Lineare Und Nichtlineare Fem: Eine Einführung Mit Anwendungen In Der Umformsimulation Mit Ls-dyna® (german Edition)

Dieses Lehrbuch bringt im ersten Teil leicht verständlich die Merkmale und Eigenschaften linearer finiter Elemente aus dem Bereich der Elastostatik und Dynamik und erläutert Vorgehensweisen bei der Erstellung von Simulationsmodellen. Im zweiten Teil liegt der Schwerpunkt auf nichtlinearen zeitabhängigen Vorgängen und Lösungsverfahren. Praxisbeispiele aus der Umformtechnik werden anschaulich mit der Software LS-DYNA® gelöst. Der Fokus liegt auf einer Erklärung der Zusammenhänge, die für Anwender kommerzieller Software notwendig sind. Theoretische Grundlagen werden in dem Umfang dargestellt, der für das Verständnis der Benutzung eines Programms notwendig ist. Der Inhalt Einführung in die lineare FEM - Mechanische Größen der Strukturmechanik - Mathematische Modellierung über Energieprinzipien - Diskretisierung mit Finiten Elementen - Finite-Elemente-Klassen - Mathematische und numerische Aspekte der FEM - Geometrische Nichtlinearität - Materielle Nichtli nearität - Kontaktmodellierung - Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen - Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen - Blechumformsimulation - Anhang: Mathematische Hilfsmittel - Einführung in die Simulation mit LS-DYNA® Die Zielgruppen - Studierende aus Bachelor- und Masterstudiengängen der Ingenieurwissenschaften an Hochschulen und Technischen Universitäten - Ingenieure und Techniker Der Autor Prof. Dr.-Ing. Marcus Wagner lehrt an der Ostbayerischen Technischen Hochschule Regensburg Finite Elemente, Ingenieurinformatik und Maschinendynamik und leitet die Labore Finite-Elemente sowie Maschinendynamik und Strukturanalyse Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 7 1 Einleitung 12 1.1 Grundlegende Problemstellung und Lösungsmethoden 12 1.2 Vorgehensweise bei Berechnungsaufgaben 15 1.3 Einsatzgebiete der Finite-Elemente-Methode 15 Literaturverzeichnis 17 2 Einführung in die lineare FEM 18 2.1 Grundgedanke der FEM am Beispiel des Stabs 19 2.1.1 Mathematische Beschreibung des physikalischen Systems 19 2.1.2 Diskretisierung in finite Elemente 22 2.1.3 Berechnung der Elementmatrizen 25 2.2 Diskretisierung eines Fachwerks 26 2.2.1 Diskretisierung in finite Elemente 26 2.2.2 Transformation von natürlichen auf globale Koordinaten 27 2.2.3 Zusammenbau des Gleichungssystems 30 2.2.4 Einbringen von Randbedingungen 33 2.2.5 Lösen des Gleichungssystems 33 2.3 Beispiel: Stab mit veränderlichem Querschnitt 35 2.4 Aufgaben 38 3 Mechanische Größen der Strukturmechanik 40 3.1 Formulierung des Randwertproblems 40 3.2 Der Spannungszustand 42 3.2.1 Der Spannungsdeviator 45 3.3 Zugeordneter Verzerrungszustand 46 3.4 Gleichgewichtsbedingungen 48 3.5 Voigt-Notation 48 3.6 Verallgemeinertes linear-elastisches Materialgesetz nach Hooke 49 3.7 Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand 50 Literaturverzeichnis 51 4 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien 52 4.1 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials 52 4.1.1 Einführungsbeispiel 53 4.1.2 Gesamtpotenzial eines Stabs 56 4.1.3 Allgemeines Prinzip vom Minimum des Gesamtpotenzials 57 4.2 Das Prinzip der virtuellen Verschiebung 58 4.3 Methode der gewichteten Residuen am Beispiel des Stabs 63 Literaturverzeichnis 65 5 Diskretisierung mit finiten Elementen 66 5.1 Definition des Näherungsansatzes für ein Element 67 5.1.1 Die Formfunktionsmatrix 67 5.1.2 Näherungsansatz für Dehnungen und Spannungen 69 5.2 Diskretisierung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotenzials 69 5.3 Diskretisierung des Prinzips der virtuellen Verschiebung 71 5.4 Aufbau des Gesamtgleichungssystems 73 5.4.1 Eigenschaften der Gesamtsteifigkeitsmatrix 75 5.5 Einbringen von Randbedingungen 76 5.6 Lösung linearer Gleichungssysteme 78 5.6.1 Direkte Gleichungslöser 78 5.6.2 Iterative Gleichungslöser 81 5.6.3 Modellreduktionstechniken 83 5.7 Aufgaben 85 Literaturverzeichnis 85 6 Finite-Elemente-Klassen 86 6.1 Klassifizierung von Elementen 86 6.2 Das isoparametrische Konzept 87 6.3 Eindimensionale Elemente 92 6.3.1 Zweiknotiges, lineares Stabelement 92 6.3.2 Dreiknotiges, quadratisches Stabelement 94 6.3.3 Balkenelemente 95 6.4 Zweidimensionale Elemente 100 6.4.1 Scheibenelement 101 6.4.2 Schalenelemente 106 6.5 Dreidimensionale Elemente 111 6.5.1 Hexaederelemente 111 6.5.2 Pentaederelemente 112 6.5.3 Tetraederelemente 113 6.6 Aufgaben 114 Literaturverzeichnis 114 7 Mathematische und numerische Aspekte der FEM 116 7.1 Mathematische Anforderungen an finite Elemente 116 7.1.1 Bedingungen für die Konvergenz der Lösung 116 7.1.2 Verfahren zur Reduktion des Diskretisierungsfehlers 118 7.2 Numerische Integration 121 7.2.1 Newton-Cotes-Quadratur 122 7.2.2 Gauß-Quadratur 125 7.2.3 Mehrdimensionale Integrale 126 7.2.4 Anwendungshinweise zum Integrationsverfahren 129 7.3 Elementversteifung (Locking) 131 7.3.1 Beschreibung des Locking-Effekts 131 7.3.2 Maßnahmen zur Vermeidung von Elementversteifung 132 7.3.3 Null-Energie-Moden 135 7.4 Praxis-Hinweise zur Modellierung 136 7.4.1 Vernetzungsmethoden 137 7.4.2 Anforderungen an die Elementauswahl und Vernetzung 138 7.4.3 Ausnutzung von Symmetrien bei der Vernetzung 140 7.5 Aufgaben 141 Literaturverzeichnis 141 8 Lineare zeitabhängige FEM 142 8.1 Herleitung der dynamischen FEM über virtuelle Verschiebungen 143 8.2 Numerische Modalanalyse 144 8.2.1 Modale Transformation 148 8.2.2 Modale Reduktion 149 8.2.3 Näherungsweise Berechnung des Eigenwertproblems 150 8.2.4 Anwendungsgebiete der Modalanalyse 152 8.3 Berücksichtigung von Dissipationseffekten 152 8.3.1 Proportionale und modale Dämpfung 154 8.4 Frequenzganganalyse 156 Literaturverzeichnis 159 9 Geometrische Nichtlinearität 160 9.1 Einführung zur geometrischen Nichtlinearität 161 9.2 Kinematische Beschreibung 162 9.2.1 Konfigurationen 162 9.2.2 Deformations- und Verschiebungsgradient 164 9.3 Beispiele eindimensionaler Verzerrungs- und Spannungsmaße 166 9.4 Allgemeine nichtlineare Verzerrungsmaße 169 9.5 Zeitliche Ableitungen der Deformation 172 9.6 Transformation von Volumen- und Flächenelementen 174 9.7 Spannungsmaße bei nichtlinearer Betrachtung 176 9.8 Energieprinzipien in nichtlinearer Form 177 9.8.1 Upgedatete-Lagrange-Formulierung 178 9.8.2 Totale-Lagrange-Formulierung 180 9.8.3 Diskretisierung 181 Literaturverzeichnis 183 10 Materielle Nichtlinearität 184 10.1 Übersicht über konstitutive Beziehungen 185 10.2 Eindimensionales, zeitunabhängiges, elastoplastisches Verhalten 187 10.2.1 Mathematische Formulierung 188 10.3 Mehrachsige dehnratenunabhängige Elastoplastizität 194 10.3.1 Die Fließbedingung 195 10.3.2 Die Fließregel 199 10.3.3 Das Verfestigungsgesetz 200 10.3.4 Die Konsistenzbedingung und die Materialtangente 202 10.3.5 Berücksichtigung der Dehnratenabhängigkeit 203 10.4 Numerische Umsetzung der J2-Plastizität 204 Literaturverzeichnis 207 11 Kontaktmodellierung 208 11.1 Grundlegende Begriffe 209 11.1.1 Bedingung für Normalkontakt 210 11.1.2 Behandlung von tangentialem Gleiten 212 11.2 Verfahren zur Kontaktdetektion 213 11.3 Kontaktformulierungen 216 11.3.1 Kinematische Zwangsbedingungen (Multi-Point-Constraint) 217 11.3.2 Penalty-Verfahren 217 11.3.3 Lagrange-Multiplikator-Verfahren 220 11.3.4 Augmented-Lagrange-Verfahren 221 Literaturverzeichnis 221 12 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen 222 12.1 Newton-Raphson-Verfahren 223 12.2 Anwendung des Verfahrens auf die FEM 224 12.2.1 Linearisierung 225 12.2.2 Inkrementell-iteratives Verfahren 228 12.2.3 Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens 229 12.2.4 Hinweis zur Zeitabhängigkeit 230 12.3 Weitere Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme 231 Literaturverzeichnis 233 13 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen 234 13.1 Einführung 235 13.2 Implizite Zeitintegration nach dem Newmark–Verfahren 238 13.3 Explizite Zeitintegration nach dem zentralen Differenzenverfahren 242 13.3.1 Praktische Umsetzung des Verfahrens 246 13.3.2 Punktmassenmatrix 247 13.3.3 Nutzung quadratischer Ansatzfunktionen in expliziten Verfahren 248 13.3.4 Stabilitätskriterium 249 13.3.5 Maßnahmen zur Reduktion der Rechenzeit 253 13.3.6 Dynamische Relaxation 254 13.4 Gegenüberstellung der beiden Zeitintegrationsverfahren 255 13.5 Aufgaben 256 Literaturverzeichnis 257 14 Blechumformsimulation 258 14.1 Grundlagen der Blechumformung 258 14.1.1 Ablauf einer Blechumformung 259 14.1.2 Mechanische Größen in der Blechumformung 260 14.1.3 Materialmodellierung bei Blechwerkstoffen 262 14.1.4 Herstellbarkeitsbewertung und Versagensarten 266 14.2 Explizite Simulation des Tiefziehens 267 14.2.1 Beispielmodell 268 14.2.2 Zeitsteuerung und allgemeine numerische Parameter 272 14.2.3 Ausgabesteuerung 275 14.2.4 Definition von Bauteilen, Elementtypen und Materialien 276 14.2.5 Definition der Umformkontakte 278 14.2.6 Erstellen der Randbedingungen 279 14.2.7 Durchführung einer Berechnung 285 14.2.8 Einführung in die Ergebnisauswertung einer Umformsimulation 286 14.3 Statisch-implizite Aufsprung-Simulation 288 14.3.1 Genereller Modellaufbau 289 14.3.2 Implizite Steuerkarten 290 14.3.3 Auswertung der Ergebnisse 294 Literaturverzeichnis 295 A Mathematische Hilfsmittel 296 A.1 Matrizenrechnung und Matrixschreibweise 296 A.2 Tensor- und Indexnotation 299 A.3 Einheitensysteme 301 Literaturverzeichnis 301 B Einführung in die Simulation mit LS-DYNA 302 Kurzlösungen zu den Aufgaben 310 Sachwortverzeichnis 316 Front Matter ....Pages i-xi Einleitung (Marcus Wagner)....Pages 1-6 Einführung in die lineare FEM (Marcus Wagner)....Pages 7-28 Mechanische Größen der Strukturmechanik (Marcus Wagner)....Pages 29-40 Mathematische Modellierung über Energieprinzipien (Marcus Wagner)....Pages 41-54 Diskretisierung mit finiten Elementen (Marcus Wagner)....Pages 55-74 Finite-Elemente-Klassen (Marcus Wagner)....Pages 75-104 Mathematische und numerische Aspekte der FEM (Marcus Wagner)....Pages 105-130 Lineare zeitabhängige FEM (Marcus Wagner)....Pages 131-148 Geometrische Nichtlinearität (Marcus Wagner)....Pages 149-172 Materielle Nichtlinearität (Marcus Wagner)....Pages 173-196 Kontaktmodellierung (Marcus Wagner)....Pages 197-210 Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen (Marcus Wagner)....Pages 211-222 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen (Marcus Wagner)....Pages 223-246 Blechumformsimulation (Marcus Wagner)....Pages 247-284 Back Matter ....Pages 285-314