Modular Forms: Spring 2011 Notes (and beyond)

Preface......Page 1 I The basic course......Page 6 Introduction......Page 7 Complex analysis review: Holomorphy......Page 12 Complex analysis review II: Zeroes and poles......Page 15 Periodic functions......Page 17 Doubly periodic functions......Page 21 Elliptic functions to elliptic curves......Page 24 The hyperbolic plane......Page 27 Fractional linear transformations......Page 29 The modular group......Page 32 Congruence subgroups......Page 36 Cusps and elliptic points......Page 40 Modular curves and functions......Page 45 Eisenstein series......Page 50 Modular forms......Page 62 Theta series......Page 67 and......Page 73 Dimensions for full level......Page 79 Finite dimensionality for congruence subgroups......Page 88 Appendix: Dimension Tables......Page 93 Hecke operators......Page 96 Hecke operators for 0(N)......Page 97 Petersson inner product......Page 107 The Riemann zeta function......Page 114 Dirichlet L-functions......Page 116 The philosophy of L-functions......Page 118 L-functions for modular forms......Page 120 II Selected topics......Page 125 Newforms and oldforms......Page 127 Hecke operators via double cosets......Page 128 Hecke operators on Eisenstein series......Page 131 Atkin–Lehner operators......Page 135 New and old forms......Page 136 Hilbert modular forms......Page 143 Basic definitions and results......Page 144 References......Page 147 Index......Page 150