Metodi Numerici

La matematica nella societ`a moderna ha assunto una crescente importanza: si può ormai affermare che il livello di cultura matematica `e una misura del progresso scientifico e tecnologico di un paese. Nell’analisi dei problemi del mondo reale la matematica svolge un ruolo determinante. In ogni disciplina scientifica e in ogni settore della tecnologia i modelli matematici che approssimano l’evolversi dell’evento oggetto di studio consentono di simulare, e quindi prevedere, lo sviluppo del fenomeno senza dover effettuare fisicamente esperimenti complessi, costosi e in alcuni casi anche pericolosi: nella progettazione di un velivolo la forma delle ali pu`o essere successivamente adattata, senza dover costruire alcun prototipo, in base ai risultati delle simulazioni numeriche fatte con il calcolatore; lo studio dell’inquinamento ambientale, quale il propagarsi di una sostanza tossica nella acque di un fiume, può essere condotto mediante calcolatore con un adeguato modello matematico, senza dover realizzare anche in forma ridotta, un reale pericoloso esperimento. INDICE INTRODUZIONE Capitolo 1 - I PROBLEMI DEL CALCOLO 1. Il calcolatore: la generazione degli errori 2. Problemi mal condizionati 3. Complessità di calcolo Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 2 - ANALISI DELL’ERRORE 1. Rappresentazione in base di un numero 2. Conversione di base 3. Numeri di macchina 4. Errori di rappresentazione 5. Operazioni di macchina 6. Calcolo del valore di una funzione 7. Errore nelle operazioni di macchina 8. Uso dei grafi per l’analisi dell’errore 9. Errore nelle funzioni non razionali 10. Analisi dell’errore all’indietro 11. Analisi statistica dell’errore 12. Analisi automatica dell’errore Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 3 - EQUAZIONI E SISTEMI NON LINEARI 1. Metodo di bisezione 2. Metodi di iterazione funzionale 3. Criteri di arresto 4. Effetto degli errori di arrotondamento 5. Ordine di convergenza 6. Metodo delle corde 7. Metodo delle tangenti 8. Metodo delle secanti 9. Efficienza di un metodo iterativo 10. Metodo di Aitken 11. Metodi iterativi per i sistemi non lineari 12. Metodo di Newton-Raphson 13. Condizionamento e localizzazione degli zeri di un polinomio 14. Successione di Sturm 15. Metodo di Newton per il calcolo degli zeri di unpolinomio 16. Metodo di Bairstow 17. Metodo di Bernoulli e metodo qd Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 4 - CALCOLO DELLE DIFFERENZE 1. Somme e serie 2. Operatore differenza 3. Operatore somma 4. Funzione gamma 5. Polinomi di Bernoulli 6. Trasformazione di Eulero 7. Equazioni alle differenze lineari 8. Stabilità del calcolo delle formule ricorrenti Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 5 - INTERPOLAZIONE 1. Il problema dell’interpolazione 2. Polinomio di Lagrange 3. Resto nell’interpolazione polinomiale 4. Polinomi osculatori 5. Polinomio di Newton 6. Errori di arrotondamento del polinomio di interpolazione 7. Proprietà delle differenze divise 8. Interpolazione inversa 9. Interpolazione razionale 10. Frazioni continue 11. Differenze inverse 12. Differenze reciproche 13. Interpolazione trigonometrica e trasformata discreta di Fourier 14. Funzioni spline Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 6 - APPROSSIMAZIONE 1. Introduzione 2. Il problema dell’approssimazione lineare 3. Polinomi ortogonali 3.1 Polinomi di Legendre 3.2 Polinomi di Chebyshev di 1a specie 3.3 Polinomi di Chebyshev di 2a specie 3.4 Polinomi di Laguerre 3.5 Polinomi di Hermite 4. Approssimazione ai minimi quadrati 5. Approssimazione minimax polinomiale 6. Algoritmo di Remez 7. Approssimazione quasi minimax 8. Approssimazione minimax rispetto all’errore relativo 9. Approssimazione minimax con vincoli 10. Approssimazione minimax razionale 11. Approssimazione razionale con frazioni continueinfinite 12. Approssimazione di Padé 13. Approssimazione nel discreto Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Capitolo 7 - INTEGRAZIONE E DERIVAZIONEAPPROSSIMATE 1. Formule di quadratura interpolatorie 2. Formule di Newton-Cotes 3. Formule newtoniane composte 4. Formule gaussiane 5. Formule gaussiane pesate 6. Integrali impropri 7. Formule gaussiane con nodi prefissati 8. Quadratura automatica 9. Integrazione in più dimensioni 10. Metodo Monte Carlo 11. Approssimazione delle derivate Esercizi proposti Commento bibliografico Bibliografia Bibliografia generale