Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen (Vorlesungsmanuskript Wintersemester 2019/20)

Einleitung Elementare Logik Aussagen, Mengen, Folgerungen Elementare Beweismethoden Vollständige Induktion Übungsaufgaben Grundkonstruktionen Elementare Mengenkonstruktionen Relationen Abbildungen Äquivalenzrelationen Übungsaufgaben Zahlen Die ganzen Zahlen und Division mit Rest Fundamentalsatz der Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler und Euklidischer Algorithmus Der chinesische Restsatz Primfaktorisierung Übungsaufgaben Gruppen Übersicht Gruppen und Operationen Grundbegriffe Gruppenoperationen Operation durch Translation Bahnengleichung Anwendung: Aufzählen von Graphen Normalteiler Normalteiler und Quotientengruppe Homomorphiesatz Übungsaufgaben Ringe Übersicht Grundbegriffe Ringerweiterungen Die Einheitengruppe von Z/n Anwendung: RSA Kryptosystem Übersicht Setup Nachrichtenübertragung Anwendung: Primfaktorisierung mit dem Verfahren von Pollard Anwendung: Diffie-Hellman Schlüsselaustausch Ideale und Quotientenringe Integritätsringe und Körper Euklidische Ringe Chinesischer Restsatz Anwendung: Modulares Rechnen Anwendung: Interpolation Übungsaufgaben Vektorräume Übersicht Gaußalgorithmus Vektorräume und Basen Dimension Vektorraumhomomorphismen Inhomogene lineare Gleichungssysteme Darstellende Matrix eines Homomorphismus Gauß mit Zeilen- und Spaltentransformationen Homomorphiesatz Isomorphismen Basiswechsel Klassifikation von Homomorphismen Anwendung: Lineare Codes Setup Fehlererkennung Fehlerkorrektur Determinanten Anwendung: Eigenvektoren und Page-Rank Setup Eigenwerte und Eigenvektoren Markovmatrizen Übungsaufgaben Anhang: Computeralgebra Maple Singular