Nombres complexes, polynômes et fractions rationnelles - Exercices corrigés avec rappels de cours

Cet ouvrage s'adresse essentiellement aux étudiants de L1, L2 des Universités, et aux étudiants des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. Les questions abordées sont en général celles qui sont enseignées en première année : nombres complexes, polynômes, fractions rationnelles. L'étude de ces thèmes sera également très utile aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. de Mathéma¬tiques. Chaque chapitre contient un rappel de cours conséquent et de nombreux exercices corrigés et commentés, la plupart d'entre eux revenant immanquablement dans les sujets d'examen et de concours. Avant-Propos i 1 Nombres complexes 1 1.1 Rappels de cours 1 1.1.1 Définitions et propriétés générales 1 1.1.2 Conjugué 3 1.1.3 Module 4 1.1.4 Racines carrées et équation du 2-ème degré 4 1.1.5 Argument 6 1.1.6 Notation exponentielle 7 1.1.7 Racines n-ièmes 8 1.1.8 Représentation géométrique 9 1.2 Exercices 13 2 Polynômes 59 2.1 Rappels de cours 59 2.1.1 Définitions et propriétés générales 59 2.1.2 Retour à la notation habituelle 63 2.1.3 Fonctions polynomiales 65 2.1.4 Divisibilité, division euclidienne 65 2.1.5 ppcm. pgcd. Algorithme d'EUCLIDE 66 2.1.6 Polynômes premiers entre eux 68 2.1.7 Polynômes irréductibles 69 2.1.8 Dérivation des polynômes 70 2.1.9 Zéros multiples. Polynômes scindés 71 2.1.10 Relations entre coefficients et zéros 71 2.1.11 Formule de TAYLOR 72 2.1.12 Les polynômes de C[X] 73 2.1.13 Les polynômes de R[X] 73 2.2 Exercices 76 3 Fractions rationnelles 119 3.1 Rappels de cours 119 3.1.1 Définitions et propriétés générales 119 3.1.2 Dérivation des fractions rationnelles 121 3.1.3 Fonctions rationnelles 122 3.1.4 Décomposition en éléments simples 122 3.2 Exercices 129