Mathematik für Naturwissenschaftler - Was Sie im Bachelor wirklich brauchen und in der Schule nicht lernen

Mathematik ist ein ziemliches Schreckgespenst für viele Studienanfänger in den Naturwissenschaften. Dabei muss das gar nicht sein. In diesem Buch geht der Autor einen neuen Weg. Statt alte Schulstoffe zu wiederholen, kann er die gewonnene Zeit nutzen, um Sie mit vielen anschaulichen Beispielen in die höhere Mathematik zu führen. Ohne Zahnweh lernen Sie so die mehrdimensionale Analysis kennen. Dabei dient der Schulstoff immer wieder als Unterbau. Mit seinem lockeren Erzählstil hat der Autor in vielen Fernsehbeiträgen einem Millionenpublikum Mathematik nahe gebracht. In derselben Art nimmt er Ihnen so den Schrecken vor schwierigen mathematischen Fragen. Sie lernen sogar, wie leicht man mit partiellen Differentialgleichungen umgehen kann. Sie werden erstaunt sein, wie früh Sie im Studium mit solchen Aufgaben konfrontiert werden, und dankbar dieses Buch zu Rate ziehen. Das Werk ist für die zweite Auflage vollständig durchgesehen und um ein Kapitel zu den mathematischen Grundlagen zu Computer Aided Design (CAD) ergänzt Norbert Herrmann, Mathematiker am Institut für Angewandte Mathematik der Leibniz Universität Hannover, spricht seit Jahren in vielen Beiträgen von Funk, Fernsehen und Printmedien von der Schönheit und Eleganz der Mathematik. In seinen populärwissenschaftlichen Büchern hat er diese Ideen einem breiten Publikum nahe gebracht. Vorwort zur zweiten Auflage 5 Vorwort zur ersten Auflage 6 Inhaltsverzeichnis 8 1 Matrizen 12 1.1 Einleitung 12 1.2 Erklärungen und Bezeichnungen 13 1.3 Rechnen mit Matrizen 16 1.4 Rang einer Matrix 21 1.5 Quadratische Matrizen 25 1.6 Inverse Matrizen 28 1.7 Orthogonale Matrizen 29 2 Determinanten 33 2.1 Erste einfache Erklärungen 33 2.2 Elementare Umformungen 36 3 Lineare Gleichungssysteme 40 3.1 Bezeichnungen 40 3.2 Existenz und Eindeutigkeit 41 3.3 Determinantenkriterium 44 3.4 L-R-Zerlegung 45 3.4.1 Die Grundaufgabe 45 3.4.2 Existenz der L-R-Zerlegung 50 3.4.3 L-R-Zerlegung und lineare Gleichungssysteme 51 3.5 Pivotisierung 53 3.5.1 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und lineare Gleichungssysteme 58 3.5.2 L-R-Zerlegung, Pivotisierung und inverse Matrix 60 4 Funktionen mehrerer Veränderlicher – Stetigkeit 63 4.1 Erste Erklärungen 63 4.2 Beschränktheit 66 4.3 Grenzwert einer Funktion 69 4.4 Stetigkeit 71 5 Funktionen mehrerer Veränderlicher – Differenzierbarkeit 75 5.1 Partielle Ableitung 75 5.2 Höhere Ableitungen 81 5.3 Totale Ableitung 83 5.4 Richtungsableitung 90 5.5 Relative Extrema 96 5.6 Wichtige Sätze der Analysis 103 6 Kurvenintegrale 109 6.1 Kurvenstücke 109 6.2 Kurvenintegral 1. Art 111 6.2.1 Sonderfall 115 6.2.2 Kurvenlänge 116 6.3 Kurvenintegral 2. Art 119 6.4 Kurvenhauptsatz 125 7 Doppelintegrale 134 7.1 Berechnung des Doppelintegrals 135 7.1.1 Erste Berechnungsmethode 135 7.1.2 Zweite Berechnungsmethode 137 7.2 Transformation der Variablen 139 7.3 Rechenregeln 142 8 Dreifachintegrale 146 8.1 Berechnung 147 8.2 Rechenregeln 148 8.3 Transformation der Variablen 149 8.4 Kugel- und Zylinderkoordinaten 149 9 Oberflächenintegrale 153 9.1 Oberflächenintegrale 1. Art 153 9.2 Oberflächenintergale 2. Art 157 10 Integralsätze 163 10.1 Divergenz 163 10.2 Der Divergenzsatz von Gauß 164 10.3 Der Satz von Stokes 166 11 Interpolation mit Splines 172 11.1 Einführendes Beispiel 172 11.2 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation 174 11.3 Interpolation mit linearen Splines 177 11.4 Interpolation mit Hermite-Splines 183 11.5 Interpolation mit kubischen Splines 189 12 CAD 195 12.1 Punkte und Vektoren 196 12.2 Der de Casteljau-Algorithmus 198 12.3 Bernstein-Polynome und ihre grundlegenden Eigenschaften 200 12.4 Definition von Bézier-Kurven mit Bernstein-Polynomen 202 12.5 Der Bernstein-Operator 204 12.6 Komonotone C1-Interpolation 208 12.7 Komonotone C2-Interpolation 219 12.8 Ebene Kurven und das Viertelkriterium 221 12.9 Anwendungen 228 12.10 Ausgleich mit kubischen Splinefunktionen 233 12.11 Weitere Anwendungen 239 13 Gewöhnliche Differentialgleichungen 242 13.1 Diese Mathematiker immer mit Existenz und Eindeutigkeit 243 13.2 Existenz und Eindeutigkeit 243 13.3 Numerische Verfahren 247 13.4 Euler-Polygonzug-Verfahren 247 13.5 Zur Konvergenz des Euler-Verfahrens 251 13.6 Runge-Kutta-Verfahren 254 13.7 Zur Konvergenz des Runge-Kutta-Verfahrens 256 13.8 Ausblick 256 14 Partielle Differentialgleichungen 258 14.1 Typeinteilung 258 14.2 Laplace- und Poisson-Gleichung 260 14.2.1 Eindeutigkeit und Stabilität 261 14.2.2 Zur Existenz 262 14.2.3 Differenzenverfahren für die Poissongleichung 262 14.2.4 Zur Konvergenz 267 14.3 Die Wärmeleitungsgleichung 270 14.3.1 Eindeutigkeit und Stabilität 270 14.3.2 Zur Existenz 271 14.3.3 Differenzenverfahren für die Wärmeleitungsgleichung 273 14.3.4 Stabilität des Differenzenverfahrens 277 14.4 Die Wellengleichung 280 14.4.1 Eindeutigkeit und Stabilität 282 14.4.2 Zur Existenz 283 14.4.3 Differenzenverfahren für die Wellengleichung 283 14.4.4 Stabilität des Differenzenverfahrens 287 15 Kurze Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 289 15.1 Kombinatorik 289 15.1.1 Permutationen 289 15.1.2 Variationen 292 15.1.3 Kombinationen 294 15.1.4 Ein Sitz- und ein ungelöstes Problem 297 15.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 299 15.2.1 Definitionsversuch nach Laplace und von Mises 299 15.2.2 Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie 304 15.2.3 Einige elementare Sätze 306 15.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit 307 15.2.5 Zufallsvariable 313 15.2.6 Verteilungsfunktion 314 15.2.7 Erwartungswert und Streuung 317 15.2.8 Tschebyscheffsche Ungleichung 319 15.2.9 Gesetz der großen Zahlen 320 15.2.10 Binomialverteilung 321 15.2.11 Poissonverteilung 322 15.2.12 Gauß- oder Normalverteilung 323 15.2.13 Grenzwertsätze 325 Literatur 327 Stichwortverzeichnis 329 Stichwortverzeichnis 329 Front Matter ....Pages I-XII Matrizen (Norbert Herrmann)....Pages 1-21 Determinanten (Norbert Herrmann)....Pages 23-29 Lineare Gleichungssysteme (Norbert Herrmann)....Pages 31-53 Funktionen mehrerer Veränderlicher – Stetigkeit (Norbert Herrmann)....Pages 55-66 Funktionen mehrerer Veränderlicher – Differenzierbarkeit (Norbert Herrmann)....Pages 67-100 Kurvenintegrale (Norbert Herrmann)....Pages 101-125 Doppelintegrale (Norbert Herrmann)....Pages 127-138 Dreifachintegrale (Norbert Herrmann)....Pages 139-145 Oberflächenintegrale (Norbert Herrmann)....Pages 147-156 Integralsätze (Norbert Herrmann)....Pages 157-165 Interpolation mit Splines (Norbert Herrmann)....Pages 167-189 CAD (Norbert Herrmann)....Pages 191-237 Gewöhnliche Differentialgleichungen (Norbert Herrmann)....Pages 239-254 Partielle Differentialgleichungen (Norbert Herrmann)....Pages 255-285 Kurze Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Norbert Herrmann)....Pages 287-324 Back Matter ....Pages 325-331 Mathematik ist ein ziemliches Schreckgespenst für viele Studienanfänger in den Naturwissenschaften. Dabei muss das gar nicht sein. In diesem Buch geht der Autor einen neuen Weg. Statt alte Schulstoffe zu wiederholen, kann er die gewonnene Zeit nutzen, um Sie mit vielen anschaulichen Beispielen in die höhere Mathematik zu führen. Ohne Zahnweh lernen Sie so die mehrdimensionale Analysis kennen. Dabei dient der Schulstoff immer wieder als Unterbau. Mit seinem lockeren Erzählstil hat der Autor in vielen Fernsehbeiträgen einem Millionenpublikum Mathematik nahe gebracht hat. In derselben Art nimmt er Ihnen so den Schrecken vor schwierigen mathematischen Fragen. Sie lernen sogar, wie leicht man mit partiellen Differentialgleichungen umgehen kann. Sie werden erstaunt sein, wie früh Sie im Studium mit solchen Aufgaben konfrontiert werden, und dankbar dieses Buch zu Rate ziehen Mathematik ist ein ziemliches Schreckgespenst fur viele Studienanfanger in den Naturwissenschaften. In diesem Buch geht der Autor einen neuen Weg.Statt alte Schulstoffe zu wiederholen, kann er die gewonnene Zeit nutzen, um Sie mit vielen anschaulichen Beispielen in die hoehere Mathematik zu fuhren.