Общее уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу и гиперболические B-потенциалы

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Глава 1. Классы функций иоператоры преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.1. Гамма-функция, бета-функция, символ Похгаммера и функция ошибок . . . . . . . 163 1.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1.3. Функции гипергеометрического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2. Классы функций ,оператор Пуассона и преобразование Ханкеля . . . . . . . . . . . . . 167 2.1. Пространства Cm ev, Lγp и Sev. Весовые обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . 167 2.2. Оператор преобразования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.3. Преобразование Ханкеля и обобщение пространства Лизоркина—Самко . . . . . . 173 2.4. Дробные интегралы и производные Римана—Лиувилля и Лиувилля . . . . . . . . . 175 3. Обобщенный сдвиг и весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.1. Обобщенныйс двиг и обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.2. Интегралы по части сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.3. Весовое сферическое среднее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Глава 2. Весовые обобщенные функции, связанные с квадратичными формами . . . . . . . 193 4. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . . . 193 4.1. B-ультрагиперболический оператор и квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . 193 4.2. Весовая обобщенная функции, сосредоточенная на части конуса . . . . . . . . . . . 194 4.3. Представления производных весовойобоб щеннойф ункции δγ(P) . . . . . . . . . . 196 5. Весовые обобщенные функции, реализующие степени квадратичных форм . . . . . . . . 200 5.1. Весовые обобщенные функции Pλ γ,± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.2. Весовые обобщенные функции Pλ γ и (P ± i0)λγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6. Другие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . . . . 211 6.1. Функции (w2 − |x|2)λ +,γ и (c2 + P ± i0)λγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.2. Общие весовые обобщенные функции, связанные с квадратичнойфо рмой . . . . . 212 7. Преобразование Ханкеля весовых обобщенных функций, связанных с квадратичной формой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.1. Преобразование Ханкеля функций Pλ γ , (P ± i0)λγ и Pλ γ,± . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2. Преобразование Ханкеля функций (w2 − |x|2)λ +,γ и (c2 + P ± i0)λγ . . . . . . . . . . 215 Глава 3. Гиперболические B-потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8. Ограниченность гиперболического B-потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.1. Краткая история теории потенциалов как дробных степеней операторов . . . . . . . 219 8.2. Определения гиперболических B-потенциалов и их абсолютная сходимость . . . . 222 8.3. Ограниченность, полугрупповые свойства гиперболического B-потенциала . . . . . 224 9. Свойства гиперболических B-потенциалов и примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.1. Полугрупповые свойства гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . 230 9.2. Примеры гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10. Обращение гиперболических B-потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.1.Метод аппроксимативных обратных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.2.Общее ядро Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.3.Представление ядра ∓gα ε,δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.4. Теоремы об обращении гиперболического B-потенциала Рисса . . . . . . . . . . . . 250 11. Гиперболический B-потенциал Рисса и его аналитическое продолжение . . . . . . . . . 252 11.1.Замена переменных в пространстве Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11.2.Тождественный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.3. Аналитическое продолжение гиперболического B-потенциала Рисса Iα γ . . . . . . 261 11.4.Примеры гиперболических B-потенциалов Рисса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Глава 4. Методы решения гиперболических уравнений соператором Бесселя . . . . . . . . 270 12. B-ультрагиперболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 12.1. Фундаментальное решение итерированного B-ультрагиперболического уравнения . 273 12.2.B-ультрагиперболическое уравнение и обобщение теоремы Асгейрссона . . . . . . 274 13. Общее уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 13.1.Метод операторов преобразования решения задачи Коши для общего уравнения Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 13.2.Преобразования Ханкеля и задача Коши для общего уравнения Эйлера— Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 13.3.Метод спуска для общего уравнения Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . 288 13.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 14. Уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром . . . . . . . . . . . . 298 14.1. Решение задачи Коши для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным параметром применением преобразования Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 14.2. Классическое решение уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу со спектральным па- раметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 14.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 15. Метод потенциалов Рисса решения неоднородных уравненийтип а Эйлера—Пуассона— Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 15.1.Общее неоднородное уравнение Эй лера—Пуассона—Дарбу . . . . . . . . . . . . . . 309 15.2.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Список литературы . . .