Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis (German Edition)

Dies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Grundlagen und danach den Stoff der linearen Algebra und eindimensionalen Analysis. Damit deckt es den Stoff ab, der an Universitäten wesentlich im ersten Semester behandelt wird. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure. Hiermit liegt der erste Band einer dreiteiligen Reihe vor, welche die Themen beinhaltet, die gewöhnlich Inhalt der Basisvorlesungen sind; darüber hinaus werden im letzten Band Grundlagen für das Beherrschen von weiteren Themen in Spezialvorlesungen geboten. Es liegt also eine konsistente Reihe für wichtige Teile der mathematischen Ausbildung vor. Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen. Die Autoren bringen ihre Erfahrungen aus zahlreichen erfolgreichen Vorlesungen und Übungen zum Nutzen der Studierenden ein. **Auf einen Blick:** * Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur. * Zahlreiche Erläuterungen. * Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert. * Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen. * Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen. * Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art. Das Buch ist für die zweite Auflage komplett durchgesehen und um zahlreiche Aufgaben mit Lösungen ergänzt. Über dieses Buch 5 Inhaltsverzeichnis 9 Teil I Grundlagen 15 1 Elementare Logik und Mengenlehre 16 Einblick 16 Aussagen, Junktoren und Wahrheitstafeln 16 Sätze der Aussagenlogik 18 Prädikate und Quantoren 20 Mengen 23 Zahlen und Intervalle 25 Eigenschaften und Verknüpfungen von Mengen 27 Neue Buchstaben 30 Ausblick 30 Selbsttest 32 2 Definition, Satz, Beweis und mehr 33 Einblick 33 Grundlegendste Elemente bei der Formulierung von Mathematik 33 Formen des Beweisens 35 Direkte und indirekte Beweise 35 Konstruktive und nichtkonstruktive Beweise 37 Der Ringschluss 38 Das Gegenbeispiel 40 Vollständige Induktion 40 Ausblick 42 Selbsttest 43 3 Abbildungen 44 Einblick 44 Grundlegendes zu Abbildungen 44 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität 46 Die Komposition von Abbildungen 48 Ausblick 50 Selbsttest 51 4 Körper und komplexe Zahlen 52 Einblick 52 Körper 52 Die komplexen Zahlen 55 Ausblick 60 Selbsttest 61 Aufgaben zu den mathematischen Grundlagen 62 Teil II Lineare Algebra 64 5 Vektorräume 65 Einblick 65 Grundlegendes zu Vektorräumen 65 Ausblick 73 Selbsttest 74 6 Basen und Untervektorräume 75 Einblick 75 Spann und Erzeugendensystem 75 Lineare Unabhängigkeit, Basis 77 Eindeutigkeit der Basisdarstellung, Untervektorräume 80 Ausblick 83 Selbsttest 84 7 Lineare Abbildungen und Dimensionssätze 85 Einblick 85 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 85 Kern und Bild linearer Abbildungen 87 Dimensionssätze 89 Ausblick 90 Selbsttest 92 8 Matrizen 93 Einblick 93 Grundlegendes zu Matrizen 93 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung 94 Der Rang einer Matrix 95 Das Matrizenprodukt 97 Besondere Matrizen 100 Ausblick 101 Selbsttest 102 9 Lineare Gleichungssysteme 103 Einblick 103 Grundlegendes zu linearen Gleichungssystemen und Gauß-Algorithmus 103 Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems 106 Ausblick 110 Selbsttest 112 10 Die Determinante 113 Einblick 113 Der Laplace’sche Entwicklungssatz 113 Berechnung von Determinanten in einfachen Fällen 116 Eigenschaften der Determinanten 118 Ausblick 120 Selbsttest 121 11 Eigenwerte und Eigenvektoren 122 Einblick 122 Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum 122 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 125 Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten 127 Ausblick 131 Selbsttest 132 12 Koordinatenabbildung und Basiswechsel 133 Einblick 133 Die Koordinatenabbildung 133 Darstellende Matrizen und Basiswechsel 134 Ausblick 139 Selbsttest 140 13 Diagonalisierung 141 Einblick 141 Diagonalisierbare Matrizen 141 Weitere Kriterien für Diagonalisierbarkeit 144 Ausblick 147 Selbsttest 148 14 Normierte, euklidische und unitäre Vektorräume 149 Einblick 149 Normierte Vektorräume 149 Skalarprodukte 152 Das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren 157 Orthogonale Abbildungen 161 Ausblick 165 Selbsttest 167 Aufgaben zur linearen Algebra 168 Teil III Analysis 171 15 Grundzüge der Analysis 172 Einblick 172 Folgen und Konvergenz 173 Rechenregeln für konvergente Folgen 176 Konvergenzkriterien für Folgen 179 Das Monotoniekriterium 179 Das Häufungspunktprinzip und das Cauchy-Kriterium 182 Ausblick 186 Selbsttest 188 16 Stetigkeit 189 Einblick 189 Grenzwerte von Funktionen 189 Definition und Beispiele stetiger Funktionen 194 Ausblick 198 Selbsttest 199 17 Der Zwischenwertsatz und Extrema stetiger Funktionen 200 Einblick 200 Der Zwischenwertsatz 200 Bestimmte Divergenz 202 Maximum/Minimum und Supremum/Infimum 203 Maximum und Minimum stetiger Funktionen 204 Ausblick 205 Selbsttest 206 18 Differenzierbarkeit 207 Einblick 207 Grundlegendes zum Differenzieren 207 Differenzierbare und stetige Funktionen 210 Rechenregeln für Ableitungen 210 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 213 Der Mittelwertsatz 214 Monotone Funktionen 216 Die Regel von L’Hospital 218 Ausblick 219 Selbsttest 221 19 Das Taylor-Polynom und lokale Extrema 222 Einblick 222 Höhere Ableitungen 223 Das Taylor-Polynom 225 Lokale Extrema differenzierbarer Funktionen 230 Ausblick 231 Selbsttest 233 20 Unendliche Reihen 234 Einblick 234 Definition und Beispiele von Reihen 234 Die geometrische Reihe 236 Konvergenzkriterien für Reihen 239 Ausblick 245 Selbsttest 246 21 Potenzreihen 247 Einblick 247 Grundlegendes zu Potenzreihen 247 Der Konvergenzradius einer Potenzreihe 249 Die Taylor-Reihe 253 Ausblick 257 Selbsttest 258 22 Das Riemann’sche Integral 259 Einblick 259 Riemann’sche Summen 260 Rechenregeln der Integration 266 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 267 Rechentechniken der Integration 269 Die Substitutionsregel 269 Partielle Integration 271 Ausblick 278 Selbsttest 280 23 Uneigentliche Integrale 281 Einblick 281 Kritische Stellen des Integrationsintervalls 282 Unendliche Integrationsgrenzen 284 Das Integralvergleichskriterium für Reihen 285 Ausblick 286 Selbsttest 289 Aufgaben zur Analysis 290 Lösungen der Selbsttests 293 Lösungen der Aufgaben 296 Literatur und Ausklang 315 Index 318 Front Matter ....Pages I-XIV Front Matter ....Pages 1-1 Elementare Logik und Mengenlehre (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 3-19 Definition, Satz, Beweis und mehr (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 21-31 Abbildungen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 33-40 Körper und komplexe Zahlen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 41-52 Front Matter ....Pages 53-53 Vektorräume (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 55-64 Basen und Untervektorräume (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 65-74 Lineare Abbildungen und Dimensionssätze (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 75-82 Matrizen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 83-92 Lineare Gleichungssysteme (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 93-102 Die Determinante (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 103-111 Eigenwerte und Eigenvektoren (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 113-123 Koordinatenabbildung und Basiswechsel (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 125-132 Diagonalisierung (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 133-140 Normierte, euklidische und unitäre Vektorräume (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 141-162 Front Matter ....Pages 165-165 Grundzüge der Analysis (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 167-183 Stetigkeit (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 185-195 Der Zwischenwertsatz und Extrema stetiger Funktionen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 197-203 Differenzierbarkeit (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 205-219 Das Taylor-Polynom und lokale Extrema (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 221-232 Unendliche Reihen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 233-245 Potenzreihen (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 247-258 Das Riemann’sche Integral (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 259-280 Uneigentliche Integrale (Matthias Plaue, Mike Scherfner)....Pages 281-289 Back Matter ....Pages 291-327 Dies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die neuen Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Grundlagen und danach den Stoff der linearen Algebra und eindimensionalen Analysis. Damit deckt es den Stoff ab, der an Universitäten wesentlich im ersten Semester behandelt wird. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure. Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen. Auf einen Blick: Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur. Zahlreiche Erläuterungen. Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert. Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen. Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen. Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art.