Математический анализ: учебник для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 01.05.01 Фундаментальная математика и механика и направлениям 01.03.01 Математика, 01.03.03 Механика и математическое моделирование, 02.03.01 Математика и

• Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)• Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения (общая теория)• Глава XI. Кратные интегралы• Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в R^n [todo fix]• Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы• Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля• Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях• Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций• Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра• Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье• Глава XIX. Асимптотические разложения• Дополнения Титульный лист Выходные данные Оглавление Предисловие к первому изданию Предисловие ко второму изданию Предисловие к седьмому изданию *Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория) § 1. Метрическое пространство 1. Определение и примеры 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства 3. Подпространство метрического пространства 4. Прямое произведение метрических пространств Задачи и упражнения § 2. Топологическое пространство 1. Основные определения 2. Подпространство топологического пространства 3. Прямое произведение топологических пространств Задачи и упражнения § 3. Компакты 1. Определение и общие свойства компакта 2. Метрические компакты Задачи и упражнения § 4. Связные топологические пространства Задачи и упражнения § 5. Полные метрические пространства 1. Основные определения и примеры 2. Пополнение метрического пространства Задачи и упражнения § 6. Непрерывные отображения топологических пространств 1. Предел отображения 2. Непрерывные отображения Задачи и упражнения § 7. Принцип сжимающих отображений Задачи и упражнения *Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения (общая теория) § 1. Линейное нормированное пространство 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа 2. Норма в линейном пространстве 3. Скалярное произведение в векторном пространстве Задачи и упражнения § 2. Линейные и полилинейные операторы 1. Определения и примеры 2. Норма оператора 3. Пространство непрерывных операторов Задачи и упражнения § 3. Дифференциал отображения 1. Отображение, дифференцируемое в точке 2. Общие законы дифференцирования 3. Некоторые примеры 4. Частные производные отображения Задачи и упражнения § 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования 1. Теорема о конечном приращении 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении Задачи и упражнения § 5. Производные отображения высших порядков 1. Определение n-го дифференциала 2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка 4. Некоторые замечания Задачи и упражнения § 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов 1. Формула Тейлора для отображений 2. Исследование внутренних экстремумов 3. Некоторые примеры Задачи и упражнения § 7. Общая теорема о неявной функции Задачи и упражнения Глава XI. Кратные интегралы § 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке 1. Определение интеграла 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману 3. Критерий Дарбу Задачи и упражнения § 2. Интеграл по множеству 1. Допустимые множества 2. Интеграл по множеству 3. Мера (объем) допустимого множества Задачи и упражнения § 3. Общие свойства интеграла 1. Интеграл как линейный функционал 2. Аддитивность интеграла 3. Оценки интеграла Задачи и упражнения § 4. Сведение кратного интеграла к повторному 1. Теорема Фубини 2. Некоторые следствия Задачи и упражнения § 5. Замена переменных в кратном интеграле 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных 2. Измеримые множества и гладкие отображения 3. Одномерный случай 4. Случай простейшего диффеоморфизма в R^n 5. Композиция отображений и формула замены переменных 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах Задачи и упражнения § 6. Несобственные кратные интегралы 1. Основные определения 2. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла 3. Замена переменных в несобственном интеграле Задачи и упражнения Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в R^n § 1. Поверхность в R^n Задачи и упражнения § 2. Ориентация поверхности Задачи и упражнения § 3. Край поверхности и его ориентация 1. Поверхность с краем 2. Согласование ориентации поверхности и края Задачи и упражнения § 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве Задачи и упражнения § 5. Начальные сведения о дифференциальных формах 1. Дифференциальная форма, определение и примеры 2. Координатная запись дифференциальной формы 3. Внешний дифференциал формы 4. Перенос векторов и форм при отображениях 5. Формы на поверхностях Задачи и упражнения Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы § 1. Интеграл от дифференциальной формы 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности Задачи и упражнения § 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 1. Масса материальной поверхности 2. Площадь поверхности как интеграл от формы 3. Форма объема 4. Выражение формы объема в декартовых координатах 5. Интегралы первого и второго рода Задачи и упражнения § 3. Основные интегральные формулы анализа 1. Формула Грина 2. Формула Гаусса—Остроградского 3. Формула Стокса в R^3 4. Общая формула Стокса Задачи и упражнения Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля § 1. Дифференциальные операции векторного анализа 1. Скалярные и векторные поля 2. Векторные поля и формы в R^3 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа *5. Векторные операции в криволинейных координатах Задачи и упражнения § 2. Интегральные формулы теории поля 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях 2. Физическая интерпретация div, rot, grad 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы Задачи и упражнения § 3. Потенциальные поля 1. Потенциал векторного поля 2. Необходимое условие потенциальности 3. Критерий потенциальности векторного поля 4. Топологическая структура области и потенциал 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы Задачи и упражнения § 4. Примеры приложений 1. Уравнение теплопроводности 2. Уравнение неразрывности 3. Основные уравнения динамики сплошной среды 4. Волновое уравнение Задачи и упражнения *Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях § 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры 1. Алгебра форм 2. Алгебра кососимметрических форм 3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств Задачи и упражнения § 2. Многообразие 1. Определение многообразия 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения 3. Ориентация многообразия и его края 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R^n Задачи и упражнения § 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях 1. Касательное пространство к многообразию в точке 2. Дифференциальная форма на многообразии 3. Внешний дифференциал 4. Интеграл от формы по многообразию 5. Формула Стокса Задачи и упражнения § 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 1. Теорема Пуанкаре 2. Гомологии и когомологии Задачи и упражнения Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций § 1. Поточечная и равномерная сходимость 1. Поточечная сходимость 2. Постановка основных вопросов 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра 4. Критерий Коши равномерной сходимости Задачи и упражнения § 2. Равномерная сходимость рядов функций 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда 3. Признак Абеля—Дирихле Задачи и упражнения § 3. Функциональные свойства предельной функции 1. Конкретизация задачи 2. Условия коммутирования двух предельных переходов 3. Непрерывность и предельный переход 4. Интегрирование и предельный переход 5. Дифференцирование и предельный переход Задачи и упражнения *§ 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций 1. Теорема Арцела—Асколи 2. Метрическое пространство C(K, Y) 3. Теорема Стоуна Задачи и упражнения Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра Задачи и упражнения § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру Задачи и упражнения § 3. Эйлеровы интегралы 1. Бета-функция 2. Гамма-функция 3. Связь между функциями B и Г 4. Некоторые примеры Задачи и упражнения § 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения) 2. Некоторые общие свойства свертки 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса *4. Начальные представления о распределениях Задачи и упражнения § 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью *4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае Задачи и упражнения Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье § 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье 1. Ортогональные системы функций 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье *3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе Задачи и упражнения § 2. Тригонометрический ряд Фурье 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье 4. Полнота тригонометрической системы Задачи и упражнения § 3. Преобразование Фурье 1. Представление функции интегралом Фурье 2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобразования Фурье 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье 4. Примеры приложений Задачи и упражнения Глава XIX. Асимптотические разложения § 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 1. Основные определения 2. Общие сведения об асимптотических рядах 3. Степенные асимптотические ряды Задачи и упражнения § 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 1. Идея метода Лапласа 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа 3. Канонические интегралы и их асимптотика 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа *5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа Задачи и упражнения Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов Вопросы к экзамену Экзаменационное задание (математический анализ, третий семестр) Промежуточное контрольное задание (математический анализ, четвертый семестр) Дополнения 1. Ряд как инструмент (вводная лекция) 2. Замена переменных в кратном интеграле (вывод и первое обсуждение формулы замены переменных) 3. Многомерная геометрия и функции очень многих переменных (концентрация мер и законы больших чисел) 4. Функции многих переменных и дифференциальные формы с термодинамическими интерпретациями 5. Операторы теории поля в криволинейных координатах 6. Современная формула Ньютона—Лейбница и единство математики (заключительный обзор) Литература Указатель основных обозначений Предметный указатель Указатель имен