Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis, 4. Auflage

Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher Form die grundlegenden Themen der Numerischen Mathematik. Es vermittelt ein solides Basiswissen der wichtigen Algorithmen und dazugehörigen Fehler- und Aufwandsbetrachtungen, das zur Lösung von zahlreichen in der Praxis auftretenden mathematischen Problemstellungen benötigt wird. Die vorangestellten Resultate werden mit elementaren Methoden hergeleitet. Für die meisten der vorgestellten Verfahren werden Pseudo-Codes angegeben, die sich unmittelbar in Computerprogramme umsetzen lassen. Mit 150 Übungsaufgaben und weiterführenden Literaturhinweisen ist das Buch für das Selbststudium geeignet. Zahlreiche Abbildungen und übersichtliche Schemata erleichtern dabei das Lernen. Der das Buch ergänzende Online-Service bietet zusätzliche Informationen und Lösungshinweise. Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für zwei jeweils vierstündige einführende Numerikvorlesungen verwendbar. In der vorliegenden vierten Auflage sind Aktualisierungen, Korrekturen und stilistische Änderungen vorgenommen worden, zudem werden einige Abschnitte zur diskreten Fouriertransformation inhaltlich neu präsentiert. Interpolation, diskrete Fouriertransformation, Integration - Direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme - Iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme - Numerische Behandlung von Anfangs- und Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen - Störungstheorie und numerische Verfahren für Eigenwertprobleme bei Matrizen - Approximationstheorie sowie Rechnerarithmetik - Studierende der Mathematik und benachbarter Fächer an Universitäten und Fachhochschulen - Mathematiker, Informatiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure in Industrie und Wirtschaft und an Forschungsinstituten Dr. Robert Plato war Dozent am Institut für Mathematik der TU Berlin und der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Nach einer mehrjährigen Tätigkeit als verantwortlicher Lektor im Bereich Mathematik/ Cover......Page 1 Numerische Mathematik kompakt, 4. Auflage......Page 3 Vorwort zur ersten Auflage......Page 5 Inhaltsverzeichnis......Page 8 1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen, landausche Symbole......Page 17 1.1.1 Landausche Symbole......Page 18 1.2.1 Die lagrangesche Interpolationsformel......Page 19 1.2.2 Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms......Page 20 1.3 Neville-Schema......Page 21 1.4 Die newtonsche Interpolationsformel, dividierte Di.erenzen......Page 23 1.5 Fehlerdarstellungen zur Polynominterpolation......Page 26 1.6 Tschebysche.-Polynome......Page 29 Übungsaufgaben......Page 34 2.1 Einführende Bemerkungen......Page 37 2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen......Page 38 2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen......Page 39 2.4.1 Vorüberlegungen......Page 41 2.4.3 Vollständige Randbedingungen......Page 44 2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines......Page 45 2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines......Page 46 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 51 Übungsaufgaben......Page 52 3.1 Diskrete Fouriertransformation......Page 54 3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation......Page 55 3.2.1 Fourierreihen......Page 56 3.2.2 Zusammenhang zwischen komplexen Fourierkoe.zienten und der diskreten Fouriertransformation......Page 57 3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 1......Page 58 3.2.5 Trigonometrische Interpolation, Teil 3......Page 59 3.2.6 Interpolierende reelle trigonometrische Polynome......Page 61 3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang......Page 63 3.3.3 Bit-Umkehr......Page 65 3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q......Page 66 3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus......Page 68 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 69 Übungsaufgaben......Page 70 4.1.1 Obere gesta.elte Gleichungssysteme......Page 73 4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme......Page 74 4.2.1 Einführende Bemerkungen......Page 75 4.3 Die Faktorisierung PA = LR......Page 78 4.3.1 Permutationsmatrix......Page 79 4.3.2 Eliminationsmatrizen......Page 81 4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR......Page 83 4.4 LR -Faktorisierung......Page 86 4.5.1 Grundbegriffe......Page 87 4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung A = LL> für positiv definite Matrizen A E RNxN......Page 90 4.5.3 Eine Klasse positiv de.niter Matrizen......Page 91 4.6 Bandmatrizen......Page 92 4.7 Normen und Fehlerabschätzungen......Page 93 4.7.1 Normen......Page 94 4.7.2 Spezielle Matrixnormen......Page 97 4.7.4 Störungsresultate für Matrizen......Page 101 4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme......Page 103 4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen......Page 104 4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisierung......Page 105 Vorüberlegungen......Page 107 Triangulierung mittels Householder-Transformationen......Page 109 4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung......Page 110 Übungsaufgaben......Page 112 5.1 Vorbemerkungen......Page 118 5.2.1 Ein allgemeines Resultat......Page 119 5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall......Page 120 5.3 Der banachsche Fixpunktsatz......Page 122 5.4 Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall......Page 124 5.4.1 Einige Begri.e aus der Analysis......Page 125 5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz......Page 126 5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen......Page 128 Weitere Themen und LiteraturhinweiseDie......Page 132 Übungsaufgaben......Page 133 6 Numerische Integration von Funktionen......Page 136 6.1 Interpolatorische Quadraturformeln......Page 137 6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln......Page 138 6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln......Page 140 6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur......Page 141 6.4 Der Genauigkeitsgrad abgeschlossener Newton-CotesFormeln In für gerade Zahlen n......Page 144 6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15......Page 146 6.5 Summierte Quadraturformeln......Page 148 6.5.1 Summierte Rechteckregeln......Page 149 6.5.2 Summierte Trapezregel......Page 150 6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel......Page 151 6.7.1 Grundidee......Page 152 6.7.2 Neville-Schema......Page 153 6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation......Page 154 6.8.1 Einleitende Bemerkungen......Page 156 6.8.2 Orthogonale Polynome......Page 157 6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte......Page 160 6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte......Page 163 6.9.1 Bernoulli-Polynome......Page 165 6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22......Page 167 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 168 Übungsaufgaben......Page 169 7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz......Page 170 7.2 Theorie der Einschrittverfahren......Page 172 7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation......Page 174 7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1......Page 175 7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2......Page 176 7.4 Rundungsfehleranalyse......Page 178 7.5.1 Einführende Bemerkungen......Page 180 7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 1. Teil......Page 181 7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 2. Teil......Page 183 7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers......Page 185 7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren......Page 186 7.7.1 Verfahrensvorschrift......Page 189 7.7.2 Problemstellung......Page 190 7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h (k)......Page 191 7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h.(k+1)/ im Fall i.(k) >e"......Page 192 Weitere Themen und LiteraturhinweiseDie......Page 193 Übungsaufgaben......Page 194 8.1.1 Mehrschrittverfahren......Page 197 8.1.2 Konvergenz-und Konsistenzordnung......Page 198 8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung......Page 199 8.2.1 Das Konvergenztheorem......Page 200 8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall......Page 203 8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A2 ,A3,.........Page 205 8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren......Page 206 8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren – Vorbereitungen......Page 208 8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren......Page 211 8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren......Page 215 8.5.1 Der Ansatz......Page 216 8.5.2 Nyström-Verfahren......Page 217 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren......Page 218 8.6 BDF-Verfahren......Page 220 8.6.1 Der Ansatz......Page 221 8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren......Page 223 8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor......Page 227 8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichungen......Page 228 8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung Lu = 0......Page 230 8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung Lu = 0......Page 234 8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung......Page 235 8.9.1 Einführende Bemerkungen......Page 238 8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft......Page 239 8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen......Page 243 8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen......Page 245 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 246 Übungsaufgaben......Page 247 9.1.1 Problemstellung......Page 251 9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung......Page 252 9.2.1 Numerische Differenziation......Page 254 9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren......Page 255 9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren......Page 256 9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.10......Page 258 9.3 Galerkin-Verfahren......Page 263 9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators Lu = -un + ru......Page 264 9.3.3 Galerkin-Verfahren – ein allgemeiner Ansatz......Page 267 9.3.4 Systemmatrix......Page 271 9.3.5 Finite-Elemente-Methode......Page 272 9.3.6 Anwendungen......Page 273 9.3.7 Das Energiefunktional......Page 275 9.4 Einfachschießverfahren......Page 277 9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-Verfahren......Page 278 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 279 Übungsaufgaben......Page 280 10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungssystemen......Page 284 10.2 Lineare Fixpunktiteration......Page 285 10.2.1 Ein Modellbeispiel......Page 287 10.3.1 Irreduzible Matrizen......Page 289 10.4 Das Gesamtschrittverfahren......Page 291 10.5.1 Der Betrag einer Matrix......Page 294 10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren......Page 295 10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate......Page 297 10.6.1 M-Matrizen......Page 300 10.7 Das Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen......Page 301 Übungsaufgaben......Page 307 11.1 Vorbetrachtungen......Page 312 11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums für positiv definite Matrizen......Page 313 11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft......Page 314 11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene Akonjugierte Basen......Page 315 11.3.2 Die Berechnung A-konjugierter Suchrichtungen in K n.(A , b)......Page 317 11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren......Page 319 11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens......Page 320 11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen......Page 323 11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren......Page 324 11.6.2 Arnoldi-Prozess......Page 325 11.7.1 Einführende Bemerkungen......Page 328 11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.32)......Page 329 11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.32)......Page 330 11.7.4 Matlab-Programm für GMRES......Page 332 11.9 Nachtrag 1: Krylovräume......Page 334 11.10 Nachtrag 2: Interaktive Programmsysteme mit Multifunktionalität......Page 335 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 336 Übungsaufgaben......Page 337 12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen......Page 339 12.2.2 Der allgemeine Fall......Page 341 12.3 Lokalisierung von Eigenwerten......Page 343 12.4 Variationsformulierung für Eigenwerte von symmetrischen Matrizen......Page 346 12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen......Page 348 12.6.3 Schur-Faktorisierung......Page 349 Übungsaufgaben......Page 350 13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen......Page 353 13.1.2 Vektoriteration......Page 354 13.2.1 Householder-Ähnlichkeitstransformationen zur Gewinnung von Hessenbergmatrizen......Page 355 13.2.2 Der symmetrische Fall......Page 357 13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman......Page 358 13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler Matrizen......Page 360 13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge......Page 362 13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge......Page 363 Das klassische Jacobi-Verfahren......Page 366 Das zyklische Jacobi-Verfahren......Page 367 13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der QR -Faktorisierung einer Matrix......Page 368 13.5.2 De.nition des QR -Verfahrens......Page 371 13.5.3 Konvergenz des QR -Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte......Page 372 13.5.4 Praktische Durchführung des QR -Verfahrens für Hessenbergmatrizen......Page 375 13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration......Page 380 13.7.2 Spezielle Vektoriterationen......Page 382 Übungsaufgaben......Page 383 14.1 Einführende Bemerkungen......Page 386 14.2 Peano-Kerne......Page 387 14.3.1 Interpolation......Page 389 Übungsaufgaben......Page 390 15.1 Einführende Bemerkungen......Page 392 15.2 Existenz eines Proximums......Page 393 15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen......Page 395 15.3.2 Strikt normierte Räume......Page 396 15.4.1 Einige Grundlagen......Page 398 15.4.2 Proxima in linearen Unterräumen......Page 400 15.5 Gleichmäßige Approximation stetiger Funktionen durch Polynome vom Höchstgrad n 1......Page 402 15.6.2 Eine erste Anwendung des Alternantensatzes......Page 405 15.6.3 Eine zweite Anwendung des Alternantensatzes......Page 406 15.7 Haarsche Räume, Tschebysche.-Systeme......Page 407 15.7.1 Alternantensatz für haarsche Räume......Page 408 15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand......Page 409 Übungsaufgaben......Page 410 16.1 Zahlendarstellungen......Page 412 16.2.1 Grundlegende Begriffe......Page 413 16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F......Page 414 16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F......Page 416 16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE 754......Page 417 16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis......Page 419 16.4.1 Runden......Page 420 16.4.2 Abschneiden......Page 422 16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen......Page 423 16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Multiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen......Page 424 16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Additionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F......Page 426 Weitere Themen und Literaturhinweise......Page 428 Literaturverzeichnis......Page 429 A......Page 435 E......Page 436 G......Page 437 L......Page 438 M......Page 439 P......Page 440 S......Page 441 Z......Page 442 Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und ?bersichtlicher Form die grundlegenden Themen der Numerischen Mathematik. Es vermittelt ein solides Basiswissen der wichtigen Algorithmen und dazugeh?rigen Fehler- und Aufwandsbetrachtungen, das zur L?sung von zahlreichen in der Praxis auftretenden mathematischen Problemstellungen ben?tigt wird. L?sungen findet man in dem zugeh?rigen ?bungsbuch. Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage f?r zwei jeweils vierst?ndige einf?hrende Numerikvorlesungen verwendbar. Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher Form die grundlegenden Themen der Numerischen Mathematik. Es vermittelt ein solides Basiswissen der wichtigen Algorithmen und dazugehörigen Fehler- und Aufwandsbetrachtungen, das zur Lösung von zahlreichen in der Praxis auftretenden mathematischen Problemstellungen benötigt wird. Lösungen findet man in dem zugehörigen Übungsbuch. Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für zwei jeweils vierstündige einführende Numerikvorlesungen verwendbar.