Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen : Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Ingenieure

Das Lehrbuch vermittelt die Herleitung numerischer Algorithmen zur Lösung von Differenzialgleichungen und gibt einen Einblick in die praktische Implementierung. Anhand von Beispielen und Übungsaufgaben mit Problemstellungen aus dem Ingenieurbereich werden Eigenschaften und Einsatzbereiche der verschiedenen Verfahren erläutert. Für die Beispiele und Aufgaben stehen MAPLE-Worksheets und MATLAB-Scripte zur Verfügung, die von der Webseite www.imathonline.de/revokos/ heruntergeladen werden können. Hat man MAPLE oder MATLAB zur Verfügung, können die Ergebnisse der Beispiele und Aufgaben nachvollzogen oder auch Änderungen in den Programmen ausgeführt werden. Die vierte Auflage liegt nun in durchgesehener und verbesserter Version vor, die Worksheets wurden an die aktuelle Version von MAPLE angepasst, die MATLAB-Scripte wurden neu mit aufgenommen. Das Buch wendet sich an Studierende in allen Ingenieurfächern und in den Naturwissenschaften. Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 7 1 Einleitung 11 1.1 Modellierungsfehler, Approximationsfehler und Rundungsfehler 12 1.2 Struktogramme 17 1.3 Arbeiten mit den Rechenprogrammen 22 Literatur 23 2 Numerische Integration und Differenziation 24 2.1 Die zwei Ideen 28 2.2 Der Taylor-Abgleich 34 2.3 Summierte Mittelwertformeln 39 2.4 Die Gaußschen Integrationsformeln 44 2.5 Adaptivität und Fehlerextrapolation 48 2.6 Numerische Differenziation 54 2.7 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 61 2.8 Beispiele und Aufgaben 62 Literatur 63 3 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen 64 3.1 Das Euler-Cauchy-Verfahren 70 3.2 Stabilität, Konsistenz und Konvergenz 81 3.3 Mehrschrittverfahren 90 3.4 Runge-Kutta-Verfahren 96 3.5 Extrapolationsverfahren 102 3.6 Schrittweitenkontrolle und Fehlerschätzer 104 3.7 Systeme von Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungen höherer Ordnung 106 3.8 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 110 3.9 Beispiele und Aufgaben 112 Literatur 116 4 Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen 118 4.1 Vorbemerkungen und Begriffsbestimmungen 118 4.2 Schießverfahren 122 4.3 Differenzenverfahren 128 4.4 Differenzenformeln mit Ableitungen 133 4.5 Methode der gewichteten Residuen 137 4.6 Das Ritzsche Verfahren 143 4.7 Die Finite-Elemente-Methode 148 4.8 Eigenwertproblem 164 4.9 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 171 4.10 Beispiele und Aufgaben 172 Literatur 177 5 Grundlagen der partiellen Differenzialgleichungen 178 5.1 Klassifizierung der partiellen Differenzialgleichungen 2.Ordnung 179 5.2 Elliptische Differenzialgleichungen 2.Ordnung 182 5.3 Parabolische Differenzialgleichungen 2.Ordnung 188 5.4 Hyperbolische Differenzialgleichungen 2.Ordnung 192 5.5 Evolutionsgleichungen 197 5.6 Erhaltungsgleichungen 204 5.7 Anwendungen 210 5.8 Bemerkungen 218 5.9 Beispiele und Aufgaben 219 Literatur 227 6 Grundlagen der numerischen Verfahren für partielle Differenzialgleichungen 229 6.1 Konsistenz, Stabilität und Konvergenz 229 6.2 Die Diskretisierung des Rechengebietes 233 6.3 Bemerkungen 238 Literatur 239 7 Differenzenverfahren 240 7.1 Elliptische Differenzialgleichungen 243 7.2 Parabolische Differenzialgleichungen 256 7.3 Hyperbolische Differenzialgleichungen 268 7.4 Verfahren auf randangepassten Gittern 283 7.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 287 7.6 Beispiele und Aufgaben 289 Literatur 292 8 Finite-Elemente-Methode 294 8.1 Triangulierung mit linearen Basisfunktionen 297 8.2 Triangulierung mit linearen Elementfunktionen 304 8.3 Rechteckzerlegung mit bilinearen Elementen 307 8.4 Triangulierung mit quadratischen Elementen 310 8.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 318 8.6 Beispiele und Aufgaben 320 Literatur 322 9 Finite-Volumen-Verfahren 323 9.1 Lineare Transportgleichungen 328 9.2 Skalare Erhaltungsgleichungen 337 9.3 Systeme von Erhaltungsgleichungen 343 9.4 Erhaltungsgleichungen in mehreren Raumdimensionen 347 9.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 348 9.6 Beispiele und Aufgaben 350 Literatur 355 A Interpolation 356 A.1 Die Interpolationsformel von Lagrange 358 A.2 Die Interpolationsformel von Newton 361 A.3 Spline-Interpolation 366 A.4 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 368 B Lösen nichtlinearer Gleichungen 370 B.1 Bisektion 371 B.2 Regula Falsi 372 B.3 Sekantenverfahren 373 B.4 Das Newton-Verfahren 374 B.5 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 376 C Iterative Methoden zur numerischen Lösung von linearen Gleichungssytemen 377 C.1 Die klassischen Iterationsmethoden 378 C.2 Mehrgitterverfahren 383 C.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 386 C.4 Bemerkungen und Entscheidungshilfen 390 Literatur 393 Sachverzeichnis 394 Das Lehrbuch vermittelt die Herleitung numerischer Algorithmen zur Lösung von Differenzialgleichungen und gibt einen Einblick in die praktische Implementierung. Anhand von Beispielen und Übungsaufgaben mit Problemstellungen aus dem Ingenieurbereich werden Eigenschaften und Einsatzbereiche der verschiedenen Verfahren erläutert. Für die Beispiele und Aufgaben stehen MAPLE-Worksheets und MATLAB-Scripte zur Verfügung, die von der Webseite www.imathonline.de/revokos/ heruntergeladen werden können. Hat man MAPLE oder MATLAB zur Verfügung, können die Ergebnisse der Beispiele und Aufgaben nachvollzogen oder auch Änderungen in den Programmen ausgeführt werden. Die vierte Auflage liegt nun in durchgesehener und verbesserter Version vor, die Worksheets wurden an die aktuelle Version von MAPLE angepasst, die MATLAB-Scripte wurden neu mit aufgenommen. Der Inhalt Numerische Integration und Differenziation.- Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen.- Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen.- Grundlagen der partiellen Differenzialgleichungen.- Grundlagen der numerischen Verfahren für partielle Differenzialgleichungen.- Differenzverfahren.- Finite-Elemente-Methoden.- Finite-Volumen-Verfahren. Die Zielgruppen Das Buch wendet sich an Studierende in allen Ingenieurfächern und in den Naturwissenschaften. Die Autoren Professor Dr. Claus-Dieter Munz lehrt an der Universität Stuttgart am Institut für Aerodynamik und Gasdynamik numerische Methoden und Simulation von Strömungen. Er erhielt in 2003 den Lehrpreis des Landes Baden-Württemberg für die Kombination von Numerik und Programmierung. Professor Dr. Thomas Westermann lehrt an der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft Mathematik für Ingenieure und Computer Simulation. Er erhielt in 2008 den Lehrpreis des Landes Baden-Württemberg u.a. auch für seine didaktisch hervorragenden Lehrbücher Front Matter ....Pages I-X Einleitung (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 1-13 Numerische Integration und Differenziation (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 15-54 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 55-108 Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 109-168 Grundlagen der partiellen Differenzialgleichungen (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 169-219 Grundlagen der numerischen Verfahren für partielle Differenzialgleichungen (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 221-231 Differenzenverfahren (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 233-286 Finite-Elemente-Methode (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 287-315 Finite-Volumen-Verfahren (Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann)....Pages 317-349 Back Matter ....Pages 351-394 Die Autoren vermitteln die Herleitung numerischer Algorithmen zur Lösung von Differenzialgleichungen und geben einen Einblick in die praktische Implementierung. Anhand von Beispielen und Übungsaufgaben mit Problemstellungen aus der Ingenieurspraxis werden Eigenschaften und Einsatzbereiche der verschiedenen Verfahren erläutert. Die beiliegende CD-ROM enthält neben den Lösungswegen auch eine interaktive Version des Buchs. Mithilfe des Computer-Algebra-Systems MAPLE können die beschriebenen Verfahren direkt aus dem Text heraus ausgeführt werden. Die Autoren vermitteln die Herleitung numerischer Algorithmen zur Loesung von Differenzialgleichungen und geben einen Einblick in die praktische Implementierung. Mithilfe des Computer-Algebra-Systems MAPLE koennen die beschriebenen Verfahren direkt aus dem Text heraus ausgefuhrt werden.