Optimisation convexe et inéquations variationnelles monotones (Mathématiques et Applications, 89) (French Edition)

De nombreux systèmes physiques, mécaniques, financiers et économiques peuvent être décrits par des modèles mathématiques qui visent à optimiser des fonctions, trouver des équilibres et effectuer des arbitrages. Souvent, la convexité des ensembles et des fonctions ainsi que les conditions de monotonie sur les systèmes d'inéquations qui régissent ces systèmes se présentent naturellement dans les modèles. C'est dans cet esprit que nous avons conçu ce livre en mettant l'accent sur une approche géométrique qui privilégie l'intuition par rapport à une approche plus analytique. Les démonstrations des résultats classiques ont été revues dans cette optique et simplifiées. De nombreux exemples d'applications sont étudiés et des exercices sont proposés. Ce livre s'adresse aux étudiants en master de mathématiques appliquées, ainsi qu'aux doctorants, chercheurs et ingénieurs souhaitant comprendre les fondements de l'analyse convexe et de la théorie des inéquations variationnelles monotones. Préface 7 Introduction 9 Table des matières 11 1 Ensembles et fonctions convexes 14 1.1 Ensembles convexes 14 1.1.1 Définitions 14 1.1.2 Théorème de Carathéodory 16 1.1.3 Topologie des ensembles convexes 19 1.1.4 Ensembles presque convexes 21 1.1.5 Cône de récession d'un ensemble convexe 22 1.1.6 Projection sur un convexe 24 1.1.7 Séparation de deux convexes 26 1.1.8 Théorèmes de type Helly 27 1.1.9 Points extrémaux, théorème de Minkowsky 29 1.2 Fonctions, continuité et convexité 30 1.2.1 Définitions et notations 30 1.2.2 Semi-continuité 31 1.2.3 Fonctions convexes, définition et premières propriétés 32 1.2.4 Fonctions convexes d'une variable réelle 35 1.2.5 Fonctions convexes de plusieurs variables 37 1.2.6 Normes vectorielles. 40 1.2.7 Fonctions de récession 41 1.3 Solutions optimales 42 1.3.1 Structure 42 1.3.2 Unicité 42 1.3.3 Existence 45 1.3.4 Forte convexité 46 1.3.5 Principe variationnel d'Ekeland 48 2 Dualité et Sous-Différentiabilité 50 2.1 La dualité sur les cônes convexes 50 2.1.1 Ensembles polaires et cônes duaux 50 2.1.2 La dualité sur les polyèdres convexes 52 2.2 La dualité sur les fonctions convexes 56 2.2.1 Fonctions convexes conjuguées 56 2.2.2 Fonctions indicatrice et support, cône barrière 58 2.2.3 Opérateurs d'aggrégation ordonnés 60 2.2.4 Analyse en composantes principales 61 2.2.5 Normes duales 62 2.2.6 Homogénéisation 63 2.3 Sous-différentiel d'une fonction convexe 64 2.4 Multiapplications : définition et continuité 65 2.4.1 Domaine du sous-différentiel 67 2.4.2 Continuité du sous-différentiel 69 2.4.3 Sous-différentiel et dérivées directionnelles 69 2.4.4 Fréchet différentiabilité des fonctions convexes 71 2.4.5 Monotonie et intégration convexe 73 3 Dualité, Lagrangien, Points de Selle 77 3.1 Dualité en optimisation convexe 77 3.1.1 Un schéma général de dualité 77 3.1.2 Cône normal 82 3.2 Sous-différentiel d'une somme 84 3.3 Conditions d'optimalité 86 3.3.1 Minimisation sous contraintes inégalités 86 3.3.2 Contraintes égalités et inégalités 87 3.3.3 Minimisation d'une fonction différentiable sur un convexe 90 3.4 Programmation linéaire 91 3.4.1 La dualité en programmation linéaire 91 3.4.2 Théorèmes d'alternatives, lemme de Farkas 92 3.5 Minimax et points de selle 94 3.5.1 Théorème du point de selle 94 3.5.2 Jeu à somme nulle 97 3.5.3 Théorème du minimax de Maurice Sion 99 3.5.4 Le modèle d'expansion économique de von Neumann 101 Exposé du modèle 101 Le problème primal et son dual 102 Interprétation économique 104 3.6 Inf-convolution et application proximale 105 3.6.1 Somme et Inf-convolution 105 3.6.2 Application proximale 108 3.6.3 Méthode proximale 110 3.7 Algorithmes de programmation linéaire 112 3.7.1 L'algorithme du simplexe 112 Interprétation du dual et étude de la sensibilité 115 3.7.2 L'algorithme de Karmarkar 117 Mise sous la forme canonique de Karmarkar d'un programme de programmation linéaire 118 La forme canonique 119 Convexité de la fonction potentielle 119 Le principe de l'algorithme 121 Recherche d'une direction de descente 123 Recherche linéaire 124 L'algorithme en résumé 127 4 Monotonie et maximale monotonie 129 4.1 Introduction aux inéquations variationnelles 129 4.2 Maximale monotonie 132 4.2.1 Maximalité et domaine 134 4.2.2 Maximalité locale 137 Retour sur l'application proximale et la projection 137 Densité 138 4.2.3 Bifunctions 142 4.2.4 Caractérisation de la maximale monotonie 143 4.2.5 Retour sur l'algorithme proximal 146 4.2.6 Maximalité d'une somme 148 4.2.7 Composition avec une application linéaire 151 4.2.8 Maximale monotonie : construction et existence 152 4.3 Cyclique Monotonie 153 4.3.1 Cyclique maximalité 155 5 Inéquations Variationnelles 157 5.1 Introduction 157 5.2 Inéquations variationnelles monotones 158 5.2.1 Existence de solutions 160 5.3 Quelques exemples 165 5.3.1 Optimisation convexe 166 5.3.2 Points de selle 167 5.3.3 Jeu bimatriciel, équilibre de Nash 167 5.4 Compléments sur l'ensemble solution 169 5.5 Problèmes d'équilibre monotones 173 6 Dualité et Inéquations Variationnelles 175 6.1 Un schéma général de dualité 175 6.2 Exemples 179 6.2.1 Composition avec une application linéaire 179 6.2.2 Somme de deux multiapplications 181 6.2.3 Comment traiter les contraintes? 183 Perturbation sur 184 Perturbation sur l'ensemble C 186 6.3 Problèmes de complémentarité. 188 6.3.1 Complémentarité linéaire 190 6.3.2 Quelques mots sur l'aspect algorithmique 192 Commentaires et notes bibliographiques 193 References 195 References 195 Notations 200 Notations 200 Index 203