Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik : Das Begleitbuch zum Heidelberger Online-Kurs

Dieses Begleitbuch umfasst den gesamten Heidelberger ONLINE-Brückenkurs „MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik“ und bietet den Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften eine strukturierte Zusammenstellung des mathematischen Handwerkszeugs, das in der ersten Zeit des Studiums benötigt, aber erst später in den Mathematikvorlesungen erarbeitet werden kann. Der Stoff ist bewusst ganz eng ausgewählt und konzentriert sich auf das intensive Verstehen der wichtigsten Begriffe und Konzepte. Was im Schulunterricht oft nur unvollständig behandelt wurde, wird hier knapp und praxisnah bereitgestellt, wobei alle mathematischen Begriffe bei der Einführung physikalisch motiviert werden. Der zweischichtige ONLINE-Kurs „MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik“ wird seit 2001 unter www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1 angeboten mit 144 Abbildungen darunter 28 Animationen, 532 Übungsaufgaben mit Lösungsskizzen meist aus der Physik sowie zwei PDF-Versionen. Inzwischen viersprachig, hat er sich als wirksame Hilfe gegen den gefürchteten „Mathe-Schock“ in den ersten Wochen des Physikstudiums weltweit bewährt und wird millionenfach genutzt. Kurs und Buch schaffen ein mathematisches Fundament und ermöglichen zusammen die optimale Vorbereitung in der wichtigen Zeit zwischen Abiturprüfung und Semesterbeginn. Vor allem die Übungsaufgaben mit den auch im Buch enthaltenen Lösungsskizzen helfen beim Verstehen und Einüben des Stoffes. Für die zweite Auflage wurden Fehler korrigiert und viele Abbildungen neu gestaltet. Inhaltsverzeichnis 6 Vorwort 13 Vorwort zur ersten Auage 13 Vorwort zur zweiten Auage 16 Dank 18 1 Messen: Messwert und Maßeinheit 20 1.1 Empirische Methode 20 1.2 Physikalische Größen 20 1.3 Maßeinheiten 21 1.4 Größenordnungen 24 2 Zeichen und Zahlen und ihre Verknüpfungen 26 2.1 Zeichen 26 2.2 Zahlen 28 2.2.1 Natürliche Zahlen 28 2.2.2 Ganze Zahlen 31 2.2.3 Rationale Zahlen 33 2.2.4 Reelle Zahlen 37 3 Folgen und Reihen und ihre Grenzwerte 39 3.1 Folgen 39 3.2 Beschränkheit 41 3.3 Monotonie 42 3.4 Konvergenz 42 3.5 Reihen 44 4 Funktionen 51 4.1 Funktion als Input-Output-Relation oder Abbildung 51 4.2 Funktionen-Grundausstattung 55 4.2.1 Rationale Funktionen 56 4.2.2 Trigonometrische Funktionen 57 4.2.3 Exponentialfunktionen 60 4.2.4 Funktionen mit Ecken und SprŁungen 65 4.3 Verkettete Funktionen 68 4.4 Spiegelsymmetrie 71 4.5 Beschränktheit 72 4.6 Monotonie 73 4.7 Eineindeutigkeit 73 4.8 Umkehrfunktionen 75 4.8.1 Wurzelfunktionen 77 4.8.2 Zyklometrische Funktionen 78 4.8.3 Logarithmen 79 4.9 Grenzwerte 84 4.10 Stetigkeit 86 5 Differentiation 88 5.1 Differenzenquotient 88 5.2 Differentialquotient 90 5.3 Differenzierbarkeit 93 5.4 Höhere Ableitungen 95 5.5 Das Handwerk des Differenzierens 97 5.5.1 Vier Beispiele 97 5.5.2 Einfache Differentiationsregeln: Funktionen-Grundausstattung 99 5.5.3 Ketten- und Umkehrfunktionsregel 103 5.6 Numerische Di erentiation 110 5.7 Ausblick auf Differentialgleichungen 110 6 Taylor-Entwicklung 113 6.1 Potenzreihen 113 6.2 Vorbild geometrische Reihe 113 6.3 Form und Eindeutigkeit 114 6.4 Beispiele aus der Funktionen-Grundausstattung 116 6.4.1 Rationale Funktionen 116 6.4.2 Trigonometrische Funktionen 118 6.4.3 Exponentialfunktionen 118 6.4.4 Weitere Taylor-Reihen 121 6.5 Konvergenzradius 122 6.6 Genaue Regeln fŁur das ungenaue Rechnen 123 6.7 Güte der Konvergenz: Restglied 125 6.8 Taylor-Entwicklung um beliebigen Punkt 126 7 Integration 130 7.1 Arbeit 130 7.2 Fläche unter einer Funktion über einem Intervall 132 7.3 Eigenschaften des Riemann-Integrals 135 7.3.1 Linearität 135 7.3.2 Intervalladdition 136 7.3.3 Ungleichungen 137 7.3.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung 138 7.4 Hauptsatz der Di erential- und Integralrechnung 139 7.4.1 Unbestimmtes Integral 139 7.4.2 Differenzieren nach der oberen Grenze 139 7.4.3 Integrieren über einen Differentialquotienten 140 7.4.4 Stammfunktion 142 7.5 Die Kunst des Integrierens: 143 7.5.1 Differentiationstabelle rückwärts 144 7.5.2 Lineare Zerlegung 144 7.5.3 Substitution 146 7.5.4 Partielle Integration 149 7.5.5 Weitere Integrationstricks 152 7.5.6 Integralfunktionen 154 7.5.7 Numerische Integration 155 7.6 Uneigentliche Integrale 156 7.6.1 Unendliches Integrationsintervall 156 7.6.2 UnbeschrŁankter Integrand 159 8 Komplexe Zahlen 162 8.1 Imaginäre Einheit und Darstellungen 162 8.1.1 Motivation 162 8.1.2 Imaginäre Einheit 163 8.1.3 Definition der komplexen Zahlen 164 8.1.4 Gaußsche Zahlenebene 165 8.1.5 Euler-Formel 167 8.1.6 Komplexkonjugation 169 8.2 Rechenregeln der komplexen Zahlen 170 8.2.1 Abelsche Gruppe der Addition 171 8.2.2 Abelsche Gruppe der Multiplikation 174 8.3 Funktionen einer komplexen Variablen 178 8.3.1 Definition 178 8.3.2 Grenzwerte und Stetigkeit 179 8.3.3 Graphische Darstellung 180 8.3.4 Potenzen 181 8.3.5 Exponentialfunktion 185 8.3.6 Trigonometrische Funktionen 187 8.3.7 Wurzelfunktionen 195 8.3.8 Logarithmus 197 8.3.9 Allgemeine Potenz 198 9 Vektoren 199 9.1 Dreidimensionaler euklidischer Raum 199 9.1.1 Dreidimensionaler reeller Raum 199 9.1.2 Koordinatensysteme 199 9.1.3 Euklidischer Raum 200 9.1.4 Transformationen des Koordinatensystems 202 9.2 Vektoren als Verschiebungen 207 9.2.1 Verschiebungen 207 9.2.2 Vektoren 207 9.2.3 Transformationen des Koordinatensystems 210 9.3 Addition von Vektoren 225 9.3.1 Vektorsumme 225 9.3.2 Kommutatives Gesetz 226 9.3.3 Assoziatives Gesetz 227 9.3.4 Nullvektor 228 9.3.5 Negatives und Subtraktion 228 9.4 Multiplikation mit reellen Zahlen, Basisvektoren 229 9.4.1 Vielfaches eines Vektors 229 9.4.2 Gesetze 230 9.4.3 Vektorraum 230 9.4.4 Lineare Abhängigkeit, Basisvektoren 230 9.4.5 Einheitsvektoren 232 9.5 Skalarprodukt und Kronecker-Symbol 234 9.5.1 Motivation 234 9.5.2 Definition 234 9.5.3 Kommutatives Gesetz 236 9.5.4 Kein Assoziatives Gesetz 236 9.5.5 HomogenitŁat 237 9.5.6 Distributives Gesetz 237 9.5.7 Basisvektoren 238 9.5.8 Kronecker-Symbol 238 9.5.9 Komponentendarstellung 239 9.5.10 Transversaler Anteil 241 9.5.11 Kein Inverses 241 9.6 Vektorprodukt und Levi-Civita-Symbol 242 9.6.1 Motivation 242 9.6.2 Definition 243 9.6.3 Antikommutativ 247 9.6.4 Homogenität 247 9.6.5 Distributives Gesetz 247 9.6.6 Mit transversalem Anteil 248 9.6.7 Basisvektoren 249 9.6.8 Levi-Civita-Symbol 249 9.6.9 Komponentendarstellung 252 9.6.10 Kein Inverses 253 9.6.11 Kein Assoziatives Gesetz 254 9.7 Mehrfachprodukte 254 9.7.1 Spatprodukt 254 9.7.2 Geschachteltes Vektorprodukt 260 9.7.3 Skalarprodukt zweier Vektorprodukte 261 9.7.4 Vektorprodukt zweier Vektorprodukte 262 9.8 Transformationsverhalten der Produkte 265 9.8.1 Orthonormale Rechtsbasen 265 9.8.2 Gruppe der Orthogonalen Matrizen 266 9.8.3 Untergruppe der Drehungen 267 9.8.4 Transformation der Produkte 268 10 Lösungsskizzen 272 11 Weiterführende Literatur 317 Sachwortverzeichnis 320 Dieses Begleitbuch umfasst den gesamten Heidelberger ONLINE-Brückenkurs "MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik" und bietet den Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften eine strukturierte Zusammenstellung des mathematischen Handwerkszeugs, das in der ersten Zeit des Studiums benötigt, aber erst später in den Mathematikvorlesungen erarbeitet werden kann. Der Stoff ist bewusst ganz eng ausgewählt und konzentriert sich auf das intensive Verstehen der wichtigsten Begriffe und Konzepte. Was im Schulunterricht oft nur unvollständig behandelt wurde, wird hier knapp und praxisnah bereitgestellt, wobei alle mathematischen Begriffe bei der Einführung physikalisch motiviert werden. Der zweischichtige ONLINE-Kurs "MATHEMATISCHER VORKURS zum Studium der Physik" wird seit 2001 unter www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1 angeboten mit 144 Abbildungen darunter 28 Animationen, 532 Übungsaufgaben mit Lösungsskizzen meist aus der Physik sowie zwei PDF-Versionen. Inzwischen viersprachig, hat er sich als wirksame Hilfe gegen den gefürchteten "Mathe-Schock" in den ersten Wochen des Physikstudiums weltweit bewährt und wird millionenfach genutzt. Kurs und Buch schaffen ein mathematisches Fundament und ermöglichen zusammen die optimale Vorbereitung in der wichtigen Zeit zwischen Abiturprüfung und Semesterbeginn. Vor allem die Übungsaufgaben mit den auch im Buch enthaltenen Lösungsskizzen helfen beim Verstehen und Einüben des Stoffes. Für die zweite Auflage wurden Fehler korrigiert und viele Abbildungen neu gestaltet. Der Autor Klaus Hefft hat Physik, Mathematik und Chemie studiert und sich dabei auch mit Psychologie insbesondere des Lernens beschäftigt. Nach überstandenem Mathe-Schock hat er bis zur Pensionierung als der Akademische Direktor des Instituts für Theoretische Physik der Universität Heidelberg im Laufe von 45 Jahren immer wieder fachliche und pädagogische Erfahrungen und Ideen zum Brückenkurs gesammelt: zunächst als Assistent in sämtlichen Praktika der Heidelberger Experimentalphysiker, dann als Tutor in allen Übungsgruppen zu den Theorievorlesungen und später als deren eigenverantwortlicher Veranstalter und bei seinen Vorlesungen über Mathematische Hilfsmittel bzw. Mathematische Methoden der Physik. Er hat sich lange um die Einführung von Vorkursen in Heidelberg bemüht, den Kurs im Verlauf vieler Jahre mit großer Freude betreut und Auswahl und Reihenfolge des in zwei Wochen zu bewältigenden Stoffes des Heidelberger Kurses maßgeblich beeinflusst Front Matter ....Pages i-xxi Messen: Messwert und Maßeinheit (Klaus Hefft)....Pages 9-14 Zeichen und Zahlen und ihre Verknüpfungen (Klaus Hefft)....Pages 15-27 Folgen und Reihen und ihre Grenzwerte (Klaus Hefft)....Pages 29-40 Funktionen (Klaus Hefft)....Pages 41-77 Differentiation (Klaus Hefft)....Pages 79-103 Taylor-Entwicklung (Klaus Hefft)....Pages 105-121 Integration (Klaus Hefft)....Pages 123-154 Komplexe Zahlen (Klaus Hefft)....Pages 155-191 Vektoren (Klaus Hefft)....Pages 193-265 Back Matter ....Pages 267-326