Parkettierungen der Ebene: Von Escher über Möbius zu Penrose (German Edition)

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.Der Inhalt Teil I: Escher über die Schultern gesehen- Teil II: Möbiusstransformationen - Teil III: PenroseparkettierungenDer Autor Prof. Dr. Ehrhard Behrends, Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathematik und Informatik, ist Autor zahlreicher mathematischer Lehrbücher und populärwissenschaftlicher Bücher. Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden. Der Inhalt Teil I: Escher über die Schultern gesehen- Teil II: Möbiusstransformationen - Teil III: Penroseparkettierungen Der Autor Prof. Dr. Ehrhard Behrends, Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathematik und Informatik, ist Autor zahlreicher mathematischer Lehrbücher und populärwissenschaftlicher Bücher. Front Matter ....Pages I-XI Einleitung (Ehrhard Behrends)....Pages 1-7 Front Matter ....Pages 9-9 Symmetrien und Fundamentalbereiche (Ehrhard Behrends)....Pages 11-26 Die diskontinuierlichen Symmetriegruppen der Ebene (Ehrhard Behrends)....Pages 27-102 Die Heesch-Konstruktionen (Ehrhard Behrends)....Pages 103-142 Back Matter ....Pages 143-144 Front Matter ....Pages 145-145 Möbiustransformationen (Ehrhard Behrends)....Pages 147-177 Gruppen von Möbiustransformationen (Ehrhard Behrends)....Pages 179-246 Back Matter ....Pages 247-248 Front Matter ....Pages 249-249 Penroseparkettierungen (Ehrhard Behrends)....Pages 251-280 Back Matter ....Pages 281-281 Back Matter ....Pages 283-285 Erganzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden koennen: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung kunstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann.