Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression: Analysisbasierte Methoden zur effizienten Lösung großer vollbesetzter Gleichungssysteme

Wir betrachten eine Methode zur effizienten numerischen Lösung einiger linearer Operatorgleichungen, dies können sowohl Integral- als auch Differentialoperatoren sein. Zu diesem Zweck schlagen wir eine Wavelet- oder Multiskalendarstellung vor. Wir zeigen, daß unter gewissen Voraussetzungen an die Basen und die Operatoren die auftretenden Matrizen gleichmäßig konditioniert und numerisch dünn besetzt sind. Wir zeigen, daß man diese Matrizen durch dünn besetzte ersetzen kann, um damit das entstehende Gleichungssystem mit optimalem Aufwand oder zumindest fastoptimalem Aufwand zu lösen, ohne die bestmögliche Konvergenzrate des zugrundeliegenden Verfahrens, in der Regel Galerkin- oder Kollokationsverfahren, zu verletzen. "... It (the book) can be recommended to everyone who is interested in wavelet approximation methods and/or the numerical analysis of boundary value problems and integral equations." J.Elschner. Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete Wir betrachten eine Methode zur effizienten numerischen Ls̲ung einiger linearer Operatorgleichungen, dies kn̲nen sowohl Integral- als auch Differentialoperatoren sein. Zu diesem Zweck schlagen wir eine Wavelet- oder Multiskalendarstellung vor. Wir zeigen, daß unter gewissen Voraussetzungen an die Basen und die Operatoren die auftretenden Matrizen gleichmß̃ig konditioniert und numerisch dünn besetzt sind. Wir zeigen, daß man diese Matrizen durch dünn besetzte ersetzen kann, um damit das entstehende Gleichungssystem mit optimalem Aufwand oder zumindest fastoptimalem Aufwand zu ls̲en, ohne die bestmg̲liche Konvergenzrate des zugrundeliegenden Verfahrens, in der Regel Galerkin- oder Kollokationsverfahren, zu verletzen." ... It (the book) can be recommended to everyone who is interested in wavelet approximation methods and/or the numerical analysis of boundary value problems and integral equations." J. Elschner. Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete Front Matter....Pages N1-6 Einleitung....Pages 7-19 Grundlegende Definitionen....Pages 21-24 Pseudodifferentialoperatoren auf glatten Mannigfaltigkeiten....Pages 25-33 Einige praktische Beispiele....Pages 35-51 Multiskalenbasen....Pages 53-112 Approximationsverhalten und Normcharakterisierung....Pages 113-138 Multiskalendarstellung des Galerkin- und Kollokationsverfahrens....Pages 139-145 Galerkin-Verfahren....Pages 147-178 Kollokationsmethode....Pages 179-195 Zusammenfassung....Pages 197-198 Direkte Quadratur....Pages 199-205 Numerische Experimente....Pages 207-231 Back Matter....Pages 233-246