Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1, 13. Auflage

Cover......Page 1 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1, 13. Auflage......Page 4 ISBN 9783834817495......Page 5 Vorwort......Page 6 Inhaltsverzeichnis......Page 10 Inhaltsübersicht Band 2......Page 22 Inhaltsübersicht Band 3......Page 24 1.1 Definition und Darstellung einer Menge......Page 26 1.2 Mengenoperationen......Page 28 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften......Page 31 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag......Page 32 2.3 Teilmengen und Intervalle......Page 33 3 Gleichungen......Page 34 3.2 Quadratische Gleichungen......Page 35 3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung......Page 36 3.3.3 Biquadratische Gleichungen......Page 37 3.4 Wurzelgleichungen......Page 38 3.5.1 Definition der Betragsfunktion......Page 40 3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel)......Page 43 3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beipiel)......Page 44 4 Ungleichungen......Page 45 5.1 Ein einführendes Beispiel......Page 48 5.2 Der Gaußsche Algorithmus......Page 51 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes......Page 60 6 Der Binomische Lehrsatz......Page 62 Zu Abschnitt 3......Page 66 Zu Abschnitt 5......Page 67 Zu Abschnitt 6......Page 69 1.1 Definition eines Vektors......Page 70 1.2 Gleichheit von Vektoren......Page 71 1.3 Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren......Page 72 1.4 Vektoroperationen......Page 73 1.4.1 Addition von Vektoren......Page 74 1.4.2 Subtraktion von Vektoren......Page 76 1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 77 2.1 Komponentendarstellung eines Vektors......Page 79 2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 83 2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren......Page 84 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes......Page 86 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren......Page 89 2.4 Linear unabhängige Vektoren......Page 92 2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems......Page 94 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum......Page 96 3.1 Komponentendarstellung eines Vektors......Page 97 3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 100 3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren......Page 102 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes......Page 104 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren......Page 107 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors......Page 108 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor......Page 110 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft......Page 113 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes......Page 115 3.4.2 Anwendungsbeispiele......Page 121 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)......Page 123 3.6 Linear unabhängige Vektoren......Page 127 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden......Page 130 4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden......Page 132 4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden......Page 133 4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden......Page 135 4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden......Page 137 4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden......Page 139 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene......Page 142 4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene......Page 144 4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor......Page 147 4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene......Page 148 4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene......Page 150 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene......Page 151 4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen......Page 155 4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen......Page 157 Zu Abschnitt 2 und 3......Page 160 Zu Abschnitt 4......Page 166 1.1 Definition einer Funktion......Page 171 1.2.1 Analytische Darstellung......Page 172 1.2.3 Graphische Darstellung......Page 173 1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion......Page 174 2.1 Nullstellen......Page 176 2.2 Symmetrieverhalten......Page 177 2.3 Monotonie......Page 179 2.4 Periodizität......Page 182 2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion......Page 184 3.1 Ein einführendes Beispiel......Page 188 3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems......Page 189 3.3.1 Definition der Polarkoordinaten......Page 193 3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten......Page 196 4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge......Page 198 4.1.2 Grenzwert einer Folge......Page 200 4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ! x 0......Page 202 4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x......Page 206 4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte......Page 208 4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems......Page 209 4.3 Stetigkeit einer Funktion......Page 210 4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge)......Page 211 5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion......Page 215 5.2 Konstante und lineare Funktionen......Page 216 5.3 Quadratische Funktionen......Page 219 5.4 Polynomfunktionen höheren Grades......Page 223 5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion......Page 228 5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung......Page 232 5.6.2 Interpolationspolynom von Newton......Page 233 6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion......Page 237 6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole......Page 238 6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen......Page 244 6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators......Page 247 7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten......Page 248 7.2 Wurzelfunktionen......Page 250 7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten......Page 253 7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld......Page 254 8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten......Page 255 8.2 Gleichungen eines Kreises......Page 256 8.3 Gleichungen einer Ellipse......Page 257 8.4. Gleichungen einer Hyperbel......Page 259 8.5. Gleichungen einer Parabel......Page 262 8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten......Page 264 9.1 Grundbegriffe......Page 268 9.2 Sinusund Kosinusfunktion......Page 273 9.3 Tangensund Kotangensfunktion......Page 274 9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen......Page 275 9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)......Page 277 9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm......Page 283 9.5.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen......Page 290 9.5.4 Lissajous-Figuren......Page 295 10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen......Page 296 10.2 Arkussinusfunktion......Page 297 10.3 Arkuskosinusfunktion......Page 299 10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion......Page 300 10.5 Trigonometrische Gleichungen......Page 303 11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion......Page 305 11.3.1 Abklingfunktionen......Page 307 11.3.2 Sättigungsfunktionen......Page 310 11.3.3 Wachstumsfunktionen......Page 313 11.3.4 Gedämpfte Schwingungen......Page 314 11.3.5 Gauß-Funktionen......Page 316 12.1 Grundbegriffe......Page 317 12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion......Page 320 12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen......Page 323 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen......Page 325 13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x......Page 326 13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x......Page 328 13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen......Page 329 13.2.2 Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x......Page 330 13.2.3 Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x......Page 331 13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen......Page 332 13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes......Page 333 Zu Abschnitt 1......Page 334 Zu Abschnitt 2......Page 335 Zu Abschnitt 3......Page 336 Zu Abschnitt 4......Page 337 Zu Abschnitt 5......Page 338 Zu Abschnitt 6......Page 341 Zu Abschnitt 8......Page 342 Zu Abschnitt 11, 12 und 13......Page 345 1.1 Das Tangentenproblem......Page 348 1.2 Ableitung einer Funktion......Page 349 1.3 Ableitung der elementaren Funktionen......Page 353 2.1 Faktorregel......Page 356 2.2 Summenregel......Page 357 2.3 Produktregel......Page 358 2.4 Quotientenregel......Page 360 2.5 Kettenregel......Page 362 2.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln......Page 368 2.7 Logarithmische Ableitung......Page 369 2.8 Ableitung der Umkehrfunktion......Page 371 2.9 Implizite Differentiation......Page 372 2.10 Differential einer Funktion......Page 375 2.11 Höhere Ableitungen......Page 377 2.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve)......Page 379 2.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve......Page 382 2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung)......Page 386 2.14.2 Induktionsgesetz......Page 389 2.14.3 Elektrischer Schwingkreis......Page 390 3.1 Tangente und Normale......Page 391 3.2 Linearisierung einer Funktion......Page 393 3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen......Page 396 3.3.2 Monotonie......Page 397 3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve......Page 399 3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte......Page 407 3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte......Page 413 3.4.3 Ergänzungen......Page 417 3.5 Extremwertaufgaben......Page 419 3.6 Kurvendiskussion......Page 425 3.7.1 Iterationsverfahren......Page 431 3.7.2 Tangentenverfahren von Newton......Page 432 Zu Abschnitt 2......Page 439 Zu Abschnitt 3......Page 443 1 Integration als Umkehrung der Differentiation......Page 447 2.1 Ein einführendes Beispiel......Page 451 2.2 Das bestimmte Integral......Page 454 3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion......Page 461 4 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung......Page 465 5 Grund- oder Stammintegrale......Page 469 6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion......Page 471 7 Elementare Integrationsregeln......Page 475 8.1.1 Ein einführendes Beispiel......Page 478 8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen......Page 479 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration......Page 487 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden......Page 493 8.3.1 Partialbruchzerlegung......Page 494 8.3.2 Integration der Partialbrüche......Page 496 8.4 Numerische Integrationsmethoden......Page 500 8.4.1 Trapezformel......Page 501 8.4.2 Simpsonsche Formel......Page 506 9 Uneigentliche Integrale......Page 512 9.1 Unendliches Integrationsintervall......Page 513 9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol)......Page 517 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung......Page 520 10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens......Page 523 10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes......Page 525 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen)......Page 526 10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven......Page 531 10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen)......Page 537 10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve......Page 543 10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche)......Page 546 10.6 Arbeitsund Energiegrößen......Page 550 10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte......Page 556 10.8.1 Grundbegriffe......Page 561 10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche......Page 563 10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers......Page 569 10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele......Page 574 10.9.2 Satz von Steiner......Page 577 10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers......Page 579 Zu Abschnitt 1 bis 7......Page 584 Zu Abschnitt 8......Page 587 Zu Abschnitt 9......Page 589 Zu Abschnitt 10......Page 590 1.1 Ein einführendes Beispiel......Page 595 1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe......Page 597 1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe......Page 598 1.2.3 ber den Umgang mit unendlichen Reihen......Page 602 1.3 Konvergenzkriterien......Page 603 1.3.1 Quotientenkriterium......Page 604 1.3.3 Vergleichskriterien......Page 608 1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen......Page 611 1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen......Page 613 2.1 Definition einer Potenzreihe......Page 615 2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe......Page 616 2.3 Eigenschaften der Potenzreihen......Page 621 3 Taylor-Reihen......Page 622 3.1 Ein einführendes Beispiel......Page 623 3.2.1 Mac Laurinsche Reihe......Page 624 3.2.2 Taylorsche Reihe......Page 632 3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen......Page 633 3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion......Page 635 3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden......Page 646 3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital......Page 649 3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes......Page 655 Zu Abschnitt 1......Page 658 Zu Abschnitt 3......Page 660 1.1 Definition einer komplexen Zahl......Page 665 1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene......Page 668 1.3 Weitere Grundbegriffe......Page 671 1.4.2 Trigonometrische Form......Page 674 1.4.3 Exponentialform......Page 677 1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen......Page 679 1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen......Page 680 2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen......Page 686 2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen......Page 688 2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung)......Page 697 2.2 Potenzieren......Page 698 2.3 Radizieren (Wurzelziehen)......Page 700 2.4 Natürlicher Logarithmus......Page 706 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger......Page 708 3.1.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen......Page 712 3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen......Page 715 3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik......Page 716 3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte......Page 718 3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung......Page 723 4.1 Ein einführendes Beispiel......Page 726 4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe......Page 727 4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve)......Page 730 4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve)......Page 731 4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl)......Page 732 4.4.2 Inversionsregeln......Page 734 4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve......Page 736 Zu Abschnitt 1......Page 739 Zu Abschnitt 2......Page 740 Zu Abschnitt 3......Page 742 Zu Abschnitt 4......Page 744 I Allgemeine Grundlagen......Page 746 II Vektoralgebra......Page 753 III Funktionen und Kurven......Page 765 IV Differentialrechnung......Page 780 V Integralrechnung......Page 799 VI Potenzreihenentwicklungen......Page 809 VII Komplexe Zahlen und Funktionen......Page 822 Literaturhinweise......Page 833 Sachwortverzeichnis......Page 834 Cover......Page 1 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1, 13. Auflage......Page 4 ISBN 9783834817495......Page 5 Vorwort......Page 6 Inhaltsverzeichnis......Page 10 Inhaltsübersicht Band 2......Page 22 Inhaltsübersicht Band 3......Page 24 1.1 Definition und Darstellung einer Menge......Page 26 1.2 Mengenoperationen......Page 28 2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften......Page 31 2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag......Page 32 2.3 Teilmengen und Intervalle......Page 33 3 Gleichungen......Page 34 3.2 Quadratische Gleichungen......Page 35 3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung......Page 36 3.3.3 Biquadratische Gleichungen......Page 37 3.4 Wurzelgleichungen......Page 38 3.5.1 Definition der Betragsfunktion......Page 40 3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel)......Page 43 3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beipiel)......Page 44 4 Ungleichungen......Page 45 5.1 Ein einführendes Beispiel......Page 48 5.2 Der Gaußsche Algorithmus......Page 51 5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes......Page 60 6 Der Binomische Lehrsatz......Page 62 Zu Abschnitt 3......Page 66 Zu Abschnitt 5......Page 67 Zu Abschnitt 6......Page 69 1.1 Definition eines Vektors......Page 70 1.2 Gleichheit von Vektoren......Page 71 1.3 Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren......Page 72 1.4 Vektoroperationen......Page 73 1.4.1 Addition von Vektoren......Page 74 1.4.2 Subtraktion von Vektoren......Page 76 1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 77 2.1 Komponentendarstellung eines Vektors......Page 79 2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 83 2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren......Page 84 2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes......Page 86 2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren......Page 89 2.4 Linear unabhängige Vektoren......Page 92 2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems......Page 94 3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum......Page 96 3.1 Komponentendarstellung eines Vektors......Page 97 3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar......Page 100 3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren......Page 102 3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes......Page 104 3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren......Page 107 3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors......Page 108 3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor......Page 110 3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft......Page 113 3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes......Page 115 3.4.2 Anwendungsbeispiele......Page 121 3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)......Page 123 3.6 Linear unabhängige Vektoren......Page 127 4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden......Page 130 4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden......Page 132 4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden......Page 133 4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden......Page 135 4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden......Page 137 4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden......Page 139 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene......Page 142 4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene......Page 144 4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor......Page 147 4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene......Page 148 4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene......Page 150 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene......Page 151 4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen......Page 155 4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen......Page 157 Zu Abschnitt 2 und 3......Page 160 Zu Abschnitt 4......Page 166 1.1 Definition einer Funktion......Page 171 1.2.1 Analytische Darstellung......Page 172 1.2.3 Graphische Darstellung......Page 173 1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion......Page 174 2.1 Nullstellen......Page 176 2.2 Symmetrieverhalten......Page 177 2.3 Monotonie......Page 179 2.4 Periodizität......Page 182 2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion......Page 184 3.1 Ein einführendes Beispiel......Page 188 3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems......Page 189 3.3.1 Definition der Polarkoordinaten......Page 193 3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten......Page 196 4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge......Page 198 4.1.2 Grenzwert einer Folge......Page 200 4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ! x 0......Page 202 4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x......Page 206 4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte......Page 208 4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems......Page 209 4.3 Stetigkeit einer Funktion......Page 210 4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge)......Page 211 5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion......Page 215 5.2 Konstante und lineare Funktionen......Page 216 5.3 Quadratische Funktionen......Page 219 5.4 Polynomfunktionen höheren Grades......Page 223 5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion......Page 228 5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung......Page 232 5.6.2 Interpolationspolynom von Newton......Page 233 6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion......Page 237 6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole......Page 238 6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen......Page 244 6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators......Page 247 7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten......Page 248 7.2 Wurzelfunktionen......Page 250 7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten......Page 253 7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld......Page 254 8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten......Page 255 8.2 Gleichungen eines Kreises......Page 256 8.3 Gleichungen einer Ellipse......Page 257 8.4. Gleichungen einer Hyperbel......Page 259 8.5. Gleichungen einer Parabel......Page 262 8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten......Page 264 9.1 Grundbegriffe......Page 268 9.2 Sinusund Kosinusfunktion......Page 273 9.3 Tangensund Kotangensfunktion......Page 274 9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen......Page 275 9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)......Page 277 9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm......Page 283 9.5.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen......Page 290 9.5.4 Lissajous-Figuren......Page 295 10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen......Page 296 10.2 Arkussinusfunktion......Page 297 10.3 Arkuskosinusfunktion......Page 299 10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion......Page 300 10.5 Trigonometrische Gleichungen......Page 303 11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion......Page 305 11.3.1 Abklingfunktionen......Page 307 11.3.2 Sättigungsfunktionen......Page 310 11.3.3 Wachstumsfunktionen......Page 313 11.3.4 Gedämpfte Schwingungen......Page 314 11.3.5 Gauß-Funktionen......Page 316 12.1 Grundbegriffe......Page 317 12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion......Page 320 12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen......Page 323 13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen......Page 325 13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y 1⁄4 sinh x und y 1⁄4 cosh x......Page 326 13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y 1⁄4 tanh x und y 1⁄4 coth x......Page 328 13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen......Page 329 13.2.2 Die Areafunktionen y 1⁄4 arsinh x und y 1⁄4 arcosh x......Page 330 13.2.3 Die Areafunktionen y 1⁄4 artanh x und y 1⁄4 arcoth x......Page 331 13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen......Page 332 13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes......Page 333 Zu Abschnitt 1......Page 334 Zu Abschnitt 2......Page 335 Zu Abschnitt 3......Page 336 Zu Abschnitt 4......Page 337 Zu Abschnitt 5......Page 338 Zu Abschnitt 6......Page 341 Zu Abschnitt 8......Page 342 Zu Abschnitt 11, 12 und 13......Page 345 1.1 Das Tangentenproblem......Page 348 1.2 Ableitung einer Funktion......Page 349 1.3 Ableitung der elementaren Funktionen......Page 353 2.1 Faktorregel......Page 356 2.2 Summenregel......Page 357 2.3 Produktregel......Page 358 2.4 Quotientenregel......Page 360 2.5 Kettenregel......Page 362 2.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln......Page 368 2.7 Logarithmische Ableitung......Page 369 2.8 Ableitung der Umkehrfunktion......Page 371 2.9 Implizite Differentiation......Page 372 2.10 Differential einer Funktion......Page 375 2.11 Höhere Ableitungen......Page 377 2.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve)......Page 379 2.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve......Page 382 2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung)......Page 386 2.14.2 Induktionsgesetz......Page 389 2.14.3 Elektrischer Schwingkreis......Page 390 3.1 Tangente und Normale......Page 391 3.2 Linearisierung einer Funktion......Page 393 3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen......Page 396 3.3.2 Monotonie......Page 397 3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve......Page 399 3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte......Page 407 3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte......Page 413 3.4.3 Ergänzungen......Page 417 3.5 Extremwertaufgaben......Page 419 3.6 Kurvendiskussion......Page 425 3.7.1 Iterationsverfahren......Page 431 3.7.2 Tangentenverfahren von Newton......Page 432 Zu Abschnitt 2......Page 439 Zu Abschnitt 3......Page 443 1 Integration als Umkehrung der Differentiation......Page 447 2.1 Ein einführendes Beispiel......Page 451 2.2 Das bestimmte Integral......Page 454 3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion......Page 461 4 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung......Page 465 5 Grund- oder Stammintegrale......Page 469 6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion......Page 471 7 Elementare Integrationsregeln......Page 475 8.1.1 Ein einführendes Beispiel......Page 478 8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen......Page 479 8.2 Partielle Integration oder Produktintegration......Page 487 8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden......Page 493 8.3.1 Partialbruchzerlegung......Page 494 8.3.2 Integration der Partialbrüche......Page 496 8.4 Numerische Integrationsmethoden......Page 500 8.4.1 Trapezformel......Page 501 8.4.2 Simpsonsche Formel......Page 506 9 Uneigentliche Integrale......Page 512 9.1 Unendliches Integrationsintervall......Page 513 9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol)......Page 517 10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung......Page 520 10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens......Page 523 10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes......Page 525 10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen)......Page 526 10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven......Page 531 10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen)......Page 537 10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve......Page 543 10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche)......Page 546 10.6 Arbeitsund Energiegrößen......Page 550 10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte......Page 556 10.8.1 Grundbegriffe......Page 561 10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche......Page 563 10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers......Page 569 10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele......Page 574 10.9.2 Satz von Steiner......Page 577 10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers......Page 579 Zu Abschnitt 1 bis 7......Page 584 Zu Abschnitt 8......Page 587 Zu Abschnitt 9......Page 589 Zu Abschnitt 10......Page 590 1.1 Ein einführendes Beispiel......Page 595 1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe......Page 597 1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe......Page 598 1.2.3 ber den Umgang mit unendlichen Reihen......Page 602 1.3 Konvergenzkriterien......Page 603 1.3.1 Quotientenkriterium......Page 604 1.3.3 Vergleichskriterien......Page 608 1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen......Page 611 1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen......Page 613 2.1 Definition einer Potenzreihe......Page 615 2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe......Page 616 2.3 Eigenschaften der Potenzreihen......Page 621 3 Taylor-Reihen......Page 622 3.1 Ein einführendes Beispiel......Page 623 3.2.1 Mac Laurinsche Reihe......Page 624 3.2.2 Taylorsche Reihe......Page 632 3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen......Page 633 3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion......Page 635 3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden......Page 646 3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital......Page 649 3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes......Page 655 Zu Abschnitt 1......Page 658 Zu Abschnitt 3......Page 660 1.1 Definition einer komplexen Zahl......Page 665 1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene......Page 668 1.3 Weitere Grundbegriffe......Page 671 1.4.2 Trigonometrische Form......Page 674 1.4.3 Exponentialform......Page 677 1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen......Page 679 1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen......Page 680 2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen......Page 686 2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen......Page 688 2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung)......Page 697 2.2 Potenzieren......Page 698 2.3 Radizieren (Wurzelziehen)......Page 700 2.4 Natürlicher Logarithmus......Page 706 3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger......Page 708 3.1.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen......Page 712 3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen......Page 715 3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik......Page 716 3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte......Page 718 3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung......Page 723 4.1 Ein einführendes Beispiel......Page 726 4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe......Page 727 4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve)......Page 730 4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve)......Page 731 4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl)......Page 732 4.4.2 Inversionsregeln......Page 734 4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve......Page 736 Zu Abschnitt 1......Page 739 Zu Abschnitt 2......Page 740 Zu Abschnitt 3......Page 742 Zu Abschnitt 4......Page 744 I Allgemeine Grundlagen......Page 746 II Vektoralgebra......Page 753 III Funktionen und Kurven......Page 765 IV Differentialrechnung......Page 780 V Integralrechnung......Page 799 VI Potenzreihenentwicklungen......Page 809 VII Komplexe Zahlen und Funktionen......Page 822 Literaturhinweise......Page 833 Sachwortverzeichnis......Page 834