Modern Jazz Vocabulary vol 2. Major ii-V-I.

cover 前言之二 前言之一 声明 目录 简介 实数的公理化描述 区间套公理与确界原理,距离空间 实数的构造:Dedekind分割 作业:可数与不可数,Schroeder-Bernstein定理 极限,级数,Cauchy列,距离空间中的收敛 Cauchy判别准则,向量序列的收敛,Bolzano-Weierstrass的列紧性定理,数列和级数收敛的Cauchy判断,e的定义,绝对收敛,收敛的控制判别法 指数函数与三角函数的构造,指数函数与三角函数的代数性质,双指标级数的求和 作业:Riemann重排,Cesàro求和,Banach-Mazur游戏 乘积级数与Riemann -函数,振荡级数的收敛判断(Dirichlet与Abel判别法),完备距离空间,完备赋范线性空间,Picard不动点定理/压缩映像定理,等价距离/范数,矩阵的指数映射 作业:素数的倒数和,Basel问题的Euler“证明” 函数的连续性 距离空间之间的连续映射,介值定理,初等函数的构造 开集,闭集,紧集,闭包,聚点,连续函数的拓扑刻画 作业 紧性与开覆盖,Heine-Borel定理,Lebesgue数,一致连续,函数列的逐点收敛与一致收敛,闭区间上连续函数空间(C(to.[a,b])to.,"026B30D "026B30D )。 利用级数收敛来构造连续函数,距离空间的完备化 作业:有无穷多素数的拓扑证明 期中考试:连续函数环的极大理想 导数的定义,初等函数导数的计算 Leibniz公式,Faà di Bruno公式,导数的基本性质,在赋范线性空间中取值的函数的导数,求极值,Rolle与Lagrange中值定理,处处连续处处不可微函数的构造 xexp(xA)的导数,中值定理的应用:线性常微分方程,Darboux介值定理,Cauchy中值定理,三角函数与微分方程,的定义 作业:高木贞治函数 空间填充曲线,L'Hôpital法则,Taylor展开 凸函数,利用Jensen不等式证明常见的不等式 作业:Émile Borel引理,Peano的证明 Riemann积分的定义:区间的分划,简单函数,Riemann可积函数 Riemann和,Darboux上下和,上下积分 作业:Sturm-Louville理论的一个例子 紧区间上Riemann可积函数的刻画,Newton-Leibniz公式,分部积分公式,变量替换公式,原函数的计算,圆面积的计算:证明的几何意义 作业:Dini定理,多项式逼近与Weierstrass-Stone定理 振幅,零测集,Lebesgue定理 积分的基本性质,积分余项的Taylor公式,反常积分,反常积分的收敛性:控制收敛,面积法,Euler常数,Wallis积分与Stirling公式 历史注记:Newton和Leibniz时代的微积分,Leibniz对4的级数表示,微分与积分的交换定理,利用含参积分的计算积分 作业:(2)的无理性 常微分方程解的存在唯一性,Kepler三大定律的证明,变分法:两点之间线段最短 变分法:最速降线问题,Huygens等时定理,积分第一中值定理 作业:可写成两个完全平方数的和的整数的密度 第二积分中值定理,Stieltjes积分 Stieltjes积分的中值定理,利用Stieltjes积分的中值定理证明第二积分中值定理 作业:振荡积分 一元微积分拾遗:Baire纲定理及其应用,原函数的初等函数表示定理:Liouville定理 一元微积分拾遗:振荡与衰减,Riemann-Lebesgue引理,van der Corput型估计 建议阅读:第一学期课程没有覆盖的内容 第一学期期末考试:Gauss的一个椭圆积分的计算,011+xdx的计算,整系数多项式的Chudnovsky逼近 寒假作业 数学分析二: 方向导数,偏导数和微分,利用偏导数连续判断微分存在,导数与极值 映射的微分,利用偏导数表示微分,Jacobi矩阵,微分的链式法则,逆映射微分的计算,矩阵代数中指数映射的微分 作业:齐次函数与Euler公式 微分同胚,坐标变换,Clairaut-Schwarz定理(偏导数可交换),多元函数的 Taylor 展开,Rn中光滑子流形的定义 子流形用坐标表示,子流形作为零点集来实现,反函数定理及证明,反函数定理与坐标变换之间的关系 习题课:拓扑空间 作业:反函数和隐函数定理 隐函数定理,隐函数定理的子流形叙述,子流形的判定:光滑曲线,光滑曲面超曲面的例子,子流形的参数化表示,Möbius带的研究 子流形的原像定理,切空间的定义,超曲面的切空间与法向量, 作业:隐函数与反函数定理,隐函数定理在多项式和矩阵上的一个重要应用,经典群的子流形结构 子流形之间的光滑映射,子流形之间光滑映射的微分,切向量场的定义(=向量值函数),切丛,切丛是光滑子流形,子流形上的微分学与极值问题:Lagrange乘子法,子流形上的反函数定理和隐函数定理 多元函数Hesse矩阵,极值点的二阶导数判定,凸函数 习题课:球极投影 作业:Lagrange乘子法,Morse引理,横截相交性 -代数,由某些子集生成的-代数,Borel-代数,-代数的张量积,R2上的Borel代数与R1上的Borel代数之间的关系,单调类,单调类+代数-代数,可测空间,可测映射,-代数的拉回,可测性的生成元判据,到乘积空间可测性的判据,距离空间的乘积空间上的-代数,可测函数的性质 测度,测度空间,-有限性,测度的基本性质,Carathéodory扩张定理:如何利用代数定义外测度导出-代数上的测度 测度的像(推出),Lebesgue测度的构造,平移不变性刻画Lebesgue测度,Lebesgue测度在尺度变换下的变换,测度空间的完备化,简单/阶梯函数的定义 简单函数的积分,测度空间上积分的定义,零测集,几乎处处,Beppo Levi定理 作业:子流形与零测集,Stieltjies 测度的构造,Borel-Cantelli 定理和无理数的逼近 Lebesgue积分与Riemann积分之间的关联,可积函数空间,积分的线性,L1-空间,Fatou引理,Lebesgue控制收敛定理,积分对参数的连续依赖性, 积分与求导数的可交换性,乘积测度的构造 作业:Lebesgue 控制收敛,十进制小数的研究 习题课:硬币空间的测度理论 乘积测度的构造,Fubini公式的证明和应用,Rn上积分的降维计算:Arichimedes 的墓碑 作业:Archimedes对抛物线面积的计算,Gauss积分 抽象换元积分公式,Borel测度的正则性引理,微分同胚下换元积分公式的证明 常用的换元积分,行列式的几何含义,子流形上的测度与积分:第一型曲线/曲面积分,函数图像上的积分公式 期中考试:非Borel集的构造 子流形上积分的计算:n-维球的体积,Archimedes公式. 截断函数的构造,周期的单位分解,有界带边光滑区域,单位外法向量,在函数图像上的计算,Stokes公式的第一个证明 Sard型引理,Stokes公式的微分拓扑证明 作业:曲面曲线积分的计算 习题课:Riemann积分的定义1 子流形上的积分的计算,第一/二型子流形/曲线/曲面积分,向量场的运算,散度定理,Green 公式,Gauss-Ostrogradsky公式,散度的几何/物理解释 二维的 Brouwer 不动点定理的证明,Hilbert 空间,赋范线性空间完备性的级数判定,Fischer-Riesz定理 偶数维球面上的切向量场,L2与L的完备性,连续线性算子,线性映射的延拓,卷积与函数逼近 作业:Stokes公式的应用 习题课:Riemann积分的定义2 用光滑函数的逼近L1函数,可分的Hilbert空间,Hilbert基,Fourier级数的定义,Fourier级数的L2理论 Fourier级数的L2-理论,高维Fourier级数的L2-理论,绝对收敛的Fourier级数 作业:波动方程的局部能量估计 习题课:Riemann积分的定义3 物理空间的光滑性与频率空间的衰减,Riemann-Lebesgue引理,Dirichlet核,Féjer核,Féjer核的收敛理论,局部化引理 du Bois-Reymond反例,Fourier级数收敛的Dirichlet定理,Fourier级数收敛的Dini定理,Hölder连续函数Fourier级数收敛理论,有界变差函数的Jordan定理 Fourier级数收敛理论 作业:Fourier级数的计算,三角函数与球谐函数 Bernstein定理,Fourier级数在等分布问题上的应用 Roth三项等差数列定理 作业:Fourier级数几乎处处发散的L1-函数 期末考试:Maass波函数的展开 分布的定义与例子:Radon测度,局部可积函数到分布的嵌入,主值部分 分布的操作:限制,求导数,与微分同胚复合,链式法则。Stokes公式的分布形式。 1维的跳跃公式,Cauchy积分公式,Cauchy-Riemann算子的基本解,单位分解 分布的局部刻画,分布的支集,支集在一点处的分布的结构定理 作业:齐次分布,Hadamard有限部分,分布除以多项式 分布的卷积:分布与微分和积分的交换,分布与紧支集分布的卷积,Dirac分布与平移,卷积与求导数的交换 卷积的连续性,基本解,Cauchy-Riemann方程的椭圆正则性,热方程的基本解 作业:分布的例子,Laplace算子、位势方程与分布 可卷集,R3上的波动算子的基本解,R3上的波动方程 选读部分:复分析相关知识简介,极大值原理,Laurent展开,留数定理(在Fourier变换的计算中要用) Fourier分析:L1(Rn)上的Fourier变换,Riemann-Lebesgue引理,频率空间与物理空间的基本观点, Gauss函数的Fourier变换,Fourier变换的逆变换 L2上的Fourier变换,Planchrel公式,Schwartz空间,Schwartz函数的例子,试验函数在Schwartz空间中的稠密性,Schwartz空间上的Fourier变换,缓增分布的定义 作业:Fourier逆变换的另一个计算,一个分布扩张的问题,分布的张量积 缓增分布的Fourier变换:定义与基本例子的计算 缓增分布的Fourier变换与卷积 分布理论与Fourier变换在数学物理方程上的应用:求波动方程与热方程的基本解。Sobolev空间的定义,Sobolev空间的映射性质。 Sobolev空间的基本性质,Fourier乘子,Sobolev空间的稠密子空间,有紧支集分布的结构定理,Sobolev嵌入定理,高指数的Sobolev空间是一个代数, 作业:Fourier变换的计算,Heisenberg测不准原理,分数次Sobolev空间的物理空间刻画,1维的Poisson求和公式 Riesz表示定理,Hilbert空间中的正交投影,Sobolev空间的对偶性,Sobolev空间的限制定理(迹定理) 有界区域上的Sobolev空间,1维区间上的Sobolev空间的经典表述,椭圆边值问题,Poincaré不等式 期中测验 Dirichlet问题的初步研究:存在性与解算子,用全空间上的连续函数逼近上半空间上的H1函数,H1函数从半空间到全空间的扩张 限制(迹)定理的连续性,半空间上Sobolev空间的限制(迹)定理,限制的正合列 高指数Sobolev空间从半空间到全空间的扩张,Sobolev函数的局部刻画,从H1()到H1(Rn)扩张,用全空间上的光滑函数逼近的H1(),曲面上的Sobolev空间的定义 作业:二维波动方程的基本解,Airy函数与线性KdV方程 子流形上的Sobolev空间的定义与等价定义,有界区域上Sobolev空间的限制(迹)定理以及限制正合列,Dirichlet问题的边值的确切含义以及Dirichlet问题的解决,位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理 习题(利用变分与Riesz表示定理解微分方程):一个弹性力学的模型 完备内积空间上的紧算子,自伴算子与弱收敛理论 紧算子的谱理论:Hilbert-Schmidt定理,Laplace算子的谱分解定理,正方形区域上Laplace算子的特征函数与特征值的计算,正方形区域上上Laplace算子特征值的增长率 Laplace算子的特征函数的应用:利用特征函数刻画函数空间,各阶特征值的变分表述,相互包含区域的特征值比较,弱化版本的Weyl渐近公式:一般区域上的Laplace算子的特征值的增长率 H10()H2()的刻画,保证分布落在H10()Hm()中的必要条件,特征函数到边界的连续性(光滑边界),利用特征函数构造热核(频率空间的观点) 利用热方程刻画热核(物理空间的观点),热方程的极大值原理,热核的正性与对称性,区域上热核与全空间热核的比较定理 热核的渐近展开,热核在对角线上的积分,Karamata的Tauber型渐近公式,Weyl渐近公式的证明,波前集的定义 波前集以及其等价定义,微局部光滑性意味着局部光滑性,一个非驻相法的引理(理论的技术核心),波前集在微分同胚下的变换 微局部的椭圆正则性定理,拟解(paramatrix)的构造,双特征曲线(bicharacteristics),奇性传播定理的叙述 奇性传播定理的证明 分布理论期末复习题 第一套 第二套 第三套