Métodos Numéricos

La presente obra está dirigida a las personas que desean conocer, estudiar y profundizar una variedad de métodos de aproximación a diversos problemas matemáticos. Está especialmente orientada a estudiantes universitarios con interés en abordar los temas clásicos de métodos numéricos, desde un punto de vista teórico y práctico. De esta manera, se pretende establecer un balance entre la teoría formal de los métodos numéricos y su contraparte práctica, al tratar de fundamentar el funcionamiento de los métodos de aproximación y su lógica intrínseca. Así, para cada uno de los ejemplos se brinda la formalidad de la teoría y su puesta en práctica en problemas concretos. Durante el desarrollo de la obra se proponen ejercicios cuya respuesta, así como soluciones parciales o recomendaciones de estas, pueden consultarse en el apéndice B. Por lo tanto, el lector podrá encontrar un cierto grado de retroalimentación durante su estudio. Introducción y conocimientos previos Motivación Computadoras y programas Computadoras Programa informático y usuario Lenguajes de programación Algoritmo Programación estructurada o secuencial Programación orientada a eventos Aproximaciones y errores de redondeo y error de truncamiento Error absoluto y error relativo Notación científica Cifras significativas Notación punto flotante Punto flotante de un número por corte o redondeo Error de redondeo y error de corte Dígitos significativos, precisión y exactitud Aritmética de punto flotante Preliminares matemáticos Funciones continuas y acotadas Sucesiones Series Convergencia y divergencia de series Series alternadas Serie de Taylor Aproximación de derivadas e integrales Resto de una serie de potencias y cota del error Rapidez de convergencia (O de Landau) Ejercicios del capítulo Raíces de ecuaciones Introducción Método gráfico Método de bisección Cota del error y método de paro Ventajas y desventajas del método de bisección El método de bisección en Excel Método de la secante Método de paro Ventajas y desventajas del método de la secante El método de la secante en Excel Método de la falsa posición Ventajas y desventajas del método de la falsa posición Método de la falsa posición modificado Método de Newton-Raphson Deducción de la fórmula recurrente Ventajas y desventajas del método de Newton-Raphson Implementación de método Newton-Raphson Método del punto fijo Aproximación de puntos fijos Convergencia del algoritmo del punto fijo Implementación de método del punto fijo Análisis de la convergencia de los métodos iterativos Análisis de método de bisección Análisis del método de la secante Análisis del método del punto fijo Análisis del método Newton-Raphson Ejercicios del capítulo Sistemas de ecuaciones Introducción Resolución de sistemas de ecuaciones Método gráfico Métodos algebraicos clásicos Eliminación de Gauss simple Eliminación de Gauss y las matrices elementales Implementación en lenguaje V.B. Limitaciones del método de eliminación Pivoteo parcial Descomposición LU de una matriz Método de factorización LU Implementación de la factorización LU Descomposición PT LU de una matriz Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la descomposición LU Inversos de matrices Error y condicionamiento Matrices inversas para el estudio del condicionamiento de una matriz Número de condición de una matriz Cómo escoger de una precisión, según el nivel del mal condicionamiento de la matriz Métodos iterativos Método de paro Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Resolución de sistemas no lineales Representación de un sistema no lineal como una función de Rn en Rn Método de punto fijo para funciones de Rn en Rn Método de Newton-Raphson para funciones de Rn en Rn Ejercicios del capítulo Interpolación numérica y regresión lineal Introducción El proceso de interpolación Diferencias divididas Interpolación lineal Interpolación cuadrática Interpolación polinomial Error cometido para el polinomio interpolante de Newton por diferencias divididas Implementación de la interpolación de Newton mediante diferencias divididas Polinomio de interpolación de Lagrange Interpolación lineal de Lagrange Interpolación cuadrática de Lagrange Interpolación polinomial de grado mayor que 2 mediante Lagrange Implementación de la interpolación de Lagrange Polinomio osculante e interpolación de Hermite Regresión lineal Método de mínimos cuadrados Calidad de la representación R2 Implementación de la regresión lineal Linealización de datos para regresión Ejercicios del capítulo Derivación e integración numérica Introducción Derivación numérica Cálculo del error Fórmulas de diferencias divididas finitas con más de dos puntos para f' Fórmulas de diferencias divididas finitas con más de dos puntos para f'' Integración numérica Método de integración de Newton-Cotes Cuadratura gaussiana Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos (mejora de la regla del trapecio) Fórmula de Gauss-Legendre con n puntos Ejercicios del capítulo Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias Introducción Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) Solución de una EDO Problema de valor inicial y valor frontera Métodos de un paso para EDO Método de Euler Métodos de Taylor Método de Euler mejorado Métodos de Runge-Kutta Método de pasos múltiples para EDO Métodos de Adams Programación e introducción a Excel Introducción Introducción a Visual Basic para Excel El ambiente de programación en Excel Controles Ingreso de datos en VB para Excel Variables en el lenguaje Visual Basic de Excel Condicionales y la toma de decisiones Bucle o ciclos Introducción a las funciones Arreglos en Visual Basic Depuración de un programa Corridas paso a paso Monitoreo de variable durante la ejecución Respuesta de los ejercicios propuestos Soluciones del capítulo 1 Soluciones del capítulo 2 Soluciones del capítulo 3 Soluciones del capítulo 4 Soluciones del capítulo 5 Soluciones del capítulo 6 Índice alfabético