Математический анализ. Функции одного переменного Части 1, 2

Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциально и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4 строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов - числовых и функциональных. Гл. 7 - 8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а гл. 9 - интегральному исчислению. Гл. 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в частности, в гл. 11 о несобственных интегралах. Учебная литература по математическому анализу на сайте: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления Книги учебного комплекса ''Математика в техническом университете''Смирнов В. И. Курс высшей математики (в пяти томах) Дьедонне Ж. Основы современного анализа Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализаБермант А. Ф. Курс математического анализа.Часть 1,Часть 2Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализаДороговцев А. Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложенииХинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализуКамынин Л. И. Курс математического анализа.Том 1,Том 2 Зорич В. А. Математический анализВалле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. Том 1, Том 2Эрмит Ш. Курс анализаГурса Э. Курс математического анализа (в 6 книгах) Харди Г. Курс чистой математикиДемидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализуКаплан И. А. Практические занятия по высшей математикеВиленкин Н. Я. и др. Задачник по курсу математического анализаЧасть 1Часть 2 Дороговцев А. Я. Математический анализ. Сборник задач Предисловие......Page 1 1.1. Первоначальные сведения о множествах......Page 8 1.2. Аксиомы вещественных чисел......Page 11 1.3. Следствия из аксиом сложения......Page 13 1.4. Следствия из аксиом умножения......Page 14 1.5. Следствия из аксиом порядка......Page 17 1.6. Следствия из аксиомы о верхней грани......Page 20 1.7. Принцип Архимеда и его следствия......Page 24 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора......Page 30 1.9. Расширенная область вещественных чисел......Page 31 Дополнение. Логическая символика......Page 33 Задачи......Page 34 Историческая справка......Page 35 2.1. Операции над множествами......Page 36 2.2. Эквивалентность множеств......Page 38 2.3. Счетные множества......Page 41 2.4. Множества мощности континуума......Page 44 2.5. Понятие о математической структуре. Изоморфизм структур......Page 45 2.6. Пространство n измерений......Page 50 2.7. Комплексные числа......Page 55 2.8. Общее понятие функции. График......Page 60 Задачи......Page 62 Историческая справка......Page 63 3.1. Определения и примеры......Page 65 3.2. Открытые множества......Page 73 3.3. Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм......Page 76 3.4. Предельные точки......Page 86 3.5. Замкнутые множества......Page 90 3.6. Всюду плотные множества и замыкания......Page 92 3.7. Полные пространства......Page 95 3.8. Пополнение......Page 102 3.9. Компактность......Page 106 Задачи......Page 114 Историческая справка......Page 116 4.1. Определение предела......Page 117 4.2. Общие теоремы о пределах......Page 126 4.3. Пределы числовых функций......Page 127 4.4. Предельные точки функции......Page 134 4.5. Функции, неубывающие по направлению......Page 136 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях......Page 139 4.7. Пределы векторных функций......Page 143 Задачи......Page 146 Историческая справка......Page 148 5.1. Непрерывные функции на метрическом пространстве......Page 149 5.2. Непрерывные числовые функции на числовой оси......Page 157 5.3. Монотонные функции......Page 160 5.4. Логарифм......Page 164 5.5. Экспонента......Page 167 5.6. Тригонометрические функции......Page 176 5.7. Приложения тригонометрических функций......Page 183 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного......Page 190 5.9. Последовательности функций......Page 198 Задачи......Page 203 Историческая справка......Page 205 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды......Page 206 6.2. Ряды с любыми вещественными числами......Page 214 6.3. Действия с рядами......Page 216 6.4. Ряды с векторами......Page 222 6.5. Ряды функций......Page 231 6.6. Степенные ряды......Page 233 Задачи......Page 237 Историческая справка......Page 241 7.1. Определение производной......Page 244 7.2. Второе определение производной......Page 253 7.3. Дифференциал......Page 255 7.4. Теоремы о конечных приращениях......Page 257 7.5. Расположение кривой относительно своей касательной......Page 259 7.6. Правила Лопиталя......Page 263 Задачи......Page 265 Историческая справка......Page 268 8.1. Определения и примеры......Page 269 8.2. Формула Тейлора......Page 272 8.3. Анализ поведения функции в окрестности данной точки......Page 275 8.4. Высшие дифференциалы......Page 280 8.5. Ряд Тейлора......Page 281 8.6. Экспонента и тригонометрические функции в комплексной области......Page 284 8.7. Гиперболические функции......Page 289 Задачи......Page 292 Историческая справка......Page 294 9.1. Определение интеграла и теоремы существования......Page 295 9.2. Зачем нужен интеграл?......Page 309 9.3. Интеграл как функция верхнего предела......Page 316 9.4. Техника неопределенного интегрирования......Page 322 9.5. Вычисление определенных интегралов......Page 333 9.6. Приложения интеграла......Page 343 9.7. Интегрирование и дифференцирование последовательности функций......Page 368 9.8. Интегрирование и дифференцирование по параметру......Page 374 9.9. Криволинейные интегралы......Page 380 Задачи......Page 388 Историческая справка......Page 391 10.1. Определения и примеры......Page 392 10.2. Криволинейные интегралы от комплексных функций......Page 401 10.3. Теорема Коши и ее следствия......Page 409 10.4. Вычеты и изолированные особые точки......Page 423 10.5. Отображения и элементарные функции......Page 435 Задачи......Page 445 Историческая справка......Page 448 11.1. Несобственные интегралы первого рода......Page 450 11.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода......Page 463 11.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов......Page 468 11.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр......Page 478 11.5. Гамма-функция и бета-функция Эйлера......Page 490 Задачи......Page 503 Историческая справка......Page 504 К главе 2......Page 505 К главе 3......Page 506 К главе 4......Page 507 К главе 5......Page 508 К главе 6......Page 509 К главе 7......Page 510 К главе 8......Page 512 К главе 9......Page 513 К главе 10......Page 514 К главе 11......Page 517 Алфавитный указатель......Page 518