically develops the relevant existence schemes, always with a view toward nonlinear problems. These are maximum principle methods (particularly important for numerical analysis schemes), parabolic equations, variational methods, and continuity methods. This book also develops the main methods for obtaining estimates for solutions of elliptic equations: Sobolev space theory, weak and strong solutions, Schauder estimates, and Moser iteration. Connections between elliptic, parabolic, and hyperbolic equations are explored, as well as the connection with Brownian motion and semigroups. This book can be utilized for a one-year course on partial differential equations."--BOOK JACKET.