Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений

The main content of this book is composed from two doctoral theses: by V. V. Katrakhov (1989) and by S. M. Sitnik (2016). In our work, for the first time in the format of a monograph, we systematically expound the theory of transmutation operators and their applications to differential equations with singularities in coefficients, in particular, with Bessel operators. Along with detailed survey and bibliography on this theory, the book contains original results of the authors. Significant part of these results is published with detailed proofs for the first time. In the first chapter, we give historical background, necessary notation, definitions, and auxiliary facts. In the second chapter, we give the detailed theory of Sonin and Poisson transmutations. In the third chapter, we describe an important special class of the Buschman-Erde ́lyi transmutations and their applications. In the fourth chapter, we consider new weighted boundary-value problems with Sonin and Poisson transmutations. In the fifth chapter, we consider applications of the Buschman-Erde ́lyi transmutations of special form to new boundary-value problems for elliptic equations with significant singularities of solutions. In the sixth chapter, we describe a universal compositional method for construction of transmutations and its applications. In the concluding seventh chapter, we consider applications of the theory of transmutations to differential equations with variable coefficients: namely, to the problem of construction of a new class of transmutations with sharp estimates of kernels for perturbed differential equations with the Bessel operator, and to special cases of the well-known Landis problem on exponential estimates of the rate of growth for solutions of the stationary Schro ̈dinger equation. The book is concluded with a brief biographic essay about Valeriy V. Katrakhov, as well as detailed bibliography containing 648 references. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Глава 1. В ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 1.1. Исторические сведения и краткое содержание книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 1.2. Краткий очерк истории и современного состояния теории операторов преобразования . 223 1.3. Основные определения, обозначения и свойства: специальные функции, функциональные пространства, интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1.3.1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 1.3.2. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 1.3.3. Основные интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Глава 2. Операторы преобразования Сонина—Пуассона—Дельсарта и их модификации . . . 257 2.1. Одномерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.1.1. Основные конструкции операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.1.2. Дробные интегралы типа Римана—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.1.3. Связь с преобразованиями Фурье и Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.1.4. Операторы преобразования и функциональные пространства (одномерная теория) 271 2.2. Многомерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.2.1. Некоторые свойства пространства С. Л. Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.2.2. Определение многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . 281 2.2.3. L2-теория многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Глава 3. Теория операторов преобразования Бушмана—Эрдейи . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.1. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи первого рода и нулевого порядка гладкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3.2. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи второго рода и унитарные операторы преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова . . . . . . . . . . 301 3.3. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова к дифференциальным уравнениям с особенностями в коэффициентах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3.3.1. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к задачам для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу и лемме Копсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3.3.2. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова к установлению формул связи между решениями дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 3.3.3. Приложения операторов преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона— Катрахова к решению некоторых интегродифференциальных уравнений . . . . . 307 3.4. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к установлению эквивалентности норм пространств И. А. Киприянова и весовых пространств С. Л. Соболева . . . . 308 Глава 4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . 312 4.1. Функциональные пространства Hs ν (En+1 + ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.1.1. Определения и внутренние теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.1.2. Некоторые результаты о мультипликаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 4.1.3. В есовые следы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 4.2. Функциональные пространства Hs ν (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 4.2.1. Разбиение единицы и определения функциональных пространств . . . . . . . . . 322 4.2.2. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 4.3. Эллиптическая краевая задача в полупространстве с нелокальными краевыми условиями дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 4.3.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 4.3.2. Регуляризатор и априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 4.4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . . . . 329 4.4.1. Весовая краевая задача в полупространстве. Постоянные коэффициенты . . . . . 329 4.4.2. Весовая краевая задача в полупространстве. Маломеняющиеся коэффициенты . 331 4.4.3. В есовая краевая задача в ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Глава 5. Новые краевые задачи для уравнения Пуассона с особенностями в изолированных точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.1. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.1. Определение и теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.2. Прямая и обратная теоремы о σ-следах (K-следах) . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 5.2. Новая краевая задача для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 5.2.1. Постановка краевой задачи и изолированные особые точки гармонических функций 348 5.2.2. Существование и априорная оценка решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Глава 6. Композиционный метод построения операторов преобразования . . . . . . . . . . . 356 6.1. Общая схема композиционного метода построения операторов преобразования . . . . . 356 6.1.1. B-гиперболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 6.1.2. B-эллиптические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 6.1.3. B-параболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 6.1.4. Операторы сдвига по спектральному параметру типа Лаундеса . . . . . . . . . . 362 Глава 7. Приложения метода операторов преобразования к оценкам решений для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и задаче Е. М. Ландиса 364 7.1. Приложения метода операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя с переменным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 7.1.1. Решение основного интегрального уравнения для ядра оператора преобразования 366 7.2. Приложение метода операторов преобразования к задаче Е. М. Ландиса . . . . . . . . . 368 Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Валерий Вячеславович Катрахов: краткая биографическая справка . . . . . . . . . . . . . . . 374 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376