Mathematische Grundlagen der Naturwissenschaften (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Ausgehend vom Schulstoff, der kurz wiederholt wird, führt der Autor in die Grundbegriffe der Mathematik ein, die von vielen naturwissenschaftlichen Disziplinen verwendet werden. Bei der Vertiefung des Inhaltes helfen eine Vielzahl von Abbildungen, Beispielen, Beweisen und interessanten Übungsaufgaben mit vielen ausführlichen Lösungen. Um die spezifische Denkart der Mathematik zu trainieren und den Studierenden die Furcht vor Beweisen zu nehmen, werden alle mathematischen Aussagen vollständig, aber mit großer Transparenz, erläutert. Geleitwort 5 Inhaltsverzeichnis 7 1 Elementare Begriffe 10 1.1 Mengen 10 1.2 Mengenoperationen 12 1.3 Die Menge der reellen Zahlen 14 1.4 Funktionen 19 1.5 Übungen 25 2 Grenzwerte 27 2.1 Grenzwerte von Folgen 27 2.2 Grenzwerte von Funktionen 29 2.3 Übungen 33 3 Differenzierbare Funktionen 35 3.1 Ableitung 35 3.2 Kritische Punkte 38 3.3 Mittelwertsatz 40 3.4 Weitere Ableitungen 41 3.5 Monotone Funktionen 43 3.6 Konvexität 45 3.7 Extremwertaufgaben 48 3.8 Newton-Verfahren 49 3.9 Taylor'sche Formel 52 3.10 Übungen 54 4 Integralrechnung 57 4.1 Umkehrung der Differentiation 57 4.2 Flächenproblem 58 4.3 Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung 61 4.4 Elementare Integrationsmethoden 63 4.5 Numerische Integration 67 4.6 Anwendungen 69 4.7 Übungen 73 5 Reihen 76 5.1 Konvergenz 76 5.2 Konvergenztest 78 5.3 Rechenregeln für Reihen 84 5.4 Potenzreihen 85 5.5 Übungen 90 6 Komplexe Zahlen 92 6.1 Einführung 92 6.2 Algebraische Operationen 93 6.3 Übungen 102 7 Fourier-Reihen 103 7.1 Periodische Funktionen 103 7.2 Trigonometrische Polynome 105 7.3 Übungen 115 8 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 118 8.1 Einführung 118 8.2 Elementare Theorie 122 8.3 Verschiedene lösbare Differenzialgleichungen 123 8.4 Newton-Methode 126 8.5 Übungen 127 9 Vektorräume 129 9.1 Raum Rn 129 9.2 R-Vektorräume 130 9.3 Unterräume 133 9.4 Linearkombinationen 136 9.5 C-Vektorräume 137 9.6 Übungen 138 10 Basis und Dimension 140 10.1 Lineare Unabhängigkeit 140 10.2 Basen 142 10.3 Dimension 145 10.4 Direkte Summen 149 10.5 Übungen 152 11 Lineare Abbildungen 154 11.1 Einführung 154 11.2 Kern und Bild 156 11.3 Übungen 165 12 Matrizen 167 12.1 Einführung 167 12.2 Die Matrix einer linearen Abbildung 170 12.3 Rang einer Matrix 174 12.4 Invertierbare Matrizen und Basiswechsel 177 12.5 Übungen 180 13 Determinanten 182 13.1 Die Determinantenfunktion 182 13.2 Eindeutigkeit der Determinantenfunktion 184 13.3 Entwicklung einer Determinante 190 13.4 Berechnungsverfahren für Determinanten 193 13.5 Die Inverse einer Matrix 194 13.6 Übungen 196 14 Lineare Systeme 198 14.1 Einführung 198 14.2 Der Fall m=n=2 199 14.3 Gauß-Verfahren 200 14.4 Cramer'sche Formel 202 14.5 Übungen 203 15 Euklidische Räume und Metrik 205 15.1 Skalarprodukt 205 15.2 Euklidische Metrik 207 15.3 Orthogonalität 210 15.4 Vektor- oder Kreuzprodukt 211 15.5 Übungen 214 16 Diagonalisierung 216 16.1 Eigenvektoren und Eigenwerte 217 16.2 Charakteristisches Polynom 221 16.3 Symmetrischer Fall 222 16.4 Lineare Differenzialgleichungssysteme 224 16.5 Übungen 227 Anhang A.1 Trigonometrische Funktionen 228 Anhang A.2 Lösungen der Übungen 232 Sachverzeichnis 332 Über das Buch Ausgehend vom Schulstoff, der kurz wiederholt wird, führt der Autor in die Grundbegriffe der Mathematik ein, die von vielen naturwissenschaftlichen Disziplinen verwendet werden. Bei der Vertiefung des Inhaltes helfen eine Vielzahl von Abbildungen, Beispielen, Beweisen und interessanten Übungsaufgaben mit vielen ausführlichen Lösungen. Um die spezifische Denkart der Mathematik zu trainieren und den Studierenden die Furcht vor Beweisen zu nehmen, werden alle mathematischen Aussagen vollständig, aber mit großer Transparenz, erläutert. Der Autor Prof. Dr. Michel Chipot lehrt am Institut für Mathematik der Universität Zürich Front Matter....Pages I-IX Elementare Begriffe....Pages 1-17 Grenzwerte....Pages 19-26 Differenzierbare Funktionen....Pages 27-48 Integralrechnung....Pages 49-67 Reihen....Pages 69-84 Komplexe Zahlen....Pages 85-95 Fourier-Reihen....Pages 97-111 Gewöhnliche Differenzialgleichungen....Pages 113-123 Vektorräume....Pages 125-135 Basis und Dimension....Pages 137-150 Lineare Abbildungen....Pages 151-163 Matrizen....Pages 165-179 Determinanten....Pages 181-196 Lineare Systeme....Pages 197-203 Euklidische Räume und Metrik....Pages 205-215 Diagonalisierung....Pages 217-228 Back Matter....Pages 229-336 Ausgehend vom Schulstoff, der kurz wiederholt wird, fuhrt der Autor in die Grundbegriffe der Mathematik ein, die von vielen naturwissenschaftlichen Disziplinen verwendet werden.