Mathematische Begabung in der Sekundarstufe: Modellierung, Diagnostik, Förderung (Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II) (German Edition)

Das Buch widmet sich grundlegenden Fragen zu mathematischer Begabung mit Fokus auf Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufen I und II. Der Begabungsbegriff wird perspektivenreich mit Bezug zum Fach Mathematik beleuchtet. Es werden praxiserprobte Konzepte zur Diagnostik mathematischer Begabung und zur Förderung mathematisch besonders begabter Schülerinnen und Schüler vorgestellt. Dabei steht insbesondere der reguläre, alltägliche Mathematikunterricht im Blickfeld. Er wird als primärer Ort für Begabungsförderung gesehen. Zudem werden Anregungen gegeben, wie an Schulen Mathematikunterricht systematisch hin zu bewusst begabungsförderndem Unterricht weiterentwickelt werden kann. Damit richtet sich das Buch an Lehramtsstudierende des Faches Mathematik, Lehrende an Hochschulen im Bereich Mathematikdidaktik sowie Mathematiklehrkräfte an Schulen der Sekundarstufen. Hinweis der Herausgeber Inhaltsverzeichnis 1 Modelle für (mathematische) Begabung 1.1 Ein fachbezogenes Modell für mathematische Begabung 1.1.1 Mathematisches Denken 1.1.1.1 Prozessbezogenes Denken Experimentierendes Denken Begriffsbildendes Denken Modellierendes Denken Problemlösendes Denken Schlussfolgerndes Denken Unterscheidung von Voraussetzung und Folgerung Beweis durch direkte Schlüsse Widerspruchsbeweis Beweis der Kontraposition Existenzbeweis durch Konstruktion Widerlegung durch ein Gegenbeispiel Funktionen schlussfolgernden Denkens Formales Denken Algorithmisches Denken Theoriebildendes Denken Verwobenheit prozessbezogenen Denkens 1.1.1.2 Mathematikbezogene Informationsbearbeitung Mathematisches Wahrnehmen Operieren mit mathematischen Objekten Denken mit mathematischen Mustern Muster: Kommutativität der Multiplikation Muster: Lösungen quadratischer Gleichungen Muster: Anzahl von Permutationen Muster als Werkzeuge des Denkens Flexibles Denken Mathematisch kreatives Denken Nutzen von Darstellungen Speichern und Abrufen mathematischen Wissens Verwobenheit mathematikbezogener Informationsbearbeitung 1.1.1.3 Inhaltsbezogenes Denken Numerisches Denken Geometrisches Denken Begriffsbildung zu Figuren und Körpern Messen von Flächen und Volumina Raumvorstellung Algebraisches Denken Mit Variablen denken Mit Termen denken Mit Gleichungen denken Mit algebraischen Strukturen denken Funktionales Denken Phänomene mit Funktionen bearbeiten Mit Darstellungsformen von Funktionen umgehen Grundvorstellungen zu Funktionen nutzen Förderung funktionalen Denkens als Ziel des Mathematikunterrichts Stochastisches Denken Vernetzungen bei stochastischem Denken Verwobenheit inhaltsbezogenen Denkens 1.1.2 Mathematische Fähigkeiten 1.1.3 Mathematische Begabung 1.1.4 Mathematische Leistung 1.1.5 Modell für die Entwicklung von Begabung, Fähigkeiten und Leistung 1.1.5.1 Lernen als Kernprozess der Entwicklung von Fähigkeiten 1.1.5.2 Die Dynamik von Begabung und Fähigkeiten 1.1.5.3 Persönlichkeitsmerkmale und -zustände Interesse, Motive und Motivation Emotion Selbstregulation Selbstkonzept Soziale Kompetenzen 1.1.5.4 Die Person als Ganzes 1.1.5.5 Umweltmerkmale Familie Unterricht, Klasse, Schule Peergroup Medien Gesellschaft 1.1.5.6 Das Spannungsfeld von genetischen Anlagen, Umwelteinflüssen und persönlicher Freiheit 1.1.5.7 Leistung und Leistungsbewertung 1.1.5.8 Weitere Wirkungen 1.1.5.9 Nutzen dieses Modells in der Schule 1.2 Modelle und Konzepte für Begabung aus der Psychologie und der Pädagogik 1.2.1 Der Intelligenzquotient 1.2.1.1 Intelligenztests und der IQ 1.2.1.2 Definition von Begabung auf Basis des IQ 1.2.1.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.2 Drei-Ringe-Modell von Renzulli 1.2.2.1 Überdurchschnittliche Fähigkeiten 1.2.2.2 Aufgabenzuwendung 1.2.2.3 Kreativität 1.2.2.4 Begabung im Schnittbereich der drei Ringe 1.2.2.5 Bereichsspezifische Begabung 1.2.2.6 Interaktion mit allgemeinen Persönlichkeitseigenschaften und der sozialen Umwelt 1.2.2.7 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.3 Triadisches Interdependenz-Modell von Mönks 1.2.3.1 Beschreibung des Modells 1.2.3.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.4 Münchner Hochbegabungsmodell von Heller 1.2.4.1 Beschreibung des Modells 1.2.4.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.5 Münchner dynamisches Begabungs-Leistungs-Modell von Perleth 1.2.5.1 Beschreibung des Modells 1.2.5.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.6 „Differentiated Model of Giftedness and Talent“ und „Comprehensive Model of Talent Development“ von Gagné 1.2.6.1 Differentiated Model of Giftedness and Talent (DMGT) Unterscheidung zwischen Begabungen und Talenten Entwicklung von Talenten und zugehörige Katalysatoren Rolle des Zufalls bei Entwicklungen 1.2.6.2 Comprehensive Model of Talent Development (CMTD) 1.2.6.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.7 Theorie der multiplen Intelligenzen von Gardner 1.2.7.1 Kritik an der Aussagekraft des IQ 1.2.7.2 Induktiver Weg zur Modellierung des menschlichen Intellekts 1.2.7.3 Multiple Intelligenzen 1.2.7.4 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.2.8 Person und Begabung nach Weigand 1.2.8.1 Anthropologische Grundlage: Der Mensch als Person 1.2.8.2 Der Personbegriff als Grundlage für Bildungs- und Erziehungsprozesse 1.2.8.3 Begabung als Potenzial zum Leben als Person 1.2.8.4 Personorientierte Begabungsförderung 1.2.8.5 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.3 Modelle für Begabung aus der Fachdidaktik Mathematik 1.3.1 Modell mathematischer Begabungsentwicklung im Grundschulalter von Käpnick und Fuchs 1.3.1.1 Unterscheidung von Kompetenz und Performanz 1.3.1.2 Modell mathematischer Begabungsentwicklung 1.3.1.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung 1.3.2 Modell zur Entwicklung mathematischer Expertise von Fritzlar 1.3.2.1 Grundlagen für die Entwicklung mathematischer Expertise 1.3.2.2 Entwicklung von Fähigkeiten, Wissen und Leistungen 1.3.2.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung Literatur 2 Diagnostik mathematischer Begabung 2.1 Grundlagen der pädagogischen Diagnostik 2.1.1 Begriffsklärung 2.1.1.1 Pädagogische Diagnostik 2.1.1.2 Vergleich pädagogischer und psychologischer Diagnostik 2.1.1.3 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.1.2 Der diagnostische Prozess 2.1.2.1 Phasen des diagnostischen Prozesses 2.1.2.2 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.1.3 Zielsetzungen, Strategien und Verfahren pädagogischer Diagnostik 2.1.3.1 Zielsetzungen Beschreibung und Klassifikation Erklärung Prognose Evaluation von Interventionen Abgrenzung der Zielsetzungen 2.1.3.2 Strategien Status-/Ergebnisdiagnostik vs. Prozess-/Veränderungsdiagnostik Norm- vs. kriterienorientierte Diagnostik Dimensionale vs. klassifikatorische Diagnostik Unimethodale vs. multimethodale Diagnostik Multistrategisches Vorgehen 2.1.3.3 Verfahren Mündliche und schriftliche Befragungsverfahren Verhaltensbeobachtung Testverfahren Dokumentenanalyse 2.1.3.4 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.1.4 Merkmale diagnostischer Urteile Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.1.5 Gütekriterien 2.1.5.1 Hauptgütekriterien Objektivität Reliabilität Validität Hierarchische Beziehung zwischen den drei Hauptgütekriterien 2.1.5.2 Nebengütekriterien 2.1.5.3 Effektivität, Effizienz und Spezifität 2.1.5.4 Kritische Würdigung der Gütekriterien im Rahmen der pädagogischen Diagnostik 2.2 Verfahren zum Diagnostizieren mathematisch begabter Schüler 2.2.1 Ein Modell zur Strukturierung unterschiedlicher Verfahren 2.2.1.1 Die Dimensionen des Strukturmodells Modellkomponente, Strategie und Beurteilung Weitere Ausdifferenzierungen möglich 2.2.1.2 Die Funktionen des Strukturmodells 2.2.2 Mündliche und schriftliche Befragungsverfahren 2.2.2.1 Interviews Verschiedene Arten von Interviews Diagnostische Eignung von Interviews Einordnung in das Strukturmodell Beispiele 2.2.2.2 Fragebogen Einordnung in das Strukturmodell Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung Beispiele 2.2.3 Verhaltensbeobachtungen 2.2.3.1 Grundlegende Überlegungen Einordnung in das Strukturmodell Distale und proximale Merkmale Verhaltenskodierung Typische Fehler 2.2.3.2 Lehrerbeobachtung Einordnung in das Strukturmodell Freie Beobachtungen Lehrernomination Lehrerchecklisten „Lokale“ Urteile Beispiele 2.2.3.3 Elternbeobachtung Einordnung in das Strukturmodell Nomination durch Eltern Elternchecklisten Beispiele 2.2.3.4 Beobachtung durch Peers Einordnung in das Strukturmodell Nomination durch Peers Checklisten für Peers 2.2.3.5 Selbstbeobachtung Einordnung in das Strukturmodell Selbstnomination Wege zur Anregung einer Selbstbeobachtung 2.2.4 Testverfahren 2.2.4.1 Grundlegende Überlegungen Verschiedene Arten von Tests Einordnung in das Strukturmodell Kritische Betrachtung von Testverfahren 2.2.4.2 Intelligenztests Eignung aufgrund der Aufgabeninhalte Eignung aufgrund des Aufgabenformats Eignung aufgrund der Aufgabenschwierigkeit Empirische Befunde Fazit 2.2.4.3 Indikatoraufgaben Indikatoraufgaben aus Intelligenztests Indikatoraufgaben aus vorhandenen Instrumenten Mögliche Lösungen der Aufgabe Messung mathematischer Kreativität Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe Indikatoraufgaben aus Schulbüchern, Fördermaterialien und Mathematikwettbewerben Erläuterungen zur Aufgabenstellung Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe Variation der Aufgabenschwierigkeit Lösungsskizze Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe Hinweise zur selbstständigen Gestaltung 2.2.4.4 Schulische Leistungsbeurteilungen Unterschiedliche Formen schulischer Leistungsbeurteilung Mündliche und schriftliche Prüfungen Schulleistungstests und Vergleichsarbeiten 2.2.4.5 Mathematikwettbewerbe Arten von Mathematikwettbewerben Einordnung in das Strukturmodell Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.2.4.6 Weitere Tests zu Persönlichkeitsmerkmalen und -zuständen 2.2.5 Dokumentenanalyse 2.2.5.1 Lerntagebuch Einordnung in das Strukturmodell Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung 2.2.5.2 Weitere durch Schüler erstellte Dokumente 2.2.5.3 Durch andere Personen erstellte Dokumente 2.3 Vorgehen für die Diagnostik mathematischer Begabung 2.3.1 Sequenzielles Vorgehen 2.3.1.1 Screening 2.3.1.2 Statusdiagnostik 2.3.1.3 Prozessdiagnostik 2.3.2 Begründung des Vorgehens 2.3.3 Einflussfaktoren auf das diagnostische Vorgehen 2.3.4 Mathematiklehrkräfte als Diagnostiker Literatur 3 Förderung mathematischer Begabung 3.1 Grundlagen zu Lernen und Differenzierung 3.1.1 Lernen und Lernumgebungen 3.1.1.1 Aspekte des Lernens Lernen – ein neuronaler Prozess Lernen – ein konstruktiver Prozess Lernen – ein individueller Prozess Lernen – ein aktiver Prozess Lernen – ein selbstregulierter Prozess Lernen – ein situativer Prozess Lernen – ein sozialer Prozess Lernen erfolgt über Beispiele 3.1.1.2 Modell der Lernumgebungen 3.1.2 Ein Theorierahmen für Differenzierung 3.1.2.1 Diversität von Lerngruppen 3.1.2.2 Differenzierung 3.1.2.3 Differenzierungsziele 3.1.2.4 Differenzierungsaspekte 3.1.2.5 Differenzierungsorganisation 3.1.2.6 Differenzierungsformate 3.1.3 Akzeleration und Enrichment 3.1.3.1 Akzeleration: früheres oder schnelleres Lernen 3.1.3.2 Enrichment: mehr Tiefe oder mehr Breite beim Lernen 3.1.3.3 Akzeleration und Enrichment unter der Perspektive der Differenzierung 3.2 Förderung im regulären Mathematikunterricht 3.2.1 Präzisiertes Begriffsbilden 3.2.1.1 Begriffsbildung: Grenzwerte von Funktionen 3.2.1.2 Begriffsbildung: Stetigkeit 3.2.1.3 Begriffsbildung: Bestimmtes Integral 3.2.1.4 Einbettung in den Mathematikunterricht 3.2.2 Verallgemeinertes Begriffsbilden 3.2.2.1 Begriffsbildung: Vektor und Vektorraum Geometrischer Vektorbegriff mit Pfeilmengen Geometrischer Vektorbegriff mit Verschiebungen Arithmetischer Vektorbegriff Physikalischer Vektorbegriff Algebraischer Vektorbegriff 3.2.2.2 Begriffsbildung: Skalarprodukt 3.2.2.3 Einbettung in den Mathematikunterricht 3.2.3 Präzisiertes Begründen und Beweisen 3.2.3.1 Fläche von Parallelogrammen 3.2.3.2 Sinussatz 3.2.3.3 Ableitung der Sinusfunktion 3.2.3.4 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 3.2.3.5 Einbettung in den Mathematikunterricht 3.2.4 Mathematisches Experimentieren 3.2.4.1 Kombinatorisch forschen: Das MISSISSIPPI-Problem 3.2.4.2 Umkreise von Vierecken 3.2.4.3 Die Potenz 00 3.2.4.4 Einbettung in den Mathematikunterricht 3.2.4.5 Natürliche Differenzierung Aufgaben für natürliche Differenzierung Unterrichtsmethodik für natürliche Differenzierung Aspekte der Unterrichtsvorbereitung und Unterrichtsgestaltung 3.2.5 Formales Denken mit differenzierter Komplexität 3.2.5.1 Formale algebraische Operationen erhöhter Komplexität Gliedern von Termen Lösen von Gleichungen Ableiten von Funktionen 3.2.5.2 Formales Denken in inhaltlichen Kontexten: Kegel und ihr Mantel 3.2.5.3 Einbettung in den Mathematikunterricht Die Lehrkraft bietet Aufgaben unterschiedlicher formaler Komplexität an Die Lehrkraft bietet Aufgaben an, die in unterschiedlicher formaler Komplexität bearbeitet werden können Die Schüler stellen sich selbst Aufgaben unterschiedlicher formaler Komplexität 3.2.6 Modellieren mit differenzierter oder erhöhter Komplexität 3.2.6.1 Fermi-Aufgaben Fermi-Aufgaben für die gesamte Klasse Fermi-Aufgaben für Enrichment 3.2.6.2 Modellieren mit Methan-Molekülen 3.2.6.3 Modellieren zeitlicher Änderungen 3.2.6.4 Einbettung in den Mathematikunterricht 3.2.7 Lokales Theoriebilden 3.2.7.1 Eine Definition als Basis 3.2.7.2 Eigenschaften aus der Definition ableiten: Notwendige Bedingungen 3.2.7.3 Hinreichende Bedingungen 3.2.7.4 Äquivalente Charakterisierungen 3.2.7.5 Einordnung in Begriffsnetze 3.2.8 Einordnung in den Theorierahmen für Differenzierung 3.3 Schulische Förderung neben dem Mathematikunterricht 3.3.1 Das Drehtürmodell zur Begabtenförderung 3.3.2 Erarbeiten zusätzlicher mathematischer Gebiete 3.3.2.1 Beispiel: Komplexe Zahlen für Enrichment 3.3.2.2 Einführung komplexer Zahlen 3.3.2.3 Komplexe Zahlen als Punkte in der Zahlenebene 3.3.2.4 Komplexe Zahlen als Pfeile und Vektoren zur geometrischen Deutung der Grundrechenarten 3.3.2.5 Lösen quadratischer Gleichungen 3.3.2.6 Die Mandelbrot-Menge 3.3.3 Entwickeln und Implementieren von Algorithmen 3.3.3.1 Euklidischer Algorithmus für den ggT 3.3.3.2 Näherungsverfahren zur Bestimmung der Kreiszahl π Bestimmung von π mit Methoden der Geometrie, Analysis und Stochastik Das Verfahren von Cusanus 3.3.3.3 Numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen 3.3.3.4 Numerische Integration 3.3.3.5 Darstellungen der Mandelbrot-Menge 3.3.4 Problemlösen mit Knobelaufgaben 3.3.4.1 Das Schubfachprinzip Geometrische Formen als Schubfächer Eigenschaften definieren Schubfächer Reste als Schubfächer 3.3.4.2 Das Invarianzprinzip Terme führen zu Invarianten Geometrische Muster führen zu Invarianten 3.3.4.3 Das Extremalprinzip Ein extremales Objekt als Lösung identifizieren Mit einem extremalen Objekt eine Lösung entwickeln 3.3.5 Mathematische Forschungsprojekte 3.3.5.1 Forschendes Lernen 3.3.5.2 Dezimalbruchentwicklungen erforschen Untersuchung der Reste beim schriftlichen Dividieren Unterscheidung nach dem Verhalten der Folge der Reste Fazit zum Beweis Ausblick in die Algebra und Zahlentheorie 3.3.5.3 Längen von Funktionsgraphen erforschen Approximation mit Streckenzügen und numerische Auswertung Integraldarstellung der Länge eines Graphen Beispiele 3.3.5.4 Modellieren und Optimieren 3.3.6 Mathematische Lektüre 3.3.6.1 Lektüre für Schüler ab der Sekundarstufe I 3.3.6.2 Lektüre zum Übergang „Schule – Hochschule“ 3.3.6.3 Fachliteratur für das Mathematikstudium 3.3.7 Einordnung in den Theorierahmen für Differenzierung Literatur 4 Begabung als Impuls für Unterrichts- und Schulentwicklung 4.1 Die Lehrkraft als Schlüsselperson für begabte Schüler 4.1.1 Entwicklungen in überschaubaren Handlungsfeldern der Unterrichtspraxis 4.1.2 Innovationen im komplexen System „Mathematikunterricht“ 4.1.3 Entwicklung professioneller Kompetenz zur Diagnostik und Förderung mathematischer Begabung 4.2 Die Schule als Raum für die Entfaltung von Begabung 4.2.1 Systematische Diagnostik und Förderung mathematischer Begabung an einer Schule 4.2.2 Komponenten und Wege von Schulentwicklung 4.2.3 Personorientierte Schulentwicklung 4.2.4 Organisationsstruktur für Schulentwicklung 4.2.4.1 Team der Mathematiklehrkräfte 4.2.4.2 Steuergruppe 4.2.4.3 Einbezug weiterer Beteiligter 4.2.5 Prozessstruktur für Schulentwicklung 4.2.5.1 Bestandsaufnahme 4.2.5.2 Entwicklung und Vereinbarung von Zielen und Maßnahmen 4.2.5.3 Kooperative Umsetzung von Maßnahmen 4.2.5.4 Präsentation von Ergebnissen 4.2.5.5 Evaluation und Reflexion 4.2.6 Offene und forschende Haltung 4.3 Netzwerke zur Unterrichts- und Schulentwicklung 4.3.1 Kooperation mit Schulen 4.3.2 Kooperation mit Hochschulen 4.3.2.1 Förderung von Schülern 4.3.2.2 Schulentwicklung mit universitärer Begleitung 4.3.3 Kooperation mit Partnern außerhalb des (Hoch-)Schulsystems 4.3.4 Tim – ein Beispiel aus der Praxis Literatur Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Stichwortverzeichnis