Mathematik für Ökonomen : Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab

In diesem Buch finden Studierende aller wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge eine verständliche Einführung in die für sie relevanten mathematischen Methoden. Der Text ist in drei Teile gegliedert: Grundlagen Lineare Algebra mit den Schwerpunkten lineare Gleichungssysteme und lineare Optimierung Analysis mit den Schwerpunkten Finanzmathematik und Differentialrechnung Neben einer praxisnahen Motivation der Inhalte bietet das Buch auch zahlreiche Beispiele und Übungen mit Lösungen. Außerdem wird die klassische Anwendung der mathematischen Verfahren durch die Anwendung des Open-Source-Programms Scilab ergänzt und veranschaulicht. Die einzelnen Schritte dazu sind im Text beschrieben, was einen leichten Zugang zu dem Programm ermöglicht. Die 4. überarbeitete und ergänzte Auflage ist nun um einen Abschnitt über ganzzahlige lineare Optimierung ergänzt. Vorwort......Page 3 Inhalt......Page 5 --- Grundlagen......Page 11 1.1 Vorbemerkung......Page 12 1.2 Mengen......Page 13 1.2.1 Mengenoperationen......Page 16 1.2.2 Mengengesetze......Page 20 1.2.3 Zahlenmengen......Page 22 1.3 Fazit......Page 26 2.1 Vorbemerkung......Page 27 2.2 Funktionsbegriff......Page 28 2.3 Funktionen in Scilab......Page 32 2.4.1 Summenzeichen......Page 33 2.4.2 Produktzeichen......Page 37 2.4.4 Ganzzahlfunktion......Page 38 2.4.5 Potenz- und Wurzelfunktion......Page 39 2.4.6 Exponentialfunktion......Page 42 2.4.7 Logarithmusfunktion......Page 46 2.4.8 Binomischer Satz......Page 49 2.4.9 Anwendung in Scilab......Page 52 2.5 Fazit......Page 54 3.1 Vorbemerkung......Page 55 3.2 Binomialkoeffizient......Page 56 3.3.1 Permutation ohne Wiederholung......Page 57 3.3.2 Permutation mit Wiederholung......Page 58 3.4.1 Variation ohne Wiederholung......Page 59 3.4.2 Variation mit Wiederholung......Page 60 3.5.1 Kombination ohne Wiederholung......Page 61 3.5.2 Kombination mit Wiederholung......Page 62 3.6 Fazit......Page 66 --- Lineare Algebra......Page 67 4.1 Vorbemerkung......Page 68 4.2 Eigenschaften von Vektoren......Page 69 4.3.2 Skalares Vielfaches eines Vektors......Page 71 4.4 Geometrische Darstellung von Vektoren......Page 72 4.6 Linear unabhängige Vektoren und Basisvektoren......Page 73 4.7 Skalarprodukt (inneres Produkt)......Page 76 4.8 Vektoren in Scilab......Page 79 4.9 Fazit......Page 80 5.1 Vorbemerkung......Page 81 5.2 Einfache Matrizen......Page 82 5.3 Spezielle Matrizen......Page 83 5.4.1 Addition (Subtraktion) von Matrizen......Page 84 5.4.3 Multiplikation von Matrizen......Page 85 5.5 Ökonomische Anwendung......Page 86 5.6 Matrizenrechnung mit Scilab......Page 90 5.7 Fazit......Page 91 6 Lineare Gleichungssysteme......Page 92 6.2 Inhomogene lineare Gleichungssysteme......Page 93 6.2.1 Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems......Page 94 6.2.2 Linear abhängige Gleichungen im Gleichungssystem......Page 97 6.2.3 Lösen eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus......Page 99 6.3.1 Eigenschaft des Rangs......Page 106 6.3.2 Rang und lineares Gleichungssystem......Page 107 6.4 Inverse einer Matrix......Page 108 6.4.2 Berechnung der Inversen......Page 109 6.5 Ökonomische Anwendung: Input-Output-Analyse......Page 111 6.5.1 Klassische Analyse......Page 112 6.5.2 Preisanalyse......Page 114 6.5.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit Scilab......Page 118 6.6.1 Berechnung von Determinanten......Page 120 6.6.2 Einige Eigenschaften von Determinanten......Page 124 6.7.1 Eigenwerte......Page 125 6.7.2 Eigenvektoren......Page 126 6.7.3 Einige Eigenschaften von Eigenwerten......Page 127 6.7.4 Ähnliche Matrizen......Page 128 6.8 Fazit......Page 130 7.1 Vorbemerkung......Page 131 7.2 Formulierung der Grundaufgabe......Page 132 7.3 Grafische Maximierung......Page 135 7.4 Matrix-Formulierung der linearen Optimierung......Page 136 7.5 Simplex-Methode für die Maximierung......Page 137 7.6 Interpretation des Simplex-Endtableaus......Page 142 7.7.2 Degeneration......Page 145 7.7.3 Mehrdeutige Lösung......Page 146 7.8.1 Berücksichtigung von Größer-gleich-Beschränkungen......Page 147 7.8.2 Berücksichtigung von Gleichungen......Page 149 7.9 Ein Minimierungsproblem......Page 151 7.10 Grafische Minimierung......Page 152 7.11 Simplex-Methode für die Minimierung......Page 153 7.12 Dualitätstheorem der linearen Optimierung......Page 155 7.13 Lineare Optimierung mit Scilab......Page 157 7.14 Ganzzahlige Lineare Optimierung......Page 159 7.14.1 Branch and Bound Verfahren......Page 160 7.14.2 Schnittebenenverfahren......Page 162 7.16 Fazit......Page 166 --- Analysis......Page 167 8.1 Vorbemerkung......Page 168 8.2 Ganz-rationale Funktionen......Page 169 8.2.1 Partialdivision und Linearfaktorzerlegung......Page 171 8.2.2 Nullstellenberechnung mit der Regula Falsi......Page 173 8.2.3 Nullstellenberechnung mit Scilab......Page 176 8.3 Gebrochen-rationale Funktionen......Page 178 8.4 Folgen......Page 180 8.4.2 Geometrische Folge......Page 182 8.5 Reihen......Page 183 8.5.1 Arithmetische Reihe......Page 184 8.5.2 Geometrische Reihe......Page 185 8.6 Fazit......Page 187 9 Grundlagen der Finanzmathematik......Page 188 9.1 Vorbemerkung......Page 189 9.2 Tageszählkonventionen......Page 190 9.3 Lineare Zinsrechnung......Page 191 9.4.1 Nachschüssige exponentielle Verzinsung......Page 192 9.4.2 Vorschüssige exponentielle Verzinsung......Page 194 9.4.4 Unterjährige periodische Verzinsung......Page 196 9.5.1 Rentenrechnung mit linearer Verzinsung......Page 203 9.5.2 Rentenrechnung mit exponentieller Verzinsung......Page 205 9.6.2 Ewige Rente......Page 219 9.7.1 Kursberechnung......Page 221 9.7.2 Renditeberechnung für ein Wertpapier......Page 224 9.7.3 Berechnung einer Wertpapierrendite mit Scilab......Page 226 9.7.5 Barwertberechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur......Page 227 9.7.7 Duration......Page 231 9.7.8 Berechnung der Duration mit Scilab......Page 235 9.8.1 Annuität......Page 236 9.8.2 Restschuld......Page 238 9.8.3 Tilgungsrate......Page 239 9.8.4 Anfänglicher Tilgungssatz......Page 240 9.8.5 Tilgungsplan......Page 242 9.8.6 Berechnung eines Tilgungsplans mit Scilab......Page 244 9.8.7 Effektiver Kreditzinssatz......Page 245 9.8.8 Berechnung des effektiven Kreditzinssatzes mit Scilab......Page 252 9.8.9 Mittlere Kreditlaufzeit......Page 253 9.8.10 Margenbarwert eines Kredits......Page 255 9.8.11 Berechnung des Margenbarwerts mit Scilab......Page 257 9.9 Investitionsrechnung......Page 260 9.9.1 Kapitalwertmethode......Page 261 9.9.2 Methode des internen Zinssatzes......Page 262 9.9.3 Berechnungen des Kapitalwerts und des internen Zinssatzes mit Scilab......Page 264 9.9.4 Probleme der Investitionsrechnung......Page 265 9.9.5 Investitionsrechnung bei nicht-flacher Zinssatzstruktur......Page 267 9.10 Fazit......Page 272 10 Differentialrechnung für Funktionen mit 1 Variable......Page 273 10.1 Vorbemerkung......Page 274 10.2 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion......Page 275 10.3 Differentialquotient......Page 276 10.3.2 Ableitung der Exponentialfunktion......Page 279 10.3.4 Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion......Page 280 10.4.1 Konstant-Faktor-Regel......Page 281 10.4.3 Produktregel......Page 282 10.4.4 Quotientenregel......Page 284 10.4.5 Kettenregel......Page 285 10.5.1 Ableitung der Umkehrfunktion......Page 287 10.5.2 Ableitung einer logarithmierten Funktion......Page 288 10.5.3 Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a......Page 289 10.5.4 Ableitung der Logarithmusfunktion zur Basis a......Page 290 10.6 Höhere Ableitungen und Extremwerte......Page 291 10.7 Newton-Verfahren......Page 295 10.8.1 Ertragsfunktion......Page 297 10.8.2 Kostenfunktion......Page 300 10.8.3 Beziehung zwischen Grenzerlös und Preis......Page 303 10.8.4 Individuelle Angebotsplanung unter vollkommener Konkurrenz......Page 305 10.8.5 Angebotsverhalten eines Monopolisten......Page 308 10.8.6 Elastizitäten......Page 312 10.9 Fazit......Page 318 11.1 Vorbemerkung......Page 319 11.2 Funktionen mit zwei Variablen......Page 320 11.2.2 Nullstellen......Page 321 11.3.1 Partielles Differential......Page 322 11.3.3 Totales Differential......Page 324 11.3.4 Differentiation impliziter Funktionen......Page 325 11.3.5 Ökonomische Anwendungen......Page 326 11.4 Extremwertbestimmung......Page 329 11.5 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingung: Lagrange-Funktion......Page 333 11.5.1 Notwendige Bedingung für einen Extremwert......Page 334 11.5.2 Lagrange-Multiplikator......Page 338 11.5.3 Hinreichende Bedingung für ein Maximum bzw. Minimum......Page 339 11.5.4 Ökonomische Anwendung: Minimalkostenkombination......Page 343 11.5.5 Ökonomische Anwendung: Portfolio-Theorie nach Markowitz......Page 346 11.6 Fazit......Page 366 12.1 Vorbemerkung......Page 367 12.2 Das unbestimmte Integral......Page 368 12.2.1 Integrale für elementare Funktionen......Page 369 12.2.2 Integrationsregeln......Page 370 12.2.3 Ökonomische Anwendung......Page 378 12.3 Das bestimmte Integral......Page 380 12.3.1 Hauptsatz der Integralrechnung......Page 381 12.3.2 Eigenschaften bestimmter Integrale......Page 383 12.3.4 Ökonomische Anwendung......Page 385 12.3.5 Integralberechnung mit Scilab......Page 387 12.4.1 Ökonomische Anwendung......Page 388 12.4.2 Statistische Anwendung......Page 389 12.5 Fazit......Page 390 Einführung in Scilab......Page 391 Lösungen......Page 395 Literatur......Page 428 Index......Page 429 In diesem Buch finden Studierende aller wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge eine verständliche Einführung in die für sie relevanten mathematischen Methoden. Der Text ist in drei Teile gegliedert: Grundlagen Lineare Algebra mit den Schwerpunkten lineare Gleichungssysteme und lineare Optimierung Analysis mit den Schwerpunkten Finanzmathematik und Differentialrechnung Neben einer praxisnahen Motivation der Inhalte bietet das Buch auch zahlreiche Beispiele und Übungen mit Lösungen. Außerdem wird die klassische Anwendung der mathematischen Verfahren durch die Anwendung des Open-Source-Programms Scilab ergänzt und veranschaulicht. Die einzelnen Schritte dazu sind im Text beschrieben, was einen leichten Zugang zu dem Programm ermöglicht. Die 4. überarbeitete und ergänzte Auflage ist nun um einen Abschnitt über ganzzahlige lineare Optimierung ergänzt. Die Autoren Prof. Dr. Wolfgang Kohn und Prof. Dr. Riza Öztürk, FH Bielefeld, lehren und forschen im Bereich "Mathematische und statistische Verfahren in der BWL und VWL."